1、1第 3 讲 导数与微分高等数学基础课程的主要研究对象是函数,函数是变量之间的对应关系,怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。3.1 导数的概念一、函数的变化率对于函数 ,我们要研究 怎样随 变化,进一步我们还要研究变化的速率,)(xfyyx可以先看看下面这个图我们可以看出,对于相同的自变量的改变量 ,所对应的函数改变量 是不同的。xy可以表示变化的速率,但这是一个平均速率,怎样考虑函数 在一点 的变化xy )(xf0率呢?二、导数的概念根据前面的介绍,我们给出下面的定义。定义 3.1 设函数 在点 及其某个邻域 内有定义,对应于自变量 在 处)(xfy0Ux0的改变量 ,函数相应的改变量为
2、,如果当 时极限x)(00xfxfyxlim存在,则此极限值称为函数 在点 处的导数,或在点 处函数 关于自变)(fy00x)(xf量 的变化率,记作x,或)(0x)(0f这时,称函数 在点 处是可导的。)(xfy0根据导数定义,我们来求一些基本初等函数的导数。2例 1 根据导数定义求 在点 处的导数。cyx解 根据定义求导数通常分三步:()求 :)(00fxfcy()求 :xy0x()求 :xy0limlimli00xxy因此得出 。)(y如果函数 在其定义域内每一点都可导,那么我们就得到了一个新的函数 ,xf )(xf称 为 的导函数。 在点 的函数值 就是 在点 的导)(f )(xf0)
3、(0xf)(f0数。例 2 根据导数定义求 在点 处的导数。2)(f解 按照由定义求导数的步骤: 2)()( xxfxfy22xxxy22xx )(limli00因此得出 。xf2)(例 3 根据导数定义求 ( 为自然数)在点 处的导数。nf)( x解 按照由定义求导数的步骤: nxfxfy )()( 3nnn xxx21)(n2xxxnyn21)(nnn 121)( 112100 )(limli nnxx xy因此得出 。1)(nf可以看出上例的结果与本例的结果是一致的。例 4 根据导数定义求 在点 处的导数。xf)(解 按照由定义求导数的步骤: fxfy1)()(x2xxy21200)(l
4、imlix因此得出 。这个结果可以写成 。21)(f 11)(x例 5 根据导数定义求 在点 处的导数。f)(x解 按照由定义求导数的步骤: fxfy)( )()(limlimli 000 xxxxyx 4)(lim0xxx21li0因此得出 。这个结果可以写成f21)( 121)(x从这两个例子可以看出公式 不仅在 为自然数时成立,而且当 和1)(nnx 1n时也成立。因此我们不妨认为对任意实数 ,有 。21n 1)(x下面再来看一下利用重要极限求基本初等函数导数的例子,为此先给出第 2 个重要极限的另一种形式 e)1(limxx的另一种形式是 e)1(li0xx另外,记 lnloge称为自
5、然对数。例 6 根据导数定义求 在点 处的导数。xfl)(解 按照由定义求导数的步骤: xfxfy ln)l()( ln)1(x)1ln(l xy)l(1xxln5注意到,当 时有 ,设 ,第 2 个重要极限公式有0xxtxe)1(lim)1(li00ttx且 是连续函数,所以有xfln)( xxxxxy )1(lin)1ln(imli 000el因此得出 。xf)(例 7 根据导数定义求 在点 处的导数。xfsin)(解 按照由定义求导数的步骤: xfxfy sin)i()( 2sncos2xi)(x2sin)cos(sc xxy 注意到,当 时有 ,设 ,据第 1 个重要极限公式有0x2x
6、tsinlmsil00txt且 是连续函数,所以有xfcos)(2sin)cos(limli00 xxyxx sil)cs(li00xx6xcos因此得出 。f)(下面我们给出基本初等函数的导数公式0)(c1xaxln)( xe)(allog 1lnxcs)(siinx2cos1)(tain21)(arcsix2)(ro21actnx三、导数的几何意义从下面这个图中我们可以看出,函数 在点 处的导数 ,就是函数曲线 在过点)(xfy0)(0xf )(xfy处的切线的斜率。这样便可得到切线的方程 )(,0xf7)()(00xfxfy例 8 求函数 在点 处的切线方程。xfsin)(23,解 ,所
