几种常见XX的数学问题.pdf

1、文 章 编 号 1009 - 2145 (2002) 03 - 0052 - 04 几 种 常 见 赌 博 的 数 学 问 题曾 大 有(华 北 航 天 工 业 学 院 基 础 部 , 河 北 廊 坊 065000)摘 要 : 对 三 类 抽 奖 活 动 本 文 利 用 排 列 组 合 与 数 理 统 计 等 知 识 , 进 行 了 分 析 、 揭 露 , 以 此 告 诫 人 们 不 要 上 当 受骗 。关 键 词 : 抽 奖 ; 数 理 统 计中 图 分 类 号 : G420 文 献 标 识 码 : BThe Mathematical Problem in Several Common Ga

2、mblingZEN G Da - you( Fundamenal Science Department , North China Institute of Astronautic Engineering , Langfang 065000 , China)Abstract : With permutation and mathematical statistics , this paper analyses and exposes three Kinds of lottery , and thusexhorts people not to be taken in.Key words : lo

3、ttery ; mathematical statistics收 稿 日 期 : 2002 - 04 - 14作 者 简 介 : 曾 大 有 (1964 - ) , 男 , 河 北 邯 郸 人 , 讲 师 , 从 事 数学 教 学 与 研 究 工 作 。中 国 人 喝 酒 喜 欢 两 人 猜 拳 , 以 助 酒 兴 。 其 方 法是 每 人 可 以 用 一 只 手 一 次 出 一 个 数 , 分 别 是 0 , 1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 谁 能 猜 对 两 人 所 出 的 数 之 和 , 谁 就 算赢 了 , 对 方 便 被 罚 喝 酒 。 有 排 列 组 合 及 概 率 统 计

4、知识 可 知 , 两 人 所 出 的 数 之 和 共 有 36 种 可 能 , 所 出的 数 之 和 分 别 可 能 为 0 - 10 共 11 种 , 从 下 表 1 中可 以 知 道 , 5 是 最 容 易 出 现 的 和 数 , 它 出 现 的 概 率是 P = 6/ 36 = 1/ 6。表 1 两 人 出 的 数 字 和 分 布 表0 1 2 3 4 51 2 3 4 5 62 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 10现 将 猜 0 10 个 数 猜 对 的 概 率 列 表 2 如 下 :表 2 猜 0 10 的 概 率 分 布 表0 1

5、2 3 4 5 6 7 8 9 10频数 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1猜对的概率1/ 36 2/ 36 3/ 36 4/ 36 5/ 36 6/ 36 5/ 36 4/ 36 3/ 36 2/ 36 1/ 36从 以 上 分 析 来 看 , 猜 5 赢 的 概 率 较 大 。与 此 类 似 , 有 这 样 的 一 种 赌 搏 方 法 : 把 两 颗 骰子 掷 出 去 , 以 每 个 骰 子 朝 上 的 点 数 之 和 作 为 赌 的 内容 。 已 知 骰 子 的 六 个 面 上 分 别 为 1 - 6 点 , 那 么 赌注 下 在 多 少 点 上 最 有 利 ?表 3 两 个 骰

6、 子 的 点 数 和 分 布 表2 3 4 5 6 73 4 5 6 7 84 5 6 7 8 95 6 7 8 9 106 7 8 9 10 117 8 9 10 11 12两 个 骰 子 朝 上 的 面 共 有 36 种 可 能 , 点 数 之 和25第 12 卷 第 3 期2002 年 9 月 华 北 航 天 工 业 学 院 学 报Journal of North China Institute of Astronautic Engineering Vol112 No13 Sep12002 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publi

7、shing House. All rights reserved. http:/分 别 可 能 为 2 - 12 共 11 种 , 从 表 3 中 可 以 知 道 , 7是 最 容 易 出 现 的 和 数 , 它 出 现 的 概 率 是 P = 6/ 36 =1/ 6。 现 将 赌 2 12 点 赢 的 概 率 列 表 如 下表 4 所 押 点 数 的 概 率 分 布 表2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12频数 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1押对的概率1/ 36 2/ 36 3/ 36 4/ 36 5/ 36 6/ 36 5/ 36 4/ 36 3/ 36 2/ 36

