1、第一讲 速算与巧算（一） 一、加法中的巧算 1.什么叫“补数”？ 两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。 如：1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。 又如：11+89=100，3367=100， 22+78=100，44+56=100， 55+45=100， 在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。 对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。 如：
2、 8765512345， 4680253198， 8736212638， 下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。 2.互补数先加。 例1 巧算下面各题： 36+87+6499+136101 136197263928 解：式=（3664）87 =10087=187 式=（99101）136 =200+136=336 式=（1361639）（97228） =2000+1000=3000 3.拆出补数来先加。 例2 188873 548996 9898203 解：式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略） 200+861=1061 式=（548-4）（9964） 页码，1
3、/4第一讲 速算与巧算（一）2010-07-04ada99:10927_SR.HTM=544+1000=1544 式=（9898102）（203-102） =10000+101=10101 4.竖式运算中互补数先加。 如： 二、减法中的巧算 1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。 例 3 300-73-27 1000-90-80-20-10 解：式= 300-（73 27） 300-100=200 式=1000-（90802010） 1000-200800 2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 例4 4723-（723189） 2356-159-256 解：式=4723-
4、723-189 4000-189=3811 式=2356-256-159 2100-159 =1941 3.利用“补数”把接近整十、整百、整千的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。 例 5 506-397 页码，2/4第一讲 速算与巧算（一）2010-07-04ada99:10927_SR.HTM323-189 467997 987-178-222-390 解：式=5006-400+3（把多减的 3再加上） =109 式=323-200+11（把多减的11再加上） =123+11134 式=4671000-3（把多加的3再减去） 1464 式=987-（178222）-
5、390 987-400-400+10=197 三、加减混合式的巧算 1.去括号和添括号的法则 在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即： a（bcd）abcd a-（bad）a-b-c-d a-（b-c）a-b+c 例6 100（102030） 100-（1020+3O） 100-（30-10） 解：式=100102030 =160 式=100-10-20-30 =40 式=100-3010 80 例7 计算下面各题： 100
6、102030 100-10-20-30 页码，3/4第一讲 速算与巧算（一）2010-07-04ada99:10927_SR.HTM 100-3010 解：式=100（10+20+30） =10060=160 式=100-（1020+30） 100-60=40 式=100-（30-10） =100-20=80 2.带符号“搬家” 例8 计算 32546-12554 解：原式=325-12546+54 （325-125）+（4654） =200+100300 注意：每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。 3.两个数相同而符号相
7、反的数可以直接“抵消”掉 例9 计算9+2-93 解：原式=9-92+3=5 4.找“基准数”法 几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。 例10 计算 78+768382+77807985 640 页码，4/4第一讲 速算与巧算（一）2010-07-04ada99:10927_SR.HTM习题一 一、直接写出计算结果： 1000-547 100000-85426 11111111110000000000-1111111111 78053000000-78053 二、用简便方法求和： 536+（541+464）+459 588264148 899634587546 567+5
8、58+562555563 三、用简便方法求差： 1870-280-520 4995-（995-480） 4250-29494 1272-995 四、用简便方法计算下列各题： 478-128+122-72 464-54599+345 537-（543-163）-57 947+（372-447）-572 五、巧算下列各题： 996599-402 74432485567245 2000-1347-253+1593 3675-（11+13+151719） 习题一解答 一、直接写出计算结果： 1000-547453 100000-85426=14574 页码，1/3习题一2010-07-04ada99:
9、10928_SR.HTM 11111111110000000000-1111111111 11111111108888888889 78053000000-7805378052921947 此题主要是练习直接写出“补数”的方法：从最高位写起，其各位数字用“凑九”而得，最后个位凑10而得。 二、用简便方法求和： 536（541464）459 （536+464）+（541459） =2000 588264148 =588+（12+252）+148 （58812）+（252148） 600+400 =1000 899634587546 =（89964）（34547546） =9000+11000（把
10、 3458分成 4和=9000+11000 3454） 20000 567558+562555563 5605+（7-2+2-5+3）（以560为基准数） 2800+52805 三、用简便方法求差： 1870-280-520 1870-（280+520） =1870-800 1070 4995-（995-480） =4995-995+480 =4000+480=4480 4250-29494 =4250-（294-94） 页码，2/3习题一2010-07-04ada99:10928_SR.HTM=4250-200=4050 1272-995 =1272-1000+5 =277 四、用简便方法计