7、以 。由此得切线方程xfco 1cos)(f23)xy即 。6231xy定理 3.1 若函数 在点 处可导,则 在 连续。)(xfy0)(xfy0证 由于 )(lim00fx由定理 2.1,有 )(0fy其中 是无穷小量。上式可写成xf)(0由此得lim0yx定理 3.1 的结论是不可逆的,例如函数 在点 连续,但在该点不可导。0x3.2 求导法一、导数的四则运算法则我们可以看出,由定义求导是很复杂的,有了基本导数公式后也并未使求导的范围扩大多少,为此我们给出下面的运算法则:设函数 和 在点 处可导,则有)(xfgx)()( xgfgf x)()()( xfff 8)()(2xgffxgf 上
8、述公式我们称为导数的四则运算法则。根据第 3 个公式还可以得到,若函数 在点)(xf处可导, 为任意常数,则有xc )()(xfcf对于导数的四则运算法则,我们仅就加法和乘法法则加以验证:因为 xxggffxgfgxf )()()()()( x)所以xgfgxfx )()()(lim0 xgxfx )(limlim00)(gf即 )()(xfgxf 又因为 xgff )( xgfxgfxgx )()()()( xff (xfxgxf )()()(所以 xgffx ()(lim0 xgfxxxx )(lim)(lim(li 00)(gff即 ()( fg例 9 求下列函数的导数 :y9 xyxl
9、ncose xysin24 25ta解 利用导数四则运算法则和基本导数公式进行计算: )(lncose(xyx1cse)xxicsexffy sin)si()( sin2)4xx)(si(3 xxcoil4 22)()(5tan5(tanxxy 4)(t)(tx32 )5(tan2)5lcos1(xx322tlsxx二、复合函数导求导法则有了导数四则运算法则以后,可以求导的函数类型被大大地扩充了。但仍有我们无法解决的类型,如 , 等函数。2exyxsinl定理 3.5 设函数 , ,且 在点 处可导, 在相应的点)(uf)(g)(x)(ufy处可导,则复合函数 在点 处可导,且uxy)()(x
10、guff10简单验证这个定理。由于 xuy在 点 处可导,则在点 处连续,因此有 。故有)(ufyu0limxyxu000lili由导数定义得到 )()(gfgf称定理 3.5 为复合函数求导法则,也称为链锁法则。例 10 求下列函数的导数 :y 2exyxysinl sin2co解 利用复合函数求导法则进行计算:设 ,有2xuuye)(2uxe2设 ,有xusinuyl)(ilyxucos1tin设 ,有2xysi)(i2ucos2x设 ,有usuy11)(cos2xuyin2sis例 11 设 ,求 。)(Rxyy解 因为xlnel设 ,有 。由复合函数求导法则得xulnuye)ln()x
11、ule1x三、隐函数导求导法在下面的方程中 0)ln()siyx的值可以随着 的值而确定,即 是 的函数。但 无法表示成 的表达式,这种函数yxyx关系称为隐函数。例 12 由方程 所确定的函数 ,求 。0)ln()six)(y解 等式两端同时对自变量 求导, 左端: )ln()si()l()i xyyycoxxy )()cos()(y1)(右端: 0)(12由此得 01)cos(yxyx解出 ,得y )cos(11)xyxy例 13 设 ,求 。xay解 由已知条件可得 yxalog等式两端同时对自变量 求导, x左端: 1)(右端: ayyaln)(llog由此得 1ly解出 ,得y ay
12、xlnl例 14 设 ,求 。xyarcsin解 由已知条件可得 yxsin等式两端同时对自变量 求导, x左端: 1)(右端: yycos)(cossin由此得 1解出 ,得y13221sin1cosxyy例 15 设 ,求 。xyarctn解 由已知条件可得 yxtan等式两端同时对自变量 求导, 左端: 1)(x右端: yy22cos)(costan由此得 1cs2y解出 ,得y 222222 1tancosi1sincos xyyyy 3.3 微分一、微分的概念在前面的讨论中,对于函数 ,我们经常遇到函数的改变量,也就是)(xfy)(00xf从上式的右端看函数的改变量 是自变量改变量
13、的函数,这种函数关系一般来说是复y杂的,能否将这种复杂的关系用简单的关系来近似呢?结论是在可导的情况下是可以的,因为此时有 xfy)(0即 )()(0oxf称 为函数 在点 处的微分,记为 。即xf)(0)(f0yd或xfy)(d0x14例 16 求下列函数的微分 :yd xysinxyln 2解 利用微分定义式 :xyd xycos)(sinid x1l xy2)(2 d由的结果得到 。因此微分又可记为x或 xfyd)(0xyd根据上式,导数的符号又可记为或 )(00fxx微分的几何意义由下面的图形可以看出二、微分的运算法则微分的运算与导数运算关系密切,与导数运算类似,微分也有四则运算法则
