1、 - 1 -第一章 集合 第一节 集合的含义、表示及基本关系 A组 1已知A1,2，Bx|xA，则集合A与B的关系为_ 解析：由集合Bx|xA知，B1,2答案：AB 2若 x|x2a，aR，则实数a的取值范围是_ 解析：由题意知，x2a有解，故a0.答案：a0 3已知集合 Ay|yx22x1，xR，集合Bx|2x5，集合 Bx|xa，若命题“xA”是命题“xB”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是_ 解析：命题“xA”是命题“xB” 的充分不必要条件，A B，a0 且 b0；(2)a0 且 b0；(4)a5”的_ 解析：结合数轴若 ABa4，故“AB”是“a5”的必要但不充分条件答案：必
2、要不充分条件 8(2010年江苏启东模拟)设集合Mm|m2n，nN，且m0，故x0，xy0，于是由AB得lg(xy)0，xy1. Ax,1,0，B0，|x|，1x 于是必有|x|1，1xx1，故x1，从而y1. 11已知集合Ax|x23x100， (1)若BA，Bx|m1x2m1，求实数m的取值范围； (2)若AB，Bx|m6x2m1，求实数m的取值范围； (3)若AB，Bx|m6x2m1，求实数m的取值范围 解：由Ax|x23x100，得Ax|2x5， (1)BA，若B，则m12m1，即mm6，m62，2m15.解得 m5，m4，m3.故3m4， m的取值范围是3,4 - 3 -(3)若AB
3、，则必有 m62，2m15， 解得m.，即不存在m值使得AB. 12已知集合Ax|x23x20，Bx|x2(a1)xa0 (1)若A是B的真子集，求a的取值范围； (2)若B是A的子集，求a的取值范围； (3)若AB，求a的取值范围 解：由x23x20，即(x1)(x2)0，得1x2，故Ax|1x2， 而集合Bx|(x1)(xa)0， (1)若A是B的真子集，即A B，则此时Bx|1x a，故a2. (2)若B是A的子集，即BA，由数轴可知1a2. (3)若A=B，则必有a=2 第二节 集合的基本运算 A组 1(2009年高考浙江卷改编)设UR，Ax|x0，Bx|x1，则 A U B _. 解
4、析：UBx|x1，AUBx|01，集合 B x | mxm3 (1)当m1时，求AB，AB； (2)若BA，求m的取值范围 解：(1)当 m1 时，Bx|1x2，ABx|11，即m的取值范围为(1，) B组 1若集合MxR|33x|2x0，即a3时，BA1,2才能满足条件，则由根与系数的关系得 - 5 - 122(a1)12a25 a52，a27，矛盾.综上，a的取值范围是a3. 11已知函数f(x) 6x11的定义域为集合A，函数g(x)lg(x22xm)的定义域为集合B. (1)当m3时，求A(RB)； (2)若ABx|198. 综上可知，若A，则a的取值范围应为a98. (2)当a0时，
5、方程ax23x20只有一根x23，A23符合题意 当a0时，则98a0，即a98时， 方程有两个相等的实数根x43，则A43 综上可知，当a0时，A23；当a98时，A43 (3)当a0时，A23.当a0时，要使方程有实数根， 则98a0，即a98. 综上可知，a的取值范围是a98，即MaR|Aa|a98 - 6 -第二章 函数 第一节 对函数的进一步认识 A组 1(2009年高考江西卷改编)函数y x23x4x 的定义域为_ 解析： x23x40，x0， x4,0)(0,1 答案：4,0)(0,1 2(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分
6、别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f( 1f(3)的值等于_ 解析：由图象知f(3)1，f( 1f(3)f(1)2.答案：2 3(2009年高考北京卷)已知函数f(x) 3x，x1，x，x1. 若f(x)2，则 x_. 解析：依题意得x1时，3x2，xlog32； 当x1时，x2，x2(舍去)故xlog32.答案：log32 4(2010 年黄冈市高三质检)函数 f：1， 21， 2满足ff(x)1的这样的函数个数有_个 解析：如图答案：1 5(原创题)由等式x3a1x2a2xa3(x1)3b1(x1)2b2(x1)b3 定义一个映射 f(a1，a2，a3)(b1，b2，b3)，则f(
7、2,1，1)_. 解析：由题意知x32x2x1(x1)3b1(x1)2b2(x1)b3， 令x1得：1b3； 再令x0与x1得 11b1b2b3384b12b2b3 ， 解得b11，b20. 答案：(1,0，1) 6已知函数f(x) 11x (x1)，x21 (1x1)，2x3 (x1，即x23，f(3x1)1 13x1 3x3x1； 若13x11，即0x32，f(3x1)(3x1)219x26x2； 若3x123)，9x26x2 (0x23)，6x1 (x1或1a1. 当a1时，有11a32，a2； 当1a1时，a2132，a 22 . a2或 22 . B组 1(2010年广东江门质检)函
