1、1维基百科正弦性质奇偶性 奇定义域 (- ,)到达域 -1,1周期 2特定值当 x=0 0当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值 (2k+),1)最小值 (2k-),-1)其他性质渐近线 N/A根 k2临界点 k- /2拐点 k不动点 0k 是一个整数.余弦性质奇偶性 偶定义域 (- ,)到达域 -1,1周期 2特定值当 x=0 0当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值 (2k,1)最小值 (2k+1),-1)其他性质3渐近线 N/A根 k- /2临界点 k拐点 k- /2不动点 0k 是一个整数.正切性质奇偶性 奇定义域x|xk+/2，kZ到达域 (- ,)周期 特定值当 x=0 0
2、当 x=+ N/A当 x=- N/A4最大值 最小值 -其他性质渐近线 N/A根 k不动点 0k 是一个整数.5余切性质奇偶性 奇定义域xRxk，kZ到达域 (- ,)周期 特定值当 x=0 0当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值 最小值 -其他性质渐近线 N/A6根 k+不动点 0k 是一个整数.正割7性质奇偶性 偶定义域x|xk+/2，kZ到达域 |secx| 1周期 2特定值当 x=0 0当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值 最小值 -其他性质渐近线 N/A根 无实根临界点 k拐点 k- /2不动点 08k 是一个整数.余割9性质奇偶性 奇定义域 x|xk，k Z到达域 |c
3、sc x|1周期 2特定值当 x=0 0当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值(,)最小值(,-)其他性质渐近线 N/A根 无实根临界点 k- /2拐点 k10反正弦不动点 0k 是一个整数.11性质奇偶性 奇定义域 -1, 1到达域周期 N/A特定值当 x=0 0当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值最小值其他性质渐近线 N/A根 012反余弦性质奇偶性 非奇非偶函数13定义域 -1, 1到达域周期 N/A特定值当 x=0当 x=+ N/A当 x=- N/A最大值最小值其他性质渐近线 N/A根 114反正切性质奇偶性 奇函数定义域 实数集15到达域周期 N/A特定值当 x=0 0当
4、x=+当 x=-其他性质渐近线根 0拐点 原点名称 常用符号 定义 定义域 值域反正弦反余弦反正切反余切反正割反余割百度文库下载分 别 是 正 弦 余 弦 正 切 余 切 正 割 余 割16角 的 所 有 三 角 函 数(见 :函 数 图 形 曲 线 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 从 点 O 引 出 一 条 射 线 OP， 设 旋 转 角 为 ， 设 OP=r， P 点 的 坐 标 为 （ x， y） 有正 弦 函 数 sin=y/r余 弦 函 数 cos=x/r正 切 函 数 tan=y/x余 切 函 数 cot=x/y正 割 函 数 sec=r/x余 割 函 数 csc
5、=r/y（ 斜 边 为 r， 对 边 为 y， 邻 边 为 x。 ）以 及 两 个 不 常 用 ， 已 趋 于 被 淘 汰 的 函 数 ：正 矢 函 数 versin =1-cos余 矢 函 数 covers =1-sin正 弦 （ sin） :角 的 对 边 比 上 斜 边 余 弦 （ cos） :角 的 邻 边 比 上 斜 边 正 切 （ tan） :角 的 对 边 比 上 邻 边 余 切 （ cot） :角 的 邻 边 比 上 对 边 正 割 （ sec） :角 的 斜 边 比 上 邻 边 余 割 （ csc） :角 的 斜 边 比 上 对 边 编 辑 本 段 同 角 三 角 函 数 间
6、 的 基 本 关 系 式 ：平 方 关 系 ：sin2 cos2 11 tan2 sec21 cot2 csc2积 的 关 系 ：sin=tancoscos=cotsintan=sinsec 17cot=coscscsec=tancsc csc=seccot倒 数 关 系 ：tan cot 1sin csc 1cos sec 1商 的 关 系 ：sin/cos tan sec/csccos/sin cot csc/sec直 角 三 角 形 ABC 中 , 角 A 的 正 弦 值 就 等 于 角 A 的 对 边 比 斜 边 , 余 弦 等 于 角 A 的 邻 边 比 斜 边 正 切 等 于 对
7、边 比 邻 边 ,1三 角 函 数 恒 等 变 形 公 式两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 ：cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)三 角 和 的 三 角 函 数 ：sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(+)=(tan+tan+tan-tantantan
8、)/(1-tantan-tantan-tantan)辅 助 角 公 式 ：Asin+Bcos=(A+B)(1/2)sin(+arctan(B/A)， 其 中sint=B/(A+B)(1/2)cost=A/(A+B)(1/2)tant=B/AAsin-Bcos=(A+B)(1/2)cos(-t)， tant=A/B倍 角 公 式 ：sin(2)=2sincos=2/(tan+cot)cos(2)=cos()-sin()=2cos()-1=1-2sin()tan(2)=2tan/1-tan()三 倍 角 公 式 ：sin(3)=3sin-4sin()=4sinsin(60+)sin(60-)18c