14、)(d)(dxgfxgf)()()( xfxxf)(d)(d2gfg15及 )(d)(xfcf三、一阶微分形式不变性如果函数 , ,且 在点 处可导, 在相应的点 处可)(ufy)(xg)(x)(ufyu导,那么对于复合函数 在点 的微分 就有两种表达方式,即fdyudx形式上看以上两种表示之间似乎存在区别,进一步看 xyuyuyxx d)()d(d以上结果称为一阶微分形式不变性。例 17 设 ,求 。2sinlx解 利用一阶微分形式不变性得)sin(ld2)(d2sinlsinl2 xyxxi1sil22)(dlnsico2sil22xxxxlt2sil由此得 lncot22silxxy例
15、18 由方程 所确定的函数 ,求 。)()iy)(xy解 利用微分运算法则和一阶微分形式不变性,等式两端分别求微分得左端: )(dcos)sin(dxxyxxd)cos()cs(右端: yyxd)ln(d16由此得 yxyxyd)cos(d)cos(整理得 xyxyd)cos(11)得 )cs()xyxy注意到本例的结果与例 12 是相同的。3.4 高阶导数在本章的开始,我们曾提到如果函数 在其定义域内每一点都可导,那么我们就)(xf得到了一个新的函数 ,称 为 的导函数(或一阶导函数) 。若 在点)(xff )(xf处可导,即0xxffx)(lim00存在,则称此极限为 在点 处的二阶导数,
16、记为)(f0或 或 )0xf)(0y02dxy就是说 )()(ff仿此我们可以定义函数 的 阶导数,并记为xyn或 或 )(f)(ynxd例 17 设 ,求 。xylny解 利用基本导数公式得1)(l1721)(xy第 4 讲 导数应用在这一讲中,我们要进一步应用导数这一工具来研究函数的性质。4.1 中值定理下面介绍的这个定理是第 4 章中的一个核心定理,本章几乎所有结论都围绕它而产生。定理 4.2 (拉格朗日(Lagrange)定理)设 在闭区间 上连续,在开区间)(xf,ba内可导,则在 内至少存在一点 ,使得),(ba,ba,abff)()(对拉格朗日定理,我们利用下面的图形加以说明这里
17、需要指出,定理中的条件是不可缺少的。以下经常将此定理叙述为如下形式:设在开区间 内可导, ,对任意 ,则介于 与 之间至少)(xf),(ba),(0bax),(baxx0存在一点 ,使得 )()(00xfxff 推论 1 设函数 在区间 内可导,且 ,则 在该区间内是一个)(xf,ba)(f常值函数:( 为常数)cxf)(推论 2 设函数 和 在区间 内可导,且 ,则 和)(xfg,ba)(xgf )(f相差一个常数:)(xg18),()(baxcgxf推论 2 的证明可以借助于辅助函数 。gfh4.3 函数的单调性和极值在这里我们利用一阶导数讨论函数的单调性。一、函数的单调性定理 4.5 设
18、函数 在区间 内可导,如果在 内 ,则 在该)(xf),(ba),(ba0(xf)(xf区间内单调上升;如果在 内 ,则 在该区间内单调下降。,0xfxf证 对任意的 且 时,由拉格朗日定理知存在 使),(,21x21 ),(21x得 )()(1212 xfxff 由已知 ,所以 ,即 ,也就是0)(f 0)(0f)(21xff因此可知 在区间 内单调上升。同理可证 在区间 内单调下降。)(xf),(ba ),(ba例 1 求函数 的单调区间。59623xx解 观察 )3(11)(2 xf可以看出,当 时,1x 0)(3)(xf当 时,31 )(1)(f当 时,x 0)3()(xxf综上可知
19、的单调上升区间是 和 ;单调下降区间是 。)(xf 1,)3,1(例 2 说明函数 在区间 内的单调性。562x)(解 观察19)3(26)(xxf可以看出,当 时,3x0)(f当 时,)(xf所以函数 在区间 内单调下降;在区间 内单调上升。)(xf)3,1( ),3(二、函数的极值定义 4.1 设函数 在点 的一个邻域 内有定义,如果当 时恒有)(xfy0UUx0,)(xff则称 是 的极大值点,称 为 的极大值。如果当 时恒有0x)(f(0x0,)(xff则称 是 的极小值点,称 为 的极小值。0x)(f(0x注意下图,很多结论可以用它来做几何解释。通过观察我们直接给出下面的结论。定理
