1、齿轮传动典型例题（设计） 一、应熟记的公式： 60 2 1 n ； ; 10 55 . 9 1 1 6 1 n P T 12 1 2 i T T 1）直齿： 1 1 2 d T F t ； tan t r F F ； cos t n F F 。 2 1 t t F F ； 。 2 1 r r F F 2）斜齿： ； 2 1 t t F F 2 1 r r F F ； 2 1 a a F F 。 1 2 1 2 d T F t ； s c Z m d n 0 1 1 。 cos / tan 1 1 n t r F F ； tan 1 1 t a F F 。 3）圆锥： ； 2 1 t t F F
2、 2 1 a r F F ； 2 1 r a F F 。 1 1 1 2 m t d T F , ) 5 . 0 1 ( sin 1 1 1 1 R m d b d d ； 1 1 1 cos tan t r F F ； 1 1 1 sin tan t a F F 。 R b R ， 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 d d Z Z m R ； 1 2 1 2 2 1 tan tan c Z Z n n i 4）蜗轮蜗杆： 2 1 a t F F ； 2 1 r r F F ； 2 1 t a F F 。 1 1 1 2 d T F t ， ； mq d 1 2 2 2 1 2 d
3、T F F t a ； tan 2 2 1 t r r F F F 二、习题 1 判断下列圆锥齿轮受力，设驱动功率为 P，主动轮转速为 1 n （方向如图示） 。各齿轮 几何参数均已知。求： （1）两轮各力的方向； （2）各力计算表达式。 解： （1）如图所示； 1 （2） ; 10 55 . 9 1 1 6 1 n P T 12 1 2 i T T ； 2 1 1 1 2 t m t F d T F ， ) 5 . 0 1 ( sin 1 1 1 1 R m d b d d ； 1 1 1 cos tan t r F F ； 1 1 1 sin tan t a F F 。 2. 一对标准直齿
4、圆柱齿轮传动，已知：Z=20，Z=40，小齿轮材料为 40Cr,大齿轮材料为 45 钢，齿形系数 Y Fa1 =2.8 ,Y Fa2 =2.4应力修正系数 Y Sa1 =1.55 ,Y Sa2 =1.67,许用应力 H 1 =600MPa, H 2 =500MPa, F 1 =179MPa, F 2 =144MPa, 问: （1） 哪个齿轮的接触强度弱？（2）哪个齿轮的弯曲强度弱？为什么？ 解： （1）判断哪个齿轮的接触强度弱 相互啮合的一对齿轮，其接触应力相等： 12 H H 2 但： 1 600 H MPa 2 500 H M Pa 说明大齿轮的接触强度弱。 （2） 哪个齿轮的弯曲强度弱？
5、 11 1 2.8 1.55 0.024 179 Fa Sa F YY 22 2 2.4 1.67 0.028 144 Fa Sa F YY 22 11 21 Fa Sa Fa Sa FF YY YY 大齿轮的弯曲强度弱。 3. 设斜齿圆柱齿轮传动的转向和旋向如图（a）所示，试分别画出轮 1 为主动轮和轮 2 为主 动轮时圆周力 、 ，轴向力 、 ，径向力 、 的方向。 1 t F 2 t F 1 a F 2 a F 1 r F 2 r F 解：1）当 1轮主动时，各力方向如图（b）所示 2 ）当 2轮主动时，各力方向如图（c）所示 4 图 （a） 所示两级斜齿圆柱齿轮减速器， 已知条件： 1
6、7 1 Z ， 51 2 Z ， ； mm m n 3 12 17 3 Z ， ， ； 42 4 Z mm m n 5 34 15 12 ，轴承效率 99 . 0 1 ，齿轮啮合效率 99 . 0 2 。试问：1） 低速级斜齿轮的螺旋线方向如何选择才能使中间轴上两齿轮的轴向力方向相反？2） 低速级螺 旋角 34 应取多大值才能使中间轴上两个轴向力互相抵消？ 解：1）欲使中间轴两齿轮的轴向力方向相反，应使 中间轴两齿轮的螺旋线方向一致，均为左旋。 2）求低速级齿轮 的螺旋角 4 Z 34 。 为抵消中间轴的轴向力，应使： 其中： 12 1 1 12 1 1 2 tan 2 tan d T F F