9、os(3)=4cos()-3cos=4coscos(60+)cos(60-) tan(3)=tan a tan(/3+a) tan(/3-a)半 角 公 式 ：sin(/2)=(1-cos)/2)cos(/2)=(1+cos)/2)tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin降 幂 公 式sin()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan()=(1-cos(2)/(1+cos(2)万 能 公 式 ：sin=2tan(/2)/1+tan(/2)cos=1-tan(/2)/1+
10、tan(/2)tan=2tan(/2)/1-tan(/2)积 化 和 差 公 式 ：sincos=(1/2)sin(+)+sin(-)cossin=(1/2)sin(+)-sin(-)coscos=(1/2)cos(+)+cos(-)sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)和 差 化 积 公 式 ： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2推 导 公 式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=
11、2cos1-cos2=2sin1+sin=(sin/2+cos/2)其 他 ：sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以 及sin()+sin(-2/3)+sin(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx证 明 ：19左 边 =2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2
12、sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx （ 积 化 和 差 ）=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右 边等 式 得 证sinx+sin2x+.+sinnx= - cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx证 明 :左 边 =-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx)=cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx)=- cos(n
13、+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=右 边等 式 得 证三 倍 角 公 式 推 导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sinacos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa=4cosa-3cosasin3a=3sina-4sina=4sina(3/4-sina)=4sina(3/2)-sina=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina
14、*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60+a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cosa-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosacosa-(3/2)=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-co
15、s(60+a)20=4cosacos(60-a)cos(60+a)上 述 两 式 相 比 可 得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 编 辑 本 段 三 角 函 数 的 诱 导 公 式公 式 一 ： 设 为 任 意 角 ， 终 边 相 同 的 角 的 同 一 三 角 函 数 的 值 相 等 ： sin（ 2k ） sin cos（ 2k ） cos tan（ 2k ） tan cot（ 2k ） cot 公 式 二 ： 设 为 任 意 角 ， + 的 三 角 函 数 值 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： sin（ ） sin cos（ ） cos tan（
16、 ） tan cot（ ） cot 公 式 三 ： 任 意 角 与 - 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： sin（ ） sin cos（ ） cos tan（ ） tan cot（ ） cot 公 式 四 ： 利 用 公 式 二 和 公 式 三 可 以 得 到 - 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： sin（ ） sin cos（ ） cos tan（ ） tan 21cot（ ） cot 公 式 五 ： 利 用 公 式 一 和 公 式 三 可 以 得 到 2- 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： sin（ 2 ） sin cos（ 2 ） cos