11、算加减混合运算： 478-128122-72 =（478+122）-（12872） 600-200 400 464-54599345 464-（545-345）+100-1 =464-200100-1 363 537-（543-163）-57 537-543163-57 =（537163）-（543+57） =700-600 =100 947（372-447）-572 =947+372-447-572 =（947-447）-（572-372） =500-200 =300 五、巧算下列各题： 996599-402=1193 74432485567245=10740 2000-1347-25315
12、93=1993 3675-（11+13+15+17+19）=3600 页码，3/3习题一2010-07-04ada99:10928_SR.HTM第二讲 速算与巧算（二） 一、乘法中的巧算 1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式： 52=10 254=100 1258=1000 例1 计算123425 125282554 解：式=123（425） =12310012300 式=（1258）（254）（52） =100010010=1000000 2.分解因数，凑整先乘。 例 2计算 2425 56125 1255325 解：式=6（425） =6100=60
13、0 式=78125=7（8125） =71000=7000 式=1255485=（1258）（554） =1000100=100000 3.应用乘法分配律。 例3 计算 1753417566 6712+67356752+6 解：式=175（34+66） =175100=17500 式=67（1235521） 671006700 （原式中最后一项67可看成 671） 页码，1/5第二讲 速算与巧算（二）2010-07-04ada99:10929_SR.HTM例4 计算 123101 12399 解：式=123（1001）=123100123 12300123=12423 式=123（100-1）
14、 =12300-123=12177 4.几种特殊因数的巧算。 例5 一个数10，数后添0； 一个数100，数后添00； 一个数1000，数后添000； 以此类推。 如：1510=150 15100=1500 15100015000 例6 一个数9，数后添0，再减此数； 一个数99，数后添00，再减此数； 一个数999，数后添000，再减此数； 以此类推。 如：129120-12108 12991200121188 1299912000-12=11988 例7 一个偶数乘以5，可以除以2添上0。 如：6530 16580 1165=580。 例8 一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。 如 2
15、2221124442 页码，2/5第二讲 速算与巧算（二）2010-07-04ada99:10929_SR.HTM24561127016 例9 一个偶数乘以15，“加半添0”. 2415 （24+12）10 360 因为 2415 24（10+5） 24（10102） =2410+24102（乘法分配律） 2410+24210（带符号搬家） （24+242）10（乘法分配律） 例10 个位为5的两位数的自乘：十位数字（十位数字加1）100+25 如1515=1（1+1）100+25=225 2525=2（2+1）100+25=625 3535=3（3+1）100+25=1225 4545=4（
16、4+1）100+25=2025 5555=5（5+1）100+25=3025 65656（6+1）100+25=4225 7575=7（7+1）100+255625 页码，3/5第二讲 速算与巧算（二）2010-07-04ada99:10929_SR.HTM8585=8（8+1）100+25=7225 95959（9+1）100259025 还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看算得快一书。 二、除法及乘除混合运算中的巧算 1.在除法中，利用商不变的性质巧算 商不变的性质是：被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，
17、再除。 例11 计算1105330025 44000125 解：1105=（1102）（52） 22010=22 330025（33004）（254） 13200100132 44000125=（440008）（1258） 3520001000352 2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。 例12 8642754 8645427 =1627 =432 3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。 例13 13959 215-65 209024-48224 18712-6312-5212 解：139+59=（135）9 =1892 215-65（21-
18、6）5 155=3 209024-48224（2090-482）24 16082467 18712-6312-5212 页码，4/5第二讲 速算与巧算（二）2010-07-04ada99:10929_SR.HTM（187-63-52）12 7212=6 4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。 即a（bc）=abc 从左往右看是去括号， a（bc）abc 从右往左看是添括号。 a（bc）abc 例14 132
19、0500250 40001258 5600（286） 37216254 2997729（8181） 解： 13205002501320（500250） =132022640 400012584000（1258） 400010004 5600（286）=5600286 =2006=1200 37216254=372（16254） 3723124 2997729（8181）29977298181 （299781）（72981）379 333 页码，5/5第二讲 速算与巧算（二）2010-07-04ada99:10929_SR.HTM习题二 一、用简便方法求积： 17100 11125 239 23
20、99 1234511 5678911 3615 二、速算下列各题： 123254 456212525548 2532125 三、巧算下列各题： 1500012515 1200254 27000（1253） 3604060 四、巧算下列各题： 11343 195-95 23411+23488 习题二解答 一、用简便方法求积： 17100=1700 111255560 239=230-23=207 2399=2300-23=2277 1234511=135795 5678911=624679 页码，1/2习题二2010-07-04ada99:10930_SR.HTM3615=（36+18）1054