8、1/ 36从 上 两 例 可 知 , 概 率 与 博 彩 密 切 相 关 , 我 们 经常 可 以 看 到 各 类 抽 奖 活 动 、 各 种 彩 票 等 等 , 这 些 有奖 活 动 大 家 都 比 较 熟 悉 , 输 赢 的 概 率 都 比 较 好 算 ,大 家 有 的 计 算 过 , 而 且 大 多 都 是 公 益 活 动 , 当 然 也有 不 少 是 为 了 搞 促 销 , 也 有 少 数 利 用 抽 奖 活 动 赚 钱和 骗 钱 的 。 笔 者 将 这 些 抽 奖 活 动 、 各 种 彩 票 等 粗 分为 三 类 。第 一 类 是 象 福 利 彩 票 等 类 的 有 奖 活 动 ,

9、是 公 益活 动 , 是 为 某 公 益 和 福 利 事 业 募 集 资 金 。 其 获 奖 概率 的 算 法 大 体 都 差 不 多 , 现 举 一 种 来 分 析 一 下 。譬 如 , 某 奖 卷 发 行 500 万 张 , 每 张 面 值 2 元 ,奖 项 如 下 。表 5 奖 项 分 布 表奖 项 一 等 奖 二 等 奖 三 等 奖 四 等 奖 五 等 奖 纪 念 奖奖 金 10 万 元 1 万 元 1000 元 100 元 10 元 1 元中 奖 人 数 1 人 10 人 100 人 1000 人 1 万 人 100 万 人奖 金 总 额 10 万 元 10 万 元 10 万 元 1

10、0 万 元 10 万 元 100 万 元从 上 表 5 , 可 以 看 出 , 此 奖 卷 如 果 发 行 顺 利 是可 以 为 福 利 事 业 筹 集 一 笔 资 金 , 此 项 活 动 总 收 入 为500 万 2 元 = 1000 万 元 , 去 掉 支 付 各 类 中 奖 者 的奖 金 150 万 元 , 还 剩 850 万 元 。 此 项 活 动 还 是 很 得民 心 , 首 先 买 奖 卷 是 为 福 利 事 业 筹 集 资 金 , 而 且 才2元 钱 ; 其 次 大 家 还 有 中 奖 的 机 会 , 一 等 奖 10 万 元 还是 很 诱 人 的 ! 下 面 我 们 来 分 析

11、 一 下 各 类 奖 的 中 奖 概 率 。表 6 中 奖 概 率 分 布 表奖 项 一 等 奖 二 等 奖 三 等 奖 四 等 奖 五 等 奖 纪 念 奖奖 金 10 万 元 1 万 元 1000 元 100 元 10 元 1 元中 奖 数 1 个 10 个 100 个 1000 个 1 万 个 100 万 个中 奖 频 率 1/ 5000000 10/ 5000000 100/ 5000000 1000/ 5000000 10000/ 5000000 1000000/ 5000000中 奖 概 率 P1 =1/ 5000000 P2 =1/ 500000 P3 =1/ 50000 P4 =

12、1/ 5000 P5 =1/ 500 P6 = 1/ 5由 于 这 是 公 益 活 动 , 所 以 参 与 者 对 中 奖 与 不 中奖 并 不 是 很 在 意 , 即 使 中 奖 概 率 很 低 大 家 还 是 积 极参 与 。 大 家 主 要 是 为 了 献 爱 心 , 支 持 公 益 活 动 , 中奖 与 不 中 奖 是 次 要 的 。第 二 类 抽 奖 活 动 , 基 本 上 是 赌 博 和 以 赢 利 为 目的 , 而 且 常 有 人 使 用 骗 术 , 这 类 抽 奖 活 动 , 即 使 不使 骗 术 从 其 抽 奖 设 置 来 看 , 有 数 理 统 计 知 识 , 对 我们 参