17、 tan（ 2 ） tan cot（ 2 ） cot 公 式 六 ： /2 及 3/2 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ： sin（ /2 ） cos cos（ /2 ） sin tan（ /2 ） cot cot（ /2 ） tan sin（ /2 ） cos cos（ /2 ） sin tan（ /2 ） cot cot（ /2 ） tan sin（ 3/2 ） cos cos（ 3/2 ） sin tan（ 3/2 ） cot cot（ 3/2 ） tan sin（ 3/2 ） cos cos（ 3/2 ） sin tan（ 3/2 ） cot cot（ 3/2 ） ta
18、n (以 上 k Z) 补 充 ： 69 54 种 诱 导 公 式 的 表 格 以 及 推 导 方 法 （ 定 名 法 则 和 定 号 法 则 ）f()f()sincostancotseccsc360k+sincostancotseccsc90-cossincottancscsec90+cos-sin-cot-tan-cscsec22180-sin-cos-tan-cot-seccsc180+-sin-costancot-sec-csc270-cos-sincottan-csc-sec270+-cossin-cot-tancsc-sec360-sincos-tan-cotsec-csc-sin
19、cos-tan-cotsec-csc定 名 法 则90的 奇 数 倍 + 的 三 角 函 数 ， 其 绝 对 值 与 三 角 函 数 的 绝 对 值 互 为 余 函 数 。 90的 偶 数 倍 + 的 三 角 函 数 与 的 三 角 函 数 绝 对 值 相 同 。 也 就 是 “奇 余 偶 同 ， 奇 变 偶 不 变”定 号 法 则将 看 做 锐 角 （ 注 意 是 “看 做 ”） ， 按 所 得 的 角 的 象 限 ， 取 三 角 函 数 的 符 号 。 也 就是 “象 限 定 号 ， 符 号 看 象 限 ”比 如 :90+。 定 名 ： 90是 90的 奇 数 倍 ， 所 以 应 取 余
20、函 数 ； 定 号 ： 将 看 做 锐角 ， 那 么 90+ 是 第 二 象 限 角 ， 第 二 象 限 角 的 正 弦 为 负 ， 余 弦 为 正 。 所 以 sin(90+)=cos , cos(90+) -sin 这 个 非 常 神 奇 ， 屡 试 不 爽 编 辑 本 段 三 角 形 与 三 角 函 数1、 正 弦 定 理 ： 在 三 角 形 中 ， 各 边 和 它 所 对 的 角 的 正 弦 的 比 相 等 ， 即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (其 中 R 为 外 接 圆 的 半 径 ) 2、 第 一 余 弦 定 理 ： 三 角 形 中 任 意 一 边 等 于 其
21、他 两 边 以 及 对 应 角 余 弦 的 交 叉 乘 积 的和 ， 即 a=c cosB + b cosC3、 第 二 余 弦 定 理 ： 三 角 形 中 任 何 一 边 的 平 方 等 于 其 它 两 边 的 平 方 之 和 减 去 这 两 边与 它 们 夹 角 的 余 弦 的 积 的 2 倍 ， 即 a2=b2+c2-2bc cosA4、 正 切 定 理 (napier 比 拟 )： 三 角 形 中 任 意 两 边 差 和 的 比 值 等 于 对 应 角 半 角 差 和 的正 切 比 值 ， 即 （ a-b） /(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2
22、/cot(C/2)5、 三 角 形 中 的 恒 等 式 ：对 于 任 意 非 直 角 三 角 形 中 ,如 三 角 形 ABC,总 有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证 明 :23已 知 (A+B)=(-C)所 以 tan(A+B)=tan(-C)则 (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整 理 可 得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC类 似 地 ,我 们 同 样 也 可 以 求 证 :当 +=n(n Z)时 ， 总 有 tan+tan+tan=tantantan 编 辑 本 段 部 分 高 等
23、 内 容高 等 代 数 中 三 角 函 数 的 指 数 表 示 (由 泰 勒 级 数 易 得 )：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i)cosx=e(ix)+e(-ix)/2tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)泰 勒 展 开 有 无 穷 级 数 ， ez=exp(z) 1 z/1！ z2/2！ z3/3！ z4/4！ zn/n！ 此 时 三 角 函 数 定 义 域 已 推 广 至 整 个 复 数 集 。三 角 函 数 作 为 微 分 方 程 的 解 ：对 于 微 分 方 程 组 y=-y;y=y， 有 通 解 Q,可 证 明Q=Asinx+Bcosx， 因 此
24、 也 可 以 从 此 出 发 定 义 三 角 函 数 。补 充 ： 由 相 应 的 指 数 表 示 我 们 可 以 定 义 一 种 类 似 的 函 数 双 曲 函 数 ， 其 拥 有 很多 与 三 角 函 数 的 类 似 的 性 质 ， 二 者 相 映 成 趣 。:角 度 a 0 30 45 60 90 1801.sina 0 1/2 2/2 3/2 1 02.cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 -13.tana 0 3/3 1 3 / 04.cota / 3 1 3/3 0 /（ 注 ： “”为 根 号 ） 编 辑 本 段 三 角 函 数 的 计 算幂 级 数 c0+c1x+c2x2+