8、数y 13x2lg(2x1)的定义域是_ 解析：由3x20,2x10，得x23.答案：x|x23 2(2010年山东枣庄模拟)函数f(x) 2x1，(x2)，则f(f(f(32)5)_. 解析：1322，f(32)5352，122，f(2)3， f(3)(2)(3)17.答案：7 3定义在区间(1,1)上的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，则f(x)的解析式为_ 解析：对任意的x(1,1)，有x(1,1)， 由2f(x)f(x)lg(x1)， 由2f(x)f(x)lg(x1)， 2消去f(x)，得3f(x)2lg(x1)lg(x1)， f(x)23lg(x1)13lg(1x)，(
9、1f(1)的解集是_ 解析：由已知，函数先增后减再增，当x0，f(x)f(1)3时，令f(x)3， 解得x1，x3.故f(x)f(1)的解集为0x3. 当xf(1)3，解得33. 综上，f(x)f(1)的解集为x|33答案：x|33 8 (2009 年高考山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) log2(4x)， x0，f(x1)f(x2)， x0， 则f(3)的值为_ 解析：f(3)f(2)f(1)，又 f(2)f(1)f(0)，f(3)f(0)，f(0)log24- 9 -2，f(3)2.答案：2 9有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5
10、分钟内只进水，不出水，在随后的 15 分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间关系如图再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x20)，y与x之间函数的函数关系是_ 解析：设进水速度为 a1 升/分钟，出水速度为 a2 升/分钟，则由题意得 5a1205a115(a1a2)35 ，得 a14a23 ，则 y353(x20)，得 y3x95，又因为水放完为止，所以时间为 x953 ，又知 x20，故解析式为 y3x95(20x953 )答案：y3x95(20x953 ) 10函数f(x) (1a2)x23(1a)x6. (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (
11、2)若f(x)的定义域为2,1，求实数a的值 解：(1)若1a20，即a1， ()若a1时，f(x) 6，定义域为R，符合题意； ()当a1时，f(x) 6x6，定义域为1，)，不合题意 若1a20，则g(x)(1a2)x23(1a)x6为二次函数 由题意知g(x)0对xR恒成立， 1a20，0， 10a1，a2，a2.a1a2. 11已知f(x2)f(x)(xR)，并且当x1,1时，f(x)x21，求当x2k1,2k1(kZ)时、f(x)的解析式 解：由f(x2)f(x)，可推知 f(x)是以2为周期的周期函数当 x2k1,2k1时，2k1x2k1，1x2k1.f(x2k)(x2k)21.
12、又f(x)f(x2)f(x4)f(x2k)， f(x)(x2k)21，x2k1,2k1，kZ. 12在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完 C 型装置所需时间为 g(x)，其余工人加工完 H 型装置所需时间为h(x)(单位：h，时间可不为整数) (1)写出g(x)，h(x)的解
13、析式； (2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？ 解：(1)g(x)20003x (0f(x2)”的是_ f(x)1x f(x)(x1)2 f(x)ex f(x)ln(x1) 解析：对任意的x1，x2(0，)，当x1f(x2)，f(x)在(0， ) 上为减函数答案： 2函数 f(x)(xR)的图象如右图所示，则函数 g(x)f(logax)(00时，f(x)exaex，则满足f(x)exaex0在x0,1上恒成立只需满足a(e2x)min成立即可，故 a 1 ，综上1a1. 答案：1a1 5(原创题)如果对于函数f(x)定义域内
14、任意的x，都有f(x)M(M为常数)，称M为 f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是_ f(x)sinx；f(x)lgx；f(x)ex；f(x) 1 (x0)0 (x0)1 (x0)0 (x0)1 (x0)0 (x0)1 (x0 b4.(2)F(x)x2mx1m2，m24(1m2)5m24， 当0即2 55 m2 55 时，则必需 - 12 - m202 55 m2 552 55 m0. 当0即m2 55 时，设方程F(x)0的根为x1，x2(x10. a22，42a3a0，40)在(34，)上是单调增函数，则实数a的取值范围_ 解析：f(x)x
15、ax(a0)在( a，)上为增函数， a34，00，a1)在区间(0，12)内恒有 f(x)0，则 f(x)的单调递增区间为_ 解析：令2x2x，当 x (0，12)时，(0,1)，而此时f(x)0恒成立，00，即 x0或x12，得01时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0. (2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则x1x21，由于当x1时，f(x)9，x9或x9或xf(b2)答案：f(a1)f(b2) 2(2010 年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以 2为周期的周期函数，则f(1)f(4)f(7)等于_ 解析：f(x)为奇函数，且 xR，