13、 与 者 是 极 为 不 利 的 。 下 面 我 们 以 大 家 常 见 的 一种 地 滩 抽 奖 为 例 , 从 数 理 统 计 角 度 来 分 析 一 下 , 以便 大 家 认 清 地 滩 抽 奖 的 本 质 是 赌 博 和 以 赢 利 为 目 ,千 万 不 要 去 上 当 受 骗 !例 如 , 曾 经 在 中 国 流 行 一 时 的 猜 三 张 扑 克 牌 的赌 博 活 动 , 规 则 大 家 都 知 道 , 两 张 黑 色 扑 克 牌 , 一张 红 色 扑 克 牌 , 有 参 与 者 选 , 抽 到 黑 色 扑 克 牌 参 与者 输 20 元 , 抽 到 红 色 扑 克 牌 参 与 者

14、 赢 20 元 。 这 实际 上 是 一 个 古 典 概 型 问 题 。表 7 抽 牌 概 率 分 布 表抽 到 扑 克 牌 的 颜 色 黑 红组 合 数 C21 = 2 C11 = 1概 率 P = 2/ 3 P = 1/ 3从 表 7 可 以 看 出 , 摆 这 种 地 摊 赢 的 概 率 是 2/3 , 参 与 者 赢 的 概 率 是 1/ 3。 假 设 摆 这 种 地 摊 平 均一 年 让 人 抽 牌 3000 次 , 我 们 来 看 一 下 各 方 得 失 。表 8 赢 赔 分 布 表抽 牌 3000 次 , 摊 主 不 出 老 千 , 按 事 先 规 则 , 在 大 家 监 督 下

15、 抽 奖 。参 与 者 摊 主抽 红 色 牌 1000次 抽 黑 色 牌 2000次 支 出 收 入 水 平得 奖 1000 20= 20000 元赔 钱 2000 20= 40000 元 20000 元 40000 元参 与 者 总 共 赔 钱(40000 - 20000) = 20000 元摊 主 净 收 入 =(40000 - 20000) = 20000 元此 外 , 假 若 是 一 个 公 平 的 抽 奖 的 话 , 其 奖 金 与罚 金 应 大 致 相 等 , 很 明 显 , 这 类 抽 奖 是 不 公 平 的 !第 三 类 抽 奖 活 动 是 利 用 概 率 统 计 知 识 巧

16、妙 设 置抽 奖 活 动 , 抽 奖 条 件 表 面 看 起 来 很 优 惠 , 具 有 很 大的 欺 骗 性 , 也 很 有 诱 惑 力 。 我 有 一 次 见 到 一 个 搞 地摊 抽 奖 的 夫 妻 , 他 们 的 具 体 方 法 是 : 每 抽 奖 一 次 交五 元 钱 , 然 后 在 一 个 小 纸 箱 子 里 放 进 10 个 红 球 、10 个 黑 球 , 抽 奖 者 从 小 纸 箱 子 里 随 意 抓 出 10 个 小玻 璃 球 , 如 抓 到 :1) 10 个 颜 色 全 相 同 , 即 10 个 全 红 或 10 个 全黑 , 可 得 一 等 奖 , 奖 金 500 元 ;

17、2) 9 个 颜 色 全 相 同 , 即 9 个 红 色 、 1 个 黑 色 或9 个 黑 色 、 1 个 红 色 , 得 二 等 奖 , 奖 金 30 元 ;35第 3 期 曾 大 有 : 几 种 常 见 赌 博 的 数 学 问 题 2002 年 9 月 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/3) 8 个 颜 色 全 相 同 , 即 8 个 红 色 、 2 个 黑 色 或8 个 黑 色 、 2 个 红 色 , 得 三 等 奖 , 奖 金 7 元 ;4)