21、0 二、速算下列各题： 123254=123（254）12300 456212525548 =456（25）（254）（1258） =456000000 2532125 （254）（1258） =100000 三、巧算下列各题： 15000125151500015125=8 1200254=1200（254）=12 27000（1253） 2700031259（1000125） =98=72 36040603606040240 四、巧算下列各题： 113+43=（114）35 195-95（19-9）5=2 2341123488 =234（11+88）23499 234100-234=2316
22、6 页码，2/2习题二2010-07-04ada99:10930_SR.HTM第三讲 上楼梯问题 有这样一道题目：如果每上一层楼梯需要1分钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？如果你的答案是4分钟，那么你就错了.正确的答案应该是3分钟。 为什么是3分钟而不是4分钟呢？原来从一层上到四层，只要上三层楼梯，而不是四层楼梯。 下面我们来看几个类似的问题。 例1 裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？ 分析 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个
23、2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天， 我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少1.因此，只要看16米里有几个2米，问题就可以解决了。 解：16米中包含2米的个数：162=8（个） 剪去最后一段所用的天数：8-1=7（天） 答：第七天就可以剪去最后一段。 例2 一根木料在24秒内被切成了4段，用同样的速度切成5段，需要多少秒？ 可以从中发现规律：切的次数总比切的段数少1.因此，在24秒内切了4段，实际只切了3次，这样我们就可以求出切一次所用的时间了，又由于用同样的速度切成5段；实际上切了4
24、次，这样切成5段所用的时间就可以求出来了。解：切一次所用的时间：24（4-1）=8（秒） 切5段所用的时间：8（5-1）=32（秒） 答：用同样的速度切成5段，要用32秒。 例3 三年级同学120人排成4路纵队，也就是4个人一排，排成了许多排，现在知道每相邻两排之间相隔1米，这支队伍长多少米？ 解：因为每4人一排，所以共有：1204=30（排） 30排中间共有29个间隔，所以队伍长：129=29（米） 答：这支队伍长29米。 例4 时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？ 分析 如果盲目地计算：124=3（秒）， 36=18（秒），认为敲6下需要18秒钟就错了.请看下图：
25、 页码，1/2第三讲 上楼梯问题2010-07-04ada99:10931_SR.HTM时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是：123=4（秒）；时钟敲6下，其间共有5个间隔，所用时间为： 45=20（秒）。 解：每次间隔时间为：12（4-1）=4（秒） 敲 6下共用的时间为：4（6-1）20（秒） 答：时钟敲6下共用20秒。 例5 .某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？ 分析 要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，还要知道从4楼走到8楼共走几层楼梯.上一层楼梯需要：48（4-1）=16（秒）
26、，从4楼走到8楼共走8-4=4（层）楼梯。到这里问题就可以解决了。 解：上一层楼梯需要：48（4-1）=16（秒） 从4楼走到8楼共走：8-4=4（层）楼梯 还需要的时间：164=64（秒） 答：还需要64秒才能到达8层。 例6 晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？ 分析 要求晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶，必须先求出每一层楼梯有多少台阶，还要知道从一层走到6层需要走几层楼梯。 从1楼到3楼有3-1=2层楼梯，那么每一层楼梯有362=18（级）台阶，而从1层走到6层需要走6-1=5（层）楼梯，这样问题就可以迎
27、刃而解了。 解：每一层楼梯有：36（3-1）18（级台阶） 晶晶从1层走到6层需要走：18（6-1）=90（级）台阶。 答：晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶。 注：例1例4所叙述的问题虽然不是上楼梯，但它和上楼梯有许多相似之处，请同学们自己去体会.爬楼梯问题的解题规律是：所走的台阶数=每层楼梯的台阶数（所到达的层数减起点的层数）。 页码，2/2第三讲 上楼梯问题2010-07-04ada99:10931_SR.HTM习题三 1.一根木料截成3段要6分钟，如果每截一次的时间相等，那么截7段要几分钟？ 2.有一幢楼房高17层，相邻两层之间都有17级台阶，某人从1层走到11层，一共要登多少级台
28、阶？ 3.从1楼走到4楼共要走48级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶？ 4.一座楼房每上1层要走16级台阶，到小英家要走64级台阶，小英家住在几楼？ 5.一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要几分钟？ 6.时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完，12点钟敲12下，几秒钟敲完？ 7.某人到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到10层，还需要多少秒？ 8.A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？ 9.铁路旁每隔50米有
29、一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每秒多少米？ 习题三解答 1.解：每截一次需要：6（3-1）=3（分钟），截成7段要3（7-1）=18（分钟） 答：截成7段要18分钟。 2.解：从1层走到11层共走：11-1=10（个）楼梯，从1层走到11层一共要走：1710=170（级）台阶。 答：从1层走到11层，一共要登170级台阶。 3.解：每一层楼梯的台阶数为：48（4-1）=16（级），从1楼到6楼共走：6-1=5（个）楼梯，从1楼到6楼共走：165=80（级）台阶。 答：从1楼到6楼共走80级台阶。 4.解：到小英家共经过
30、的楼梯层数为：6416=4（层），小英家住在：41=5（楼） 答：小英家住在楼的第5层。 5.解：火车的总长度为：520+1（20-1）=119（米），火车所行的总路程：11981=200（米），所需要的时间：20020=10（分钟） 答：需要10分钟。 6.解：每个间隔需要：6（3-1）=3（秒），12点钟敲12下，需要3（12-1）=33（秒） 答：33秒钟敲完。 7.解：每上一层楼梯需要：100（5-1）=25（秒），还需要的时间：25（10-5）=125（秒） 答：从5楼再走到10楼还需要125秒。 8.由A上到4层楼时，B上到3层楼知，A上3层楼梯，B上2层楼梯。那么，A上到16层时