16、所以f(0)0，由周期为2可知，f(4)0，f(7)f(1)，又由f(x2)f(x)，令x1得f(1)f(1)f(1)f(1)0，所以f(1)f(4)f(7)0.答案：0 3(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)、f(11)、f(80)的大小关系为_ 解析：因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则 f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)，又因为 f(x)在 R上是奇函数，f(0)0，得 f(80)f(0)0，f(25)f(1)f(1)，而由
17、 f(x4)f(x)得 f(11)f(3)f(3)f(14)f(1)，又因为 f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(1)f(0)0，所以f(1)0)，由 f(1)f(4)0，得a(12)25a(42)250，a2，f(x)2(x2)25(1x4) (3)yf(x)(1x1)是奇函数，f(0)0，又知yf(x)在0,1上是一次函数，可设f(x)kx(0x1)，而 f (1)2(12)253，k3，当0x1时，f(x)3x，从而当1x0，若f(1)0，那么关于x的不等式xf(x)0，则在(0，)上f(x)是增函数，在(，0)上是减函数，又 f ( x )在 R 上是偶函数，且 f (1)0，f(
18、1)0.从而可知x(，1)时，f(x)0；x(1,0)时，f(x)0.不等式的解集为(，1)(0,1)答案：(，1)(0,1) 5(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(， ) 上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当 x0,2)时，f(x)log2(x1)，则 f(2009)f(2010)的值为_ 解析：f(x)是偶函数，f(2009)f(2009)f(x)在x0时f(x2)f(x)，f(x)周期为 2.f(2009)f(2010)f(2009)f(2010)f(1)f(0)log22log21011.答案：1 6(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对
19、于定义域内任意的x，满足f(x2) 1f(x)，若当2a，且|x1a|a，且|x1a|f(x2)答案：f(2ax1)f(x2) 8已知函数f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)x(x1)若f(a)2，则实数a_. 解析：当x0时，f(x)x(x1)0，由 f ( x )为奇函数知x0 时，x0) f(x) xlg(2x) (xx，f(x)在(0，)上是减函数又f(x)为奇函数，f(0)0，f(x)在(，)上是减函数f(2)为最大值，f(6)为最小值f(1)12，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在区间2,6上的最大值为1，最小值为3. 法二：
20、设x10，f(x2x1)1，b1，b1.又(abab)2a2ba2b28，a2ba2b6，(abab)2a2ba2b24，abab2.答案：2 2已知f(x)axb的图象如图所示，则f(3)_. 解析：由图象知f(0)1b2，b3.又f(2)a230，a 3，则f(3)( 3)333 33. 答案：3 33 3函数y(12)2xx2的值域是_ 解析：2xx2(x1)211， (12)2xx212.答案：12，) 4(2009 年高考山东卷)若函数 f(x)axxa(a0，且 a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_ 解析：函数 f(x)的零点的个数就是函数 yax与函数 yxa 交点的个数，由
21、函数的图象可知a1时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+) - 20 -5(原创题)若函数 f(x)ax1(a0，a1)的定义域和值域都是0,2，则实数 a等于_ 解析：由题意知 01a010a212a 3.答案： 3 6已知定义域为R的函数f(x)2xb2x1a是奇函数(1)求a，b的值； (2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)2t2k. 即对一切tR有3t22tk0，从而412k1，因底数21，故3t22tk0 上式对一切tR均成立，从而判别式412k0且a1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有_ 00 01且b1且b0 解析：当 01 00，