18、7 个 颜 色 全 相 同 , 即 7 个 红 色 、 3 个 黑 色 或7 个 黑 色 、 3 个 红 色 , 得 四 等 奖 , 奖 金 6 元 ;5) 6 个 颜 色 全 相 同 , 即 6 个 红 色 、 4 个 黑 色 或6 个 黑 色 、 4 个 红 色 , 得 纪 念 奖 , 奖 金 5 元 ;6) 5 个 颜 色 全 相 同 , 即 5 个 红 色 、 5 个 黑 色 ,则 无 任 何 奖 。这 类 抽 奖 看 起 来 非 常 优 惠 , 10 种 抽 奖 结 果 中竟 有 9 种 对 参 与 者 有 利 , 只 有 一 种 让 抽 奖 者 赔 钱 ;而 且 一 等 奖 奖 金

19、 高 达 500 元 , 于 是 , 认 为 有 利 可 图者 , 纷 纷 参 与 , 结 果 是 大 呼 上 当 受 骗 , 尽 管 赔 了钱 , 还 是 想 不 通 , 通 常 是 责 怪 自 己 运 气 不 好 , 手 气不 佳 , 还 想 再 抽 , 大 家 都 有 不 服 输 的 习 惯 , 愿 意 试试 运 气 的 人 更 是 不 乏 其 人 。这 个 抽 奖 条 件 表 面 看 起 来 很 优 惠 , 具 有 很 大 的欺 骗 性 , 也 很 有 诱 惑 力 , 其 实 , 这 是 一 个 数 理 统 计问 题 , 只 要 我 们 利 用 概 率 统 计 的 知 识 来 分 析

20、一 下 ,便 可 发 现 在 这 类 抽 奖 活 动 中 , 搞 抽 奖 的 夫 妻 是 站 在绝 对 有 利 的 位 置 。这 类 抽 奖 在 概 率 论 中 , 是 典 型 的 摸 球 问 题 , 由排 列 组 合 知 识 , 我 们 不 难 知 道 : 从 20 个 相 同 的 球中 , 随 机 摸 出 10 个 球 有 C1020 = 184756 种 可 能 结 果 ,且 这 184756 种 可 能 结 果 中 每 一 种 结 果 出 现 的 可 能性 是 相 同 的 。 不 失 一 般 性 , 设 在 某 次 抽 奖 中 , 摸 到i 个 红 球 , 则 摸 到 的 黑 球 数

21、为 (10 - i) 个 , 其 组 合数 等 于 从 10 个 红 球 中 摸 到 i 个 球 的 组 合 数 乘 以 从10 个 黑 球 中 摸 到 (10 - i) 个 球 的 组 合 数 , 即 为Ci10C10 - i10 , i = 0 , 1 , 2 ,. . . 10 且 有 :C1020 = C1010C010 + C110C910 + C210C810 + C310C710 + C410C610 + C510C510 + C610C410 + C710C310 + C810C210 + C910C110 + C010C1010我 们 把 摸 奖 结 果 列 于 表 9。表

22、9 摸 奖 组 合 表摸 奖结 果全 红 或全 黑9 红 1 黑或 9 黑1 红8 红 2 黑或 8 黑2 红7 红 3 黑或 7 黑3 红6 红 4 黑或 6 黑4 红5 红 5 黑或 5 黑5 红从 20 个 相 同 的球 中 任取 10 个 球组 合公 式 C1010C100 + C100C1010 C109C101 + C101C109 C108C102 + C102C108 C107C103 + C103C107 C106C104 + C104C106 C105C105 C1020组 合 数 1 + 1 = 2 100 + 100 = 2002025 + 2025= 40501440

23、0 + 14400= 2880044100 + 44100= 8820063504 184756从 表 9 可 以 看 出 , 每 抽 奖 184756 次 , 从 数 理统 计 角 度 讲 , 平 均 有 2 次 得 一 等 奖 , 有 200 次 得 二等 奖 , 有 4050 次 得 三 等 奖 , 有 28800 次 得 四 等 奖 ,有 88200 次 得 纪 念 奖 , 那 么 每 抽 奖 184756 次 , 搞抽 奖 的 夫 妻 与 抽 奖 者 的 得 失 又 如 何 呢 ? 请 读 者 看 下表 10。表 10 奖 项 分 布 表奖 项 一 等 奖 二 等 奖 三 等 奖 四