31、共上了15层楼梯，因此B上25=10个楼梯，所以B上到101=11（层）。 答：A上到第16层时，B上到第11层楼。 9.解：火车2分钟共行：50（37-1）=1800（米） 页码，1/2习题三2010-07-04ada99:10932_SR.HTM2分钟=120秒 火车的速度：1800120=15（米/秒） 答：火车每秒行15米。 页码，2/2习题三2010-07-04ada99:10932_SR.HTM第四讲 植树与方阵问题 一、植树问题 要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题，首先要牢记三要素：总路线长.间距（棵距）长.棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。 关于
32、植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。 1.不封闭路线 例：如图 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵。全长、棵数、株距三者之间的关系是： 棵数=段数+1=全长株距+1 全长=株距（棵数-1） 株距=全长（棵数-1） 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为： 全长=株距棵数； 棵数=全长株距； 株距=全长棵数。 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比中还少1棵。 棵数=段数-1 =全长株距-1.如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵。 株距=全长（棵数+1）。
33、2.封闭的植树路线 页码，1/4第四讲 植树与方阵问题2010-07-04ada99:10933_SR.HTM例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。如右图所示。 棵数=段数=周长株距. 二、方阵问题 学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。 方阵的基本特点是： 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系： 四周人（或物）数=每边人（或物）数-14； 每边人
34、（或物）数=四周人（或物）数41。 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数每边人（或物）数。 例1 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？ 分析 要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1。 解：以10米为一段，公路全长可以分成 9001090（段） 共需电线杆根数：90+1=91（根） 答：可栽电线杆91根。 例2 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？ 分析 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要
35、求出这段路的长度就容易求出汽车速度. 解：5分钟汽车共走了： 9（501-1）=4500（米）， 汽车每分钟走：45005=900（米）， 汽车每小时走： 90060=54000（米）=54（千米） 页码，2/4第四讲 植树与方阵问题2010-07-04ada99:10933_SR.HTM列综合式： 9（501-1）5601000=54（千米） 答：汽车每小时行54千米。 例3 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？ 分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知： 每边人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵
36、队列的总人数就可以求了。 解：方阵最外层每边人数：6041=16（人） 整个方阵共有学生人数：1616=256（人） 答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。 例4 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？ 分析 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。 解：最外边一层棋子个数：（14-1）4=52（个） 第二层棋子个数：（14-2-1）4=44（个） 第三层棋子个数：（14-22-1）4=36（个）. 摆这个方阵共用棋子： 52+
37、4436132（个） 还可以这样想： 中空方阵总个数=（每边个数一层数）层数4进行计算。 解：（14-3）34=132（个） 答：摆这个方阵共需132个围棋子。 例5 一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？ 分析 在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数. 由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍。 解：共可栽芍药花：180630（棵） 共种月季花：23060（棵） 两种花共：30+60=90（棵） 两棵花之间距离：1809
38、0=2（米） 相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米。 答：种芍药花30棵，月季花60棵，两棵月季花之间距离为2米或4米。 页码，3/4第四讲 植树与方阵问题2010-07-04ada99:10933_SR.HTM例6 一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？ 分析 从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株， 则大三角形边上栽的棵数为 92-1=17（棵）。 又知道这个大三角
39、形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花 （17-1）3=48（棵）。 .再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为9-2=7（棵） 解：大三角形三条边上共栽花： （92-1-1）3=48（棵） 中间画斜线小三角形三条边上栽花： （9-2）3=21（棵） 整个花坛共栽花：48+21=69（棵） 答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。 页码，4/4第四讲 植树与方阵问题2010-07-04ada99:10933_SR.HTM习题四 1.一个圆形池塘，它的周长是150米，每