22、a1)；g(x)0；若f(1)g(1)f(1)g(1)52，则a等于_ 解析：由f(x)axg(x)得f(x)g(x)ax，所以f(1)g(1)f(1)g(1)52aa152，解得a- 21 -2或12.答案：2或12 4(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)ax(a0且a1)，其反函数为f1(x)若f (2)9，则f1(13)f(1)的值是_ 解析：因为f(2)a29，且a0，a3，则f(x)3x13，x1， 故f1(13)1.又f(1)3，所以f1(13)f(1)2.答案：2 5(2010年山东青岛质检)已知f(x)(13)x，若f(x)的图象关于直线x1对称的图象对应的函数为g(x)
23、，则g(x)的表达式为_ 解析：设yg(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x1的对称点P(2x，y)在f(x)(13)x上，y(13)2x3x2.答案：y3x2(xR) 6(2009年高考山东卷改编)函数yexexexex的图象大致为_ 解析：f(x)exexexexexexexexf(x)，f(x)为奇函数，排除. 又yexexexexe2x1e2x1e2x12e2x1 12e2x1在(，0)、(0，)上都是减函数，排除、.答案： 7(2009 年高考辽宁卷改编)已知函数 f(x)满足：当 x4 时，f(x)(12)x；当 xK. 取函数 f(x)2|x|，当 K12时，函数fK(
24、x)的单调递增区间为_ 解析：由f(x)2|x|12得x1或x1，fK(x) 2|x|，x1或x1，12，10，且a1)在区间1,1上的最大值为14，求实数a的值 解：f(x)a2x2ax1(ax1)22，x1,1， (1)当01时，1aaxa，当axa时，f(x)取得最大值 (a1)2214，a3.综上可知，实数a的值为13或3. 11已知函数f(x) 22xa1.(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，1)对称； (2)若f(x)2x在xa上恒成立，求实数a的取值范围 解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y 22xa1， P(x，y)关于点M(a，1)的对称点为P(
25、2ax，2y) 2y2 22xa122xa2xa1212(xa)22(2ax)a1， 说明点P(2ax，2y)也在函数y 22xa1的图象上，由点 P 的任意性知，f(x)的图象关于点M(a，1)对称 (2)由 f(x)2x得 22xa12x，则 22xa12x，化为 2xa2x2x20，则有(2x)22a2x22a0在xa上恒成立令g(t)t22at22a，则有g(t)0在t2a上恒成立g(t)的对称轴在t0的左侧，g(t)在t2a上为增函数 g(2a)0.(2a)2(2a)222a0，2a(2a1)0，则 a0.即实数 a 的取值范围为a0. 12(2008年高考江苏)若f1(x)3|xp
26、1|，f2(x)23|xp2|，xR，p1、p2为常数，且 f(x) f1(x)，f1(x)f2(x)，f2(x)，f1(x)f2(x). (1)求f(x)f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1、p2表示)；(2)设a，b是两个实数，满足ap2时，g(x) p1p2，xp1.所以g(x)maxp1p2，故只需p1p2log32. 当 p1p2.所以 g(x)maxp2p1，故只需p2p1log32. 综上所述，f(x)f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1p2|log32. (2)证明：分两种情形讨论 当|p1p2|log32时，由(1)知f(x)f1(x)(对所有实数xa，b)，
27、则由f(a)f(b)及 alog32时，不妨设 p1log32.于是，当 xp 1时，有f1(x)3p 1x 3log323xp2f2(x)，从而f(x)f2(x) 当p10，且 a1)的反函数，其图象经过点( a，a)，则f(x)_. 解析：由题意f(x)logax，alogaa1212，f(x)log12x.答案：log12x 2(2009年高考全国卷)设alog3，blog2 3，clog3 2，则a、b、c的大小关系是_ 解析：alog31，blog2 312log23(12，1)，clog3 212log32(0，12)，故有abc.答案：abc 3若函数f(x)1,0,4)0,1,
28、41xxxx，则f(log43)_. 解析：01. 又 1x1是单调递减的，故g(x)递减且过(0,0)点，正确答案： 5(原创题)已知函数f(x)alog2xblog3x2，且 f ( 12010)4，则 f (2010)的值为_ 解析：设F(x)f(x)2，即 F ( x )a log2xblog3x，则 F ( 1x )a log21xblog31x(alog2xblog3x)F(x)，F(2010)F( 12010)f( 12010)22， 即f(2010)22，故f(2010)0.答案：0 6若f(x)x2xb，且f(log2a)b，log2f(a)2(a0且a1)(1)求f(log