24、 等 奖 纪 念 奖抽 184756次 抽 奖者 总 收 入抽 184756次 抽 奖者 总 支 出抽 184756次 抽 奖 者的 总 损 失奖 金 500 元 30 元 7 元 6 元 5 元奖 金总 额500 2= 1000 元30 200= 6000 元7 4050= 28350 元6 28800= 172800 元5 88200= 441000 元1000 +6000 +28350 +172800 +441000= 650150 元5 184756= 937280 元937280- 650150= 287130 元从 表 10 可 以 看 出 , 每 抽 奖 184756 次 , 抽

25、 奖 者的 总 损 失 为 287130 元 , 也 就 是 说 搞 抽 奖 的 夫 妻 搞184756 次 抽 奖 , 从 数 理 统 计 角 度 讲 , 将 有 287130 元的 收 益 , 近 30 万 元 的 收 益 真 是 太 可 观 了 ! 平 均 每 摸奖 一 次 , 抽 奖 者 的 损 失 : 287130 184756 (大 约 115元 ) 。 我 们 把 摸 奖 中 各 类 奖 项 的 概 率 列 于 表 11。表 11 中 奖 概 率 分 布 表奖 项 一 等 奖 二 等 奖 三 等 奖 四 等 奖 纪 念 奖奖 金 500 元 30 元 7 元 6 元 5 元中 奖

26、 概 率 P P1 = 2 184756 P2 = 200 184756 P3 = 4050 184756 P4 = 28800 184756 P5 = 88200 184756452002 年 9 月 华 北 航 天 工 业 学 院 学 报 第 12 卷 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/从 表 11 可 以 看 出 , 一 等 奖 虽 高 , 但 其 设 置 在概 率 竟 然 是 如 此 只 低 的 事 件 上 , 大 约 十 万 分 之 一 ;也

27、 就 是 说 你 平 均 抽 奖 十 万 次 , 才 能 中 一 个 一 等 奖 。中 二 等 奖 的 概 率 大 约 千 分 之 一 , 中 三 等 奖 的 概 率 大约 百 分 之 二 , 中 四 等 奖 的 概 率 大 约 百 分 之 十 五 , 中纪 念 奖 的 概 率 大 约 百 分 之 四 十 。综 合 上 述 分 析 , 这 类 抽 奖 也 是 不 公 平 的 ! 这 个抽 奖 设 置 表 面 看 起 来 很 优 惠 , 具 有 很 大 的 欺 骗 性 ,也 很 有 诱 惑 力 , 笔 者 认 为 , 这 类 抽 奖 游 戏 决 不 是 设地 摊 的 平 庸 之 辈 所 能 想

28、出 的 赚 钱 方 法 , 背 后 肯 定 有个 懂 概 率 统 计 的 高 人 指 点 。希 望 大 家 不 要 上 当 受 骗 !参 考 文 献 :1 复 旦 大 学 . 概 率 论 M . 北 京 : 人 民 教 育 出 版 社 1996.2 袁 荫 棠 . 概 率 论 与 数 理 统 计 M . 北 京 中 国 人 民 大 学 出 版 社 , 1995.(上 接 第 45 页 )学 院 投 资 8 万 元 , 重 点 完 善 了 院 实 习 工 厂 的 热加 工 (铸 、 锻 、 焊 ) 实 习 条 件 , 补 充 了 气 加 工 实 习的 薄 弱 环 节 , 通 过 了 国 家 教