7、 F t a a 12 1 12 1 sin 2 Z m T n ) 1 ( 1 1 2 1 12 1 2 3 3 T Z Z T i T T T ) 2 ( 3 34 34 1 34 3 3 34 3 3 sin 3 2 tan 2 tan Z m T d T F F n t a ) 3 ( 联立（1） 、 （3）得： 1467 . 0 99 . 0 99 . 0 51 3 15 sin 17 5 sin sin 2 12 12 3 34 34 Z m Z m n n 437 . 8 34 5已知一直齿圆锥斜齿轮减速器布置和转向如图所示。锥齿轮大端模数 ， mm m 5 齿宽 ， ， mm
8、b 50 25 1 Z 60 2 Z ；斜齿轮 , 6mm m n 21 3 Z ， ； 84 4 Z 齿轮啮合效率 99 . 0 1 ，轴承效率 99 . 0 2 。欲使轴上的轴向力在轴承上的作用完 全抵消，求斜齿轮螺旋角 3 的大小和方向。 （提示：锥齿轮的力作用在齿宽中点） 3 解：1）判断齿轮 3的旋向为右旋（图 b） 2）为使轴的轴向力完全抵消，应使： 3 2 a a F F 34 34 3 3 34 3 3 tan cos 2 tan Z m T F F n t a 34 3 3 sin 2 Z m T n 1 1 1 1 1 1 2 cos tan 2 cos tan m t r
9、 a d T F F F 其中： ) / 5 . 0 1 ( 1 1 R b d d m 2 2 2 1 2 Z Z m R = 5 . 162 60 25 2 5 2 2 mm d m 25 . 106 ) 5 . 162 / 50 5 . 0 1 ( 75 1 6 . 22 60 25 arctan arctan 2 1 1 Z Z 12 1 2 3 i T T T 由： 3 2 a a F F 得： 2 1 2 1 3 1 34 99 . 0 60 25 . 106 25 21 6 6 . 22 cos 20 tan cos tan sin Z Z d Z m m n 75 . 9 34
10、 6绘图说明当齿轮在轴上非对称布置时，为什么最好使齿轮远离输入端或输出端？ 解：如图示。 7一对闭式直齿圆柱齿轮传动，在中心距a、传动比i及其它条件不变的情况下，如减小模 数 m并相应地增大齿数 、 ，试问对其接触疲劳强度和弯曲疲劳强度各有何影响？ 1 Z 2 Z 解： 两种分析方法 1 简化分析（普遍采用） （1） 接触强度分析 本教材的接触强度设计公式： 2 1 3 1 2 1 HE dH KT Z Z u d u 4 其他版本教材的接触强度设计公式： 2 1 3 1 (1 ) ( ) 2 EH dH ZZZ KT u au u 由以上两公式可知 分度圆 、中心距 值一定，接触强度相应确定
11、，由中心距公式 1 d a 12 ( 2 m aZZ ) a 可以看出， 无论模数、齿数怎样改变，只要中心距 不变，接触强度就不变。 （2）弯曲强度分析 由弯曲强度设计公式 1 3 2 1 2 Fa Sa dF YY KT m Z 可知，模数反映弯曲强度，模数越大，弯曲强度越大，模数越小，弯曲强度越小。由此可知， 减小模数，弯曲强度降低。 2精确分析 由接触应力计算公式： 3 2 1 1 1 2 u u bd KT Z Z Z H E H （邱宣怀） u u d KT Z Z d H E H 1 2 3 1 1 （濮良贵） 邱宣怀公式中： 重合度系数， Z 3 4 a Z ， a 重合度系数，