40、隔3米栽种一棵树.问：共需树苗多少株？ 2.有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？ 3.在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问：甲每分钟走多少米？ 4.在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6厘米点一个红点.从右向左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？ 习题四解答 1.提示：由于是封闭路线栽树，所以棵数=段数， 1503=50（棵）。 2.提示：在正方形操场边上栽树.正方形边长都相等，四个角上栽的树是相邻的两条边公有的一棵
41、，所以每边栽树的棵数为17-1=16（棵），共栽：（17-1）4=64（棵） 答：共栽树64棵。 3.解：甲走到第22棵树时走过了22-121（个）棵距.同样乙走过了10-19（个）棵距.乙走到第10棵树，所用的时间为（9棵距36），这个时间也是甲走过21个棵距的时间，甲的速度为：21棵距（9棵距36）=84米/分。 答：甲的速度是每分钟84米。 4. 根据已知条件，从左至右每隔6厘米点一红点，不难算出共有17个点（包括起点，终点）并余4厘米。100厘米长的棒从右到左共点21个点，可分为20段，而最后一点与端点重合，相当于从左到右以5厘米的间距画点.在5与6的公倍数30中，不难看出有2个4厘米
42、的小段；同样在第二个和第三个30厘米中也各有2个，剩下的10厘米只有一个4厘米的小段，所以在100厘米的木棍上只能有23+1=7（段）4厘米长的间距. 页码，1/1习题四2010-07-04ada99:10934_SR.HTM第五讲 找几何图形的规律 找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.为培养这方面的能力，本讲将从几何图形的问题入手，逐步分析应从哪些方面来观察思考。因此，学习本讲的知识有助于养成全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯，可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问题的方法。 下面就来看几个例子。 例1 按顺序
43、观察图51与图52中图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？ 分析 观察中，注意到图51中每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增多，且三角形的个数按4、3、X、1的顺序变化.显然X应等于2；图52中黑点的个数从左到右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多两个点.事实上，本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上，是一种较为基本的、简单的变化模式。 解：在图51的“？”处应是三角形，在图52的“？”处应是 例2 请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。 分析 首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的；
44、其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图形中，只有圆、三角形和正方形三种图形.由此，我们知道这个图的特点是： 仅由圆、三角形、正方形组成； 各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。 因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应填一个正方形。 解略。 例3 按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填上合适的图形. 页码，1/5第五讲 找几何图形的规律2010-07-04ada99:10935_SR.HTM分析 显然，图（a）、图（b）中都是圆，而图（c）中却不是圆；同时，图（a）、（c）中都有3个图形，而（b）中只有
45、两个.由此可知：图（a）到（b）的变化规律对应于图（c）到（d）的变化规律.再注意到图（a）到图（b）中图形在繁简、多少、位置几方面的变化，就容易得到图（d）中的图形了。 解：在上图的“？”处应填如下图形. 例4 下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形. 分析 本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成，而且，大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成， 图中的任意两个图形均不相同.因此，我们不妨试着把大、小图形分开来考虑，再一次观察后我们可以发现：对于大图形来说，每行每列的图形决不重复。因此，每行每列都只有一个大正方形，一个大三角形和一个大圆，对于小图形
46、也是如此，这样，“？”处的图形就不难得出。 解：图中，（b）、（f）、（h）处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙. 小结：对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律，从而把复杂问题简单化。 例5 观察下列各组图的变化规律，并在“？”处画出相关的图形. 页码，2/5第五讲 找几何图形的规律2010-07-04ada99:10935_SR.HTM分析 我们先来看这样两个图： （甲）图与（乙）图中，点A、B、C、D的顺序和距离都没有改变，只是每个点的位置发生了变化，如：甲图中，A在左方；而乙图中，A在上方，我们把这样一种位置的变化称为图形的旋转，乙图可以看作是甲图 90（
47、或一格）。 现在我们再回到题目上来，容易看出：例5题中按（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）、（h）、（i）顺序排列的9个图形，它们的变化规律是：每一个图形（a除外）都是由其前一个图形逆时针旋转90而得到的.甲乙丙丁四个图形变化规律也类似。 解：图（i）处的图形应是下面左图，丁图处的图形应是下面右图 注意：因为图形是由旋转而得到的，所以其中三角形、菱形的方向随旋转而变化，作图的时候要注意到这一点。 旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，可以提高观察能力，加快解题速度，对于许多问题的解决，也有事半而功倍的效果。 下面再来看几个例子： 例6 仔细观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填入合适的图形. 页码，