29、委 “ 金 工 实 习 ” 评 估 。从 94 年 级 开 始 , 院 实 习 工 厂 每 年 专 门 用 一 个 学 期进 行 试 点 专 业 两 个 班 的 实 习 。 严 格 地 按 照 实 习 大 纲的 要 求 , 圆 满 地 完 成 了 学 生 实 习 任 务 。313 教 材 建 设为 保 证 教 改 试 点 专 业 工 作 顺 利 开 展 , 几 年 中 ,有 关 同 志 在 教 材 建 设 上 花 费 了 大 量 心 血 , 付 出 了 艰苦 的 劳 动 , 先 后 编 写 了 机 械 设 计 、 机 械 设 计 、 工 程 力 学 、 金 属 表 面 工 艺 学 、 金 属

30、热 加工 基 础 、 机 械 工 程 材 料 、 热 加 工 课 程 设 计 、 机 械 制 造 工 艺 与 机 床 夹 具 、 金 属 切 削 机 床 、 刀 量 具 设 计 、 机 械 加 工 技 术 问 题 处 理 集 锦 、 噪声 与 降 噪 技 术 等 教 材 和 一 批 实 验 指 导 书 、 习 题 集 类的 辅 助 教 材 。 初 步 形 成 了 有 专 科 特 色 的 教 材 体 系 。314 学 风 建 设良 好 的 学 风 建 设 是 保 证 培 养 合 格 大 学 生 的 必 要条 件 , 为 此 , 我 们 努 力 创 造 条 件 , 营 造 优 良 的 生活 、 学

31、 习 氛 围 , 使 学 生 从 思 想 上 、 作 风 上 、 健 康 成长 , 具 体 措 施 有 以 下 几 方 面 :(1) 培 养 学 生 一 丝 不 苟 、 严 谨 务 实 的 科 学 态度 , 聘 请 航 天 战 线 上 的 老 专 家 , 以 他 们 的 切 身 经历 , 向 同 学 们 讲 述 精 益 求 精 , 确 保 航 天 产 品 万 无 一失 的 感 人 事 迹 , 使 同 学 们 思 想 上 树 立 严 肃 认 真 的 科学 态 度 。(2) 营 造 浓 厚 的 学 术 氛 围 , 学 院 、 系 学 生 会 、学 生 科 协 多 次 举 办 学 术 研 讨 会 ,

32、 将 学 术 领 域 里 的 新产 品 、 新 知 识 、 新 体 会 , 以 报 告 的 形 式 传 达 给 学生 。 举 办 “ 创 造 力 开 发 ” 及 “ 科 技 论 文 写 作 ” 等 讲座 , 让 学 生 学 会 并 参 与 部 分 科 研 及 科 技 制 作 , 并 对其 优 秀 者 给 予 精 神 及 物 质 奖 励 , 激 发 学 生 探 讨 新 知识 的 热 情 。(3) 对 学 习 优 异 的 学 生 采 取 精 神 与 物 质 奖 励 ,在 评 优 、 分 配 等 问 题 上 , 予 以 优 先 考 虑 。(4) 严 肃 考 风 考 纪 , 对 在 考 试 中 作 弊

33、 的 学 生 ,限 期 给 予 严 励 的 处 分 离 校 手 续 , 使 考 试 作 弊 现 象 大为 减 少 。4 结 语通 过 以 上 一 系 列 的 方 案 的 实 施 保 证 , 使 学 风 有明 显 的 好 转 , 以 学 习 为 主 线 , 带 动 学 生 其 他 工 作 顺利 的 开 展 , 同 时 , 学 生 其 他 违 纪 现 象 也 明 显 减 少 。综 上 所 述 , 几 年 中 机 制 专 业 的 教 改 试 点 工 作 ,取 得 了 显 著 的 成 绩 。 在 国 家 教 委 专 家 组 对 试 点 工 作进 行 中 期 考 核 中 , 得 到 了 肯 定 与 赞 扬 , 获 得 良 好 的评 价 。 我 们 准 备 在 前 一 段 工 作 的 基 础 上 , 认 真 总结 , 进 一 步 改 进 和 提 高 。 迎 接 国 家 教 育 部 对 这 项 工作 的 最 终 评 估 、 验 收 。55第 3 期 曾 大 有 : 几 种 常 见 赌 博 的 数 学 问 题 2002 年 9 月 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/