12、其值大小与齿数有 关（ ) tan (tan ) tan 2 1 2 2 1 a a a Z Z (tan 1 齿数Z 1、Z 2 越少， a 越小， H 越 大，接触强度越低。该题用邱宣怀的公式分析更为明显。 7 一个二级两轴线圆柱齿轮减速器如图所示。各齿轮材料及硬度相同，齿宽也相等； ， ，试分析： （1）哪一齿轮表面接触强度最弱？（2） 50 3 1 Z Z 150 4 2 Z Z那一齿轮齿根弯曲强度最弱（设轮芯 HBS350）？（3）低速级和高速级的齿宽系数 d 那个应大一些？为什么？（4）如中心距 不变，而使各轮的齿数减少一半， ，则各轮 a的齿面接触强度、齿根弯曲强度有无变化？ 5
13、解：设 则 1 N K 4 3 2 1 H H H H ， 4 3 2 1 F F F （1） 比较各轮的接触接触应力 H 的大小以决定哪个齿轮接触强度最弱，由公式： H t E H u u bd KF Z 1 5 . 2 1 （濮良贵 P200,公式 10-8a） 可知，各轮的K 、u、b相等，接触应力的大小取决于 和 的大小。 ， t F d 3 1 d d 但 ， 1 3 t t F F 1 3 H H 故齿轮 3的接触强度低。 （2）比较弯曲强度 因： F sa Fa F sa Fa F sa Fa F sa Fa Y Y Y Y Y Y Y Y 4 4 2 2 3 3 1 1 只须比
14、较 1 F 、 3 F ，由公式 ： F sa Fa F Y Y KT 2 其中 1 3 T T 故齿轮 3的弯曲强度最低。 8.如图所示，为一斜齿圆柱齿轮传动装置。若轮 1为主动轮，转向如图所示，齿轮为右旋时， 试在图中画出轮 1、 2和 3的圆周力、径向力和轴向力的方向。若改轮 2为主动轮，转向不变， 则各力方向有何变化？ 解：1轮 1为主动轮 2轮为主动轮（解略） 9如图所示的二级斜齿圆柱齿轮减速器中，已知动力从轴输入，从轴输出，其转动方向 如图（a）所示，齿轮 4为右旋。试解答： （1） 试标出轴和轴的转向； （2） 确定并标出齿轮 1、2、3旋向，要求使轴所受的轴向力尽可能小； （3
15、） 标出各齿轮在啮合点处所受各力的方向； （4） 画出轴联同齿轮 2和 3一体的空间受力图。 610一对标准直齿圆柱齿轮传动小齿轮齿数 20 1 z ， 420 1 F ，大齿轮齿数 60 2 z ， a F MP 420 2 ，试分析哪个齿轮的弯曲强度高。 解：由弯曲应力计算式和弯曲强度条件可知，比较两齿轮弯曲强度的高低，只需比较两齿轮 的Y Fa1Y sa1 / F1 与Y Fa2Y sa2 / F2 即可。 小齿轮的齿数 ，查得： 20 1 Z 8 . 2 1 Fa Y ， 56 . 1 1 Sa Y ，大齿轮的齿数 60 2 Z 28 . 2 2 Fa Y ， ，则： 73 . 1 2
16、 Sa Y 01038 . 0 380 73 . 1 28 . 2 0104 . 0 420 56 . 1 8 . 2 2 2 2 1 1 1 F Sa Fa F sa Fa Y Y Y Y 所以大齿轮具有较高的抗弯曲强度。 11.一对标准直齿圆柱齿轮传动，在进行齿面接触疲劳强度计算时，问： （1） 两个齿轮的接触应力哪个大？ （2） 在计算时，在 1 H ， 2 H 中，应代哪个值计算，为什么？ （3） 在什么情况下，两轮许用接触应力相等？ 解： （1）一样大； （2）应代小值计算，值越小，强度越低 。 （从 P200 公式 10-8a，10-9a中分析） （3）由公式： S K H N H
17、 lim 可知： 当两轮均按无限寿命考虑（K N =1） ，材料、热处理方式、硬度、安全系数S均相同时，两 轮许用接触应力相等。 12.在图示传动中，1）当 1 轮和 2 轮分别为主动轮时，试说明两轮轮齿的接触应力和弯曲应 力变化性质； 2）计算接触寿命系数K N1 、 K N2 。设 轮 1和轮 2 均采用调质钢并允许少量点蚀。 转速 ， min / 160 1 r n min / 40 2 r n ；工作总时间 h t h 10000 。 解： （1）1轮主动时，1轮每转一周 同一侧齿面啮合一次，接触应力、弯曲应力均为脉动循环 变化； 2 轮每转一周同一侧齿面啮合一次，接触应力为脉动循环变
