1、- 1 -湖北省黄冈中学 2013 年秋季高二期末考试数 学 试 题（文科）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1命题：“对任意的 32,10xR ”的否定是 ( )A. 不存在 32, B. 存在 0320,1xRC. 存在 00 D. 对任意的 x2椭圆2143xy的焦距为( ) A. 1 B. 7 C. 2 D. 273对于常数 m、 n， “ 0”是“方程 1mxny的曲线是椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4已知函数 xexf)3()，
2、则 (0)f（ ）A. 2 B. 2 C. 3 D. 45斜率是 1的直线经过抛物线 4yx的焦点，与抛物线相交于 A、 B两点，则线段 AB的长是（ ）A 2B C 2 D 86在区间 0,4内随机取两个实数 ,ab，则使得方程 20xab有实根的概率是( ) A 1 B 13C 16 D 567过椭圆 562yx内的一点 ),2(P的弦恰好被 P点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A 013yx B 0135yx C 5 D- 2 -8. 已知函数 ()fx的图象是下列四个图象之一，且其导函数 的图象 如右图所示，则该函数的图象是( ) 9已知函数 3()fxa有三个零点，则 a的取值范
3、围为( )A ,2,) B ,2,) C () D -10. 如图, 21,F是椭圆 14:21yxC与双曲线 2C的公共焦点,BA,分别是 1, 2在第二、四象限的公共点.若四边形21为矩形,则 的离心率是( )A B 3C 23D 26二、填空题(本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分把答案填在答题卡相应位置上)11. 在区间-1,2上随机取一个数 x，则 x0,1的概率为 .12. “若 yx，则 2”的逆否命题是 13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 2 米后，水面宽 米. 14函数 24(),21fx的最大值是_，最小值是
4、_A DCB13 题图O xyABF1F2第 10 题图- 3 -15已知 O为原点， 在椭圆21367xy上任取一点 P，点 M在线段 OP上,且13MP,当点 在椭圆上运动时，点 的轨迹方程为 . 16若点 O 和点 F 分别为椭圆2143xy的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则PA的最大值为 .17若直线 1ykx与曲线 21xy有两个不同的交点，则实数 k的取值范围是 .三、解答题（本大题共 5 小题，共 65 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）18 （本小题满分 12 分）设 p：方程 20mx有两个不等的负根， q：方程24()10xmx无实根，若 p 或 q
5、为真， p 且 q 为假，求 m的取值范围19. （本小题满分 13 分）已知双曲线 1C：21xyab( 0,b)的与双曲线13:22yxC有公共渐近线，且过点 0A（.（1）求双曲线 的标准方程（2）设 F1、 F2分别是双曲线 1C左、右焦点若 P 是该双曲线左 支上的一点，且 1260FP，求 12FP的面积 S.- 4 -20. （本小题满分 13 分）设 2()6105fxlnaxa,其中 R,曲线 yfx在点 1,f处的切线与 y轴相交于点 (,).（1）求 a的值; （2）求函数 fx的单调区间与极值.21. (本小题满分 13 分)已知抛物线 2:(0)Cypx的准线方程为
6、2x.（1）求此抛物线的方程; （2）已知点 (1,0)B，设直线 :(0)lykxb与抛物线 C 交于不同的两点 12,(,)PxQ，若 x 轴是 PBQ的角平分线, 证明直线 l过定点，并求出该定点坐标.22. （本小题满分 14 分）如图,点 )1,0(P是椭圆 )0(1:21bayxC的一个顶点,1C的长轴是圆 4:22yx的直径. 21,l是过点 P且互相垂直的两条直线,其中斜率为 k的直线 1l交圆 于 A,B 两点, 交椭圆 于另一点 D（1）求椭圆 的方程; （2）试用 k 表示 ABD的面积 S;（3）求 面积 S 取最大值时直线 1l的方程.xOyBl1l2PDA（第 22
7、 题图）- 5 -参考答案CCBBD,A ABCD11.3112.若 2yx，则 x 13. 42142 ;2 15 214316 6 17 1k18若 p 为真，则202m若 q 为真，则 216()16()3013m由 p 或 q 为真， p 且 q 为假知， p 和 q 一真一假若 p 真 q 假，则 13m 或 若 p 假 q 真，则 213mk 综上知 12 或 19.解：（1） 3yx，（2）设 21,PFmn，则 2在 1中，由余弦定理有 26cos60mnnm2n13sin022S20.（1）因为 6()5)fxax 令 ,()6,(1)8,()fafayfx得 所 以 曲 线
8、在点 (,f处的切线方程为 1(8yx由点 0,6)在切线上可得 166,2a故 .（2）由（1）知， 2()5)ln(0)fxx， 6(2)3(5xfx- 6 -令 ()0fx，解得 12,3x当 2或 时， ()0f，故 ()fx在 0,2(3)上为增函数；当 23x时，()0fx，故 ()fx在(2,3)上为减函数.由此可知， 在 2处取得极大值 9(2)6lnf，在 3x处取得极小值 (3)26lnf21. 解：(1) xy8(2)将 2kb代 入 中，得 22(8)0kxbx，其中 3640 由根与系数的关系得， 128,xk 21.k x 轴是 PBQ 的解平分线， 12yx，即
9、1221()()0,yxx 1221()()0kbkxb， 1212kbkb，将代入并整理得 ()8)0k， kb，此时0 直线 l 的方程为 (1ykx，即直线 l 过定点 (1,0).22.解:(1)由已知得到 1b,且 24a,所以椭圆的方程是24xy; (2)因为直线 l,且都过点 (0,1)P,所以设直线 1:10lk,直线 2:1lyxkyk,所以圆心 (0,)到直线1: 0l的距离为 21dk,所以直线 1l被圆 24xy所截的弦 223441kABd; 由 2204801xykxkx,所以 2228648|()44DPxDPkkk,所以 22113813| 4SAB- 7 -(3) 228438431kkS2222 31614343kkk, 当 22150时等号成立, 此时直线，10:lyx