25、.+cnxn+.=cnxn (n=0) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n (n=0)它 们 的 各 项 都 是 正 整 数 幂 的 幂 函 数 , 其 中 c0,c1,c2,.cn.及 a 都 是 常 数 , 这 种 级数 称 为 幂 级 数 .泰 勒 展 开 式 (幂 级 数 展 开 法 ):f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+.24实 用 幂 级 数 ：ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+.ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-.(-1
26、)k-1*xk/k+. (|x|1)sin x = x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+. (-x)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+. (-x)arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . (|x|1)arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . ) (|x|1)arctan x = x - x3/3 + x5/5 - . (x1)sinh x = x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1
27、)!+. (-x)cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+. (-x)arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - . (|x|1)arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + . (|x|1)在 解 初 等 三 角 函 数 时 ， 只 需 记 住 公 式 便 可 轻 松 作 答 ， 在 竞 赛 中 ， 往 往 会 用 到 与 图 像结 合 的 方 法 求 三 角 函 数 值 、 三 角 函 数 不 等 式 、 面 积 等 等 。-傅 立 叶 级 数 (三 角 级 数 ) f(x)=a0/2+(n=
28、0) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/(-) (f(x)dxan=1/(-) (f(x)cosnx)dxbn=1/(-) (f(x)sinnx)dx三 角 函 数 的 数 值 符 号正 弦 第 一 ， 二 象 限 为 正 ， 第 三 ， 四 象 限 为 负余 弦 第 一 ， 四 象 限 为 正 第 二 ， 三 象 限 为 负正 切 第 一 ， 三 象 限 为 正 第 二 ， 四 象 限 为 负 编 辑 本 段 三 角 函 数 定 义 域 和 值 域sin(x),cos(x)的 定 义 域 为 R,值 域 为 -1,1 tan(x)的 定 义 域 为 x 不 等 于 /2+k,值
29、域 为 R cot(x)的 定 义 域 为 x 不 等 于 k,值 域 为 R 编 辑 本 段 初 等 三 角 函 数 导 数y=sinx-y=cosx y=cosx-y=-sinx y=tanx-y=1/(cosx)2; =(secx)2;y=cotx-y=-1/(sinx)2 =-(cscx)2;y=secx-y=secxtanxy=cscx-y=-cscxcotx25y=arcsinx-y=1/1-x2;y=arccosx-y=-1/1-x2;y=arctanx-y=1/(1+x2;) y=arccotx-y=-1/(1+x2;) 编 辑 本 段 反 三 角 函 数三 角 函 数 的 反
30、 函 数 ， 是 多 值 函 数 。 它 们 是 反 正 弦 Arcsin x， 反 余 弦 Arccos x，反 正 切 Arctan x， 反 余 切 Arccot x 等 ， 各 自 表 示 其 正 弦 、 余 弦 、 正 切 、 余 切 、 正 割、 余 割 为 x 的 角 。 为 限 制 反 三 角 函 数 为 单 值 函 数 ， 将 反 正 弦 函 数 的 值 y 限 在 y=-/2y/2， 将 y 为 反 正 弦 函 数 的 主 值 ， 记 为 y=arcsin x； 相 应 地 ， 反 余 弦 函 数 y=arccos x 的 主 值 限 在 0y； 反 正 切 函 数 y=a
31、rctan x 的 主 值 限 在 -/2y/2； 反 余 切 函数 y=arccot x 的 主 值 限 在 0y。反 三 角 函 数 实 际 上 并 不 能 叫 做 函 数 ， 因 为 它 并 不 满 足 一 个 自 变 量 对 应 一 个 函 数 值 的要 求 ， 其 图 像 与 其 原 函 数 关 于 函 数 y=x 对 称 。 其 概 念 首 先 由 欧 拉 提 出 ， 并 且 首 先 使 用了 arc+函 数 名 的 形 式 表 示 反 三 角 函 数 ， 而 不 是 f-1(x). 反 三 角 函 数 主 要 是 三 个 ： y=arcsin(x)， 定 义 域 -1,1， 值 域 -/2,/2， 图 象 用 红 色 线 条 ； y=arccos(x)， 定 义 域 -1,1， 值 域 0,， 图 象 用 兰 色 线 条 ； y=arctan(x)， 定 义 域 (-,+)， 值 域 (-/2,/2)， 图 象 用 绿 色 线 条 ； sinarcsin(x)=x,定 义 域 -1,1,值 域 【 -/2,/2】 证 明 方 法 如 下 ： 设 arcsin(x)=y,则 sin(y)=x ,将 这 两 个 式 子 代 如 上 式 即 可 得 其 他 几 个 用 类 似 方 法 可 得 。