18、化，弯曲应力为对称循环变 化。应力循环次数： 7 1 1 10 6 . 9 10000 1 160 60 60 h jL n N 7 2 2 10 4 . 2 10000 1 40 60 60 h jL n N 查图 10-19（P203）得 , 53 . 1 1 HN K 2 HN K 1.45。 （2） 2轮主动时, 1轮每转一周 同一侧齿面啮合一次，接触应力、弯曲应力均为脉动循环 变化；2轮每转一周同一侧齿面啮合两次，接触应力、弯曲应力均为脉动循环变化， 应力循环次数： 7 1 1 10 6 . 9 10000 1 160 60 60 h jL n N 7 2 2 10 8 . 4 10
19、000 2 40 60 60 h jL n N 查图 10-19（P203）得 , 53 . 1 1 HN K 2 HN K 1.48。 7题 13 图示直齿圆柱齿轮变速箱，长期工作，各对齿轮的材料、热处理、载荷系数、齿宽、 模数均相同，不计摩擦损失。已知： Z 1 =20， Z 2 =80， Z 3 =40 ， Z 4 =60， Z 5 =30 ， Z 6 =70 ， 主动轴的转速 n 1 =1000rom ，从动轴的转矩 T 2 恒定，试分析那对齿轮的接触强度最大， 那对最小？ 8 轮的 解： （1）确定比较条件 接触强度校核公式： 由题意知： 各 H 、 、b E K 、Z 、 H Z
20、均相等，比较各轮接触强度，只须比较： 1 2 T u 1 1 du （因 1 2 1 1 T u du H ） 。 注意：两轴的中心距 12 ( 2 m aZZ ) 相等-，即： 12 34 34 ()()() 222 mmm aZ ZZZZ Z 123434 () () () ZZZZZZ 由于 T 2 恒定，有：TT 2 1 12 1 2 12 / i TTi ，忽略摩擦，TT 121 22 / iTu 1 2 1 du 1 Tu = 1 1 Tu 222 mZu 22 2 11 11 121 22 22 22 2 22 111 1 22 22 11 11 ZZ TZ TZ TZZZ mZ
21、 mZ mZ Z Z ZZ ZZ 1 2 3因：各轮模数相等，主动轮扭矩相等，即：TT 12 T ，且 123434 () () () ZZZZZZ 故只需比较： 2 12 1 Z Z （2） 比较接触强度 第一对齿轮（ Z 1 =20，Z 2 =80） ： 2 12 1 Z Z 2 11 20 80 128000 第一对齿轮（ Z 1 =40，Z 2 =60） ： 2 34 1 Z Z 2 11 40 60 144000 第一对齿轮（ Z 1 =30，Z 2 =70） ： 2 56 1 Z Z 2 11 30 70 147000 分析结果：第三对齿轮接触强度最高，第一对齿轮接触强度最低（ 2
22、 12 1 H ZZ ） 1 3 5 2 6 4 1 2 1 2 1 H EH H KT u ZZ bd u 例1：一对标准直齿圆柱齿轮传动。已知： z 1 20，z 2 40，m=2mm，b=40mm, Y Sa1 =1.55，Y Sa2 =1.67，Y Fa1 =2.80，Y Fa2 =2.40， Z H =2.5，Z E =189.8(MPa)1/2， P=5.5kW，n 1 =1450r/min，K 1 =K 2 。 求： F1 / F2 和 H1 / H2 。 注： F = KF bm Y Y t Sa Fa 1 H E H bd KF Z Z t = 解： H1 / H2 =1（因