20、4.6(极值点的必要条件)设函数 在点 的一个邻域 内有定义,且 是)(xf0U0x的极值点,如果 在 可导,则)(xf )(xf0)(0xf我们将满足 的点 称为 的驻点。从上图中看到,驻点不一定是极值)(0xf0点(如 ) ,极值点也不一定是驻点(如 ) 。定理 4.6 的意义在于函数 的极值点只3x4x)(xf存在于它的驻点或不可导点当中。定理 4.7(极值点的充分条件)设函数 在点 及其邻域内可导,且 。)(f0 0)(f20如果在 两侧 的符号相同,则 不是 的极值点,如果在 两侧 的符号0x)(f 0x)(f 0x)(f相反,则 是 的极值点。进而,如果在 左侧 为正,在 右侧 为
21、负,0f则 是 的极大值点。如果在 左侧 为负,在 右侧 为正,则 是0x)(f 0x)(f0x)(f0x的极小值点。求极值点的步骤首先求 的导数,找出所有驻点和不可导点;)(xf对所有驻点和不可导点进行判断以找出极值点;进一步确定它们是极大值点还是极小值点。例 3 求函数 的极值点。1596)(23xxf解 因为 )3(1)(2 xf所有令 ,得 , 。对 , 左正右负,所以 是 的极0)(xf13x)f 1x)(f大值点。对 , 左负右正,所以 是 的极小值点。3)(fx(三、最大值最小值问题设函数 的定义域为 ,若存在 (或 ) ,使对任意 有)(xfyDDx(或 ))(ff)(fxf则
22、称 (或 )为 的最大值点(或最小值点) ,称 (或 )为 的最大)(xf )(f)(xf值(或最小值) 。仍由前图看出,最大值点不一定是极大值点(如 ) ,极大值点也不一定是最大值点b(如 ) 。4x求函数最大值点的步骤首先求出 的所有极大值点;)(xf找出取值最大的极大值点;将取值最大的极大值点的函数值与定义区间端点的函数值比较,取值最大的点即为最大值点。求函数最小值点的步骤与上类似。例 4 求函数 在区间 上的最大值点和最小值点。56)(2xf 4,121解 因为 62)(xf所有令 ,得 。比较函数值得0)(xf3, , 0)1(f4)3(f3)(f由此可知 是 在区间 上的最大值点,
23、 是最小值点。1xf4,x例 5 求曲线 yx2上的点,使其到点 A(,)0的距离最短。解 曲线 上的点到点 (,)3的距离公式为 2)yxd与 在同一点取到最大值,为计算方便求 的最大值点,将 yx2代入得d2 x22)3(令 xD求导得 1)3(2)令 得 并由此解出 ,即曲线 yx2上的点 和点0)(2d25x0y )210,5(到点 A(,)3的距离最短。)1,5(例 6 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l,问当底半径与高分别为多少时,圆柱体的体积最大?解 如图所示,圆柱体高 与底半径 满足hr22lr圆柱体的体积公式为hV2将 代入得22lrl)(2求导得hrl22)3()(2
24、22hlhlV令 得 ,并由此解出 即当底半径 ,高 时,圆0Vlh3lr36lr6lh3柱体的体积最大。例 7 从面积为 的一切矩形中,求周长最小的矩形的边长。S解 设矩形的边长分别为 ,周长为 ,则有xy,Lxy2由矩形面积公式得 S代入面积公式得 Lx2S令 得 ( 舍去) , 。即当矩形的边长 时,矩形L0xSyxyS的周长最小。4.5 函数的凹凸在这里我们利用二阶导数讨论函数的凹凸性。定义 4.2 设函数 在区间 内可导,如果曲线 上每一点处的切线)(xfy),(ba)(xfy都位于该曲线的下方(或上方) ,则称曲线 在区间 内是凹(或凸)的。(xfy,ba凹凸的几何意义如下图所示定
25、理 4.9 设函数 在区间 内二阶导数存在,如果在 内 ,)(xfy),(ba),(ba0(xf则曲线 在 内是凹的;如果在 内 ,则曲线 在)(xfy,ba,0)(xfy内是凸的。),(ba如果曲线 上有这样的点 ,使得曲线在此点的一边为凹,而在其)(xfy)(,0xf23另一边为凸,则称点 为曲线的拐点。)(,0xf拐点的几何意义如下图所示例 8 求曲线 的凹凸区2exy间和拐点。解 因为 2exy 222 e)1(4exxy所有令 ,得 和 。且当 时0yxx0e)12(2xy且当 时2x 0e)12(2xy所以曲线 的凹区间是 和 ;凸区间是 。2exy,(,)2,(另外由于函数 的二阶导数在点 和 的两侧的符号发生改变,2x2xx依定理 4.9,曲线在点 和 的两侧的凹凸性发生改变, 在 处的2 y2x函数值为 e12)(y24故点 和 是曲线 的拐点。)e1,2()e,2(2exy