23、作用力等于反作用力） F1 F2 Sa1 Fa1 Sa2 Fa2 / / . . . . . = = = Y Y Y Y 2 8 155 2 4 167 1083例2：一单级标准直齿圆柱齿轮减速器，已知模数 m=5mm，大小齿轮的参数分别为：齿数 Z 1 =25，Z 2 =60 ， 若主从动轮的许用接触应力为： H1 =540Mpa， H2 =520MPa；许用弯曲应力 F1 =310 Mpa, F2 =300 Mpa。试问： （1）哪个齿轮的弯曲疲劳强度高？ （2）若算得大齿轮的齿根弯曲应力 F2 =280 Mpa，判 断两个齿轮的弯曲疲劳强度是否足够? （3）若 d = 1.2, 载荷系数
24、 F =1.5，求由弯曲疲劳强 度决定的该减速器能传递的最大输入转矩。 Z 25 60 Y Fa 2.62 2.28 Y Sa 1.59 1.73 附: a F d Sa Fa F MP z m Y Y KT = 2 1 3 1 2解：（1）由 所以，大齿轮的弯曲疲劳强度高。 978 . 0 2 2 2 1 1 1 = Sa Y Fa Y F Sa Y Fa Y F 2 2 2 1 1 1 Sa Fa F Sa Fa F Y Y Y Y （2）由 得到： 两个齿轮的弯曲疲劳强度足够 得到： 2 2 1 3 2 2 1 2 280 2 F a d Sa Fa F MP z m Y Y KT =
25、= 99 . 70 280 280 2 2 2 2 1 3 1 = = Sa Fa d Y Y z m KT 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 7 . 295 99 . 70 2 F Sa Fa d Sa Fa F MPa Y Y z m Y Y KT = = = MPa z m Y Y F d Sa Fa 1 2 1 3 1 1 1 1 F KT 2 = （3）齿轮1弯曲疲劳强度低，按该齿轮计算减速器 传递的最大转矩 Nmm Y Y z m Sa Fa d F 6 1 1 2 1 3 1 1 10 32 . 2 K 2 T = 该减速器能传递的最大输入转矩 MPa 700 1 H =
26、H 2 MPa = 650 ( ) Z E MPa = 189 8 1 2 . u u bd KT Z Z 1 2 2 1 1 H E H = 例3： 一个单级直齿圆柱齿轮减速器中，已知齿数z 1 20， z 2 60，模数m=2.5mm，齿宽系数 d =1.2，小轮转速 n 1 =960r/min，若主、从动轮的许用接触应力分别为 载荷系数K1.6，节点区域系数Z H 2.5，弹性系数 试按接触疲劳强度，求该传动所能传递的功率。 注：参考公式 H H E H u u bd KT Z Z 1 2 2 1 1 = u z z = = = 2 1 60 20 3 / / d mz b d d 1
27、1 1 2 5 20 50 12 50 60 = = = = = = . . mm mm 1 2 2 1 2 H E 2 H 1 u u K bd Z Z T Nmm 73301 1 3 3 6 . 1 2 50 60 5 . 2 8 . 189 650 2 = + = kW 37 . 7 10 55 . 9 960 73301 10 55 . 9 6 6 1 1 = = = n T P 式中 所能传递的功率 解：例4: 图为二级展开式直齿圆柱齿轮减速器。 已知： 第一对齿轮：Z 1 =20，Z 2 =100，宽度b 1 =45mm， 模数m 1 =2.5mm； 第二对齿轮：Z 3 =23,Z
28、 4 = 77,宽度b 2 =60mm, 模数m 2 =3.0mm。两对齿轮中： 小齿轮的许用接触应力： H1 = H3 =619 MPa; 大齿轮的许用接触应力： H2 = H4 =540MPa。 试求： 该减速器齿轮接触强度所允许的输出扭矩T 出 为 多少? 附： K取1.3 ; 2 E mm / N 8 . 189 Z = a H 2 1 1 E H MP u 1 u bd KT 2 Z 5 . 2 = 2 12 12 2 1 1 1 1 2 5 . 2 H E u u d b KT Z + mm N T 584 . 46699 1 mm N T i i T = = 782218 1 2
29、 1 12 出 解：第一对齿轮： 2 1 H H 2 1 H H = 所以，第一对齿轮中齿轮2强度低 5 20 / 100 / 1 2 12 = = = z z u mm 50 20 5 . 2 1 1 1 = = = z m d 5 1 2 1 = = Z Z i 35 . 3 3 4 2 = = Z Z i 由第一对齿轮强度决定的减速器输出最大转矩为： 1 2 5 . 2 12 12 2 1 1 2 2 1 + u u K d b Z T E H 4 34 34 2 3 2 1 1 2 5 . 2 H E u u d b KT Z + mm N T 109584 3 mm N T i T
30、= = 367106 3 2 34 出 第二对齿轮： 4 3 H H 4 3 H H = 所以，第二对齿轮中齿轮4强度低 35 . 3 20 / 77 / 3 4 34 = = = z z u mm 69 23 3 3 2 3 = = = z m d 35 . 3 3 4 2 = = Z Z i 由第二对齿轮强度决定的减速器输出转矩为： 34 12 出 出 T T 所以减速器输出转矩为： mm N T = 367106 34 出例5： 图示直齿圆柱齿轮变速箱，长期工作，各对齿 轮的材料、热处理、载荷系数、齿宽、模数均 相同，不计摩擦损失。 已知：z 1 20，z 2 80，z 3 40，z 4
31、 60， z 5 30，z 6 70。 主动轴I的转速n 1 =1000r/min，从动轴II的转 矩T 2 恒定。 试分析哪对齿轮接触强度最大，哪对最小。例6： 图示为通用二级标准直齿圆柱齿轮减速器, 两对齿轮材料均为:小齿轮为45钢调质, H1 = H3 =609MPa；大齿轮为ZG45正 火, H2 = H4 =537MPa。 试问: .该减速器中齿轮传动的最主要的失效 形式是什么? .根据最主要的失效形式分析哪对齿轮 强度高?( 用比值说明两对齿轮强度高低) . 求减速器能输出的最大扭矩T 出。附: 两对齿轮的系数如下: =1.25 H =2.5 E =188.9 N/mm 2 若要求
32、减速器的输出扭矩 T 出 =80000Nmm,试验算齿 轮强度是否足够。例7： 某齿轮变速箱中有两对标准直齿圆柱齿轮， 双联主动齿轮1、3可分别与从动齿轮2、4相 啮合，各齿轮齿数如图所示，各齿轮的材料、 热处理硬度、模数均相同，主动轮输入转矩 T 不变. 试问: （1）当两对齿轮接触宽度相同时b 12 =b 34 , 列 式说明哪一对齿轮接触疲劳强度高？ （2）当齿轮对1、2的接触宽度b 12 =30mm时, 且两对齿轮要求弯曲疲劳强度相等，求齿轮 对3、4的接触齿宽b 34 应为多少？2 E mm / N 8 . 189 Z = MPa u 1 u bd KT 2 Z 5 . 2 H 2
33、1 1 E H = MPa bmd Y Y KT 2 F 1 sa Fa 1 F = 附：两对齿轮的系数如下: 弯曲载荷系数K F =1.85,接触载荷系数 K H =1.40, Z 30 60 Y Fa 2.52 2.28 Y Sa 1.625 1.73解：（1）接触疲劳应力 MPa u u bd T K Z H E H 1 2 5 . 2 2 1 1 = 12 12 2 1 12 1 1 1 2 5 . 2 u u d b T K Z H E H + = 34 34 2 3 34 2 H E 2 1 d T 2K 2.5Z u u b H + = 2 2 1 = H H 所以，1、2齿轮接触疲劳强度高 （2）弯曲疲劳应力 1 12 1 1 1 F 1 F T K 2 md b Y Y Sa Fa = 3 34 2 2 F 2 F F2 b Y T 2K md Y Sa a = MPa bmd Y Y T K sa Fa F F 1 1 2 = F2 F1 = 得到： mm 45 . 14 b 34 =