29、2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(log2x)f(1)且log2f(x)2，log2(x2x2)1，02，10；f(x1x22 )lg x1x2，所以错误 答案： 3(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a、b，定义运算“*”如下： a*b a(ab)b(ab) ，则函数f(x)log12(3x2)*log2x的值域为_ 解析：在同一直角坐标系中画出ylog12(3x2)和ylog2x两个函数的图象， 由图象可得 f(x) log2x (01) ，值域为(，0答案：(，0 4已知函数yf(x)与yex互为反函数，函数yg(x)的图象与yf(x)的图象关于x轴对称，若g(a)1，则实数a的
30、值为_ - 26 -解析：由yf(x)与yex互为反函数，得f(x)lnx，因为yg(x)的图象与yf(x)的图象关于x轴对称，故有g(x)lnx，g(a)1lna1，所以a1e. 答案：1e 5已知函数f(x)满足f( 2x|x|)log2 x|x|，则f(x)的解析式是_ 解析：由log2 x|x|有意义可得x0，所以，f( 2x|x|)f(1x)，log2 x|x|log2x，即有f(1x)log2x，故f(x)log21xlog2x.答案：f(x)log2x，(x0) 6(2009 年高考辽宁卷改编)若 x1满足 2x2x5，x2满足 2x2log2(x1)5，则x1x2_. 解析：由
31、题意 2x12x15，2x22log2(x21)5，所以 2x152x1，x1log2(52x1)，即 2 x 1 2log2(52x1)令2x172t，代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1)，52t2log2(t1)与式比较得 tx2，于是 2x172x2.x1x2T2.答案：72 7当xn，n1)，(nN)时，f(x)n2，则方程f(x)log2x根的个数是_ 解析：当n0时，x0,1)，f(x)2； 当n1时，x1,2)，f(x)1； 当n2时，x2,3)，f(x)0； 当n3时，x3,4)，f(x)1； 当n4时，x4,5)，f(x)2； 当n5时，x5,6)，f(x
32、)3.答案：2 8(2010年福建厦门模拟)已知lgalgb0，则函数 f ( x ) a x 与函数 g ( x ) logbx的图象可能是_ 解析：由题知，a1b，则f(x)(1b)xbx，g(x)logbx，当01时，f(x)单调递减，g(x)单调递减 答案： 9已知曲线C：x2y29(x0，y0)与函数ylog3x及函数y3x的图象分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12x22的值为_ 解析：ylog3x与y3x互为反函数，所以A与B两点关于yx对称，所以 x 1y 2，y 1x 2，x 1 2x 2 2x 1 2y 1 29.答案：9 10已知函数f(x)lgkx1x1
33、 (kR且k0)(1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)在10，)上是单调增函数，求k的取值范围 - 27 -解：(1)由kx1x1 0及k0得x1kx10，即(x1k)(x1)0. 当01k；当k1时，xR且x1；当k1时，x1.综上可得当00，k 110. 又 f(x)lgkx1x1lg(kk1x1)，故对任意的 x1，x2，当 10x11x21，k10，a1)(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使f(x)0的x的取值范围 解：(1)由1x1x0 ，解得x(1,1) (2)f(x)loga1x1xf(x)，且x(1,1)，函数yf(x)是奇
34、函数 (3)若a1，f(x)0，则1x1x 1，解得00，则 00且a1. (1)对于函数f(x)，当x(1,1)时，f(1m)f(1m2)1时， aa210，ax是增函数，ax是增函数，f(x)是R上的增函数； 当00且a1时，f(x)是R上的增函数 (1)由f(1m)f(1m2)1且01的解集为_ 解析：a1,01logb(x3)0logb(x3)logb101时，32xx x 31 1，xx 32 ，排除.答案： 3(2010年江苏海门质检)若x(0,1)，则下列结论正确的是_ 2xx 21lgx 2xlgxx 21x212xlgx lgxx 212x 解析：x(0,1)，22x1,00
35、，即 a a， (xa)22a2，xa， ()当a0时，f(a)2a2，由知f(x)2a2，此时g(a)2a2. ()当aa，则由知f(x)23a2； 若xa，则xa2a23a2.此时g(a)23a2. 综上，得g(a) 2a2， a0，2a23 ， a0)，ex(x0)，F(x)f(x)kx，xR.当k1时，F(x)的值域为_ 解析：当x0时，F(x)1xx2；当x0时，F(x)exx，根据指数函数与幂函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)F(0)1，所以 k1 时，F(x)的值域为(，12，)答案：(，12，) 4设函数 f ( x ) 2 (x0)，x2bxc (x0)， 若f(4)f(0)，f(2)0，则关于x的不等式f(x)1的解集为_ 解析：由f(4)f(0)，得b4.又f(2)0，可得c4， x0，x24x41或 x0，21， 可得3x1或x0.答案：x|3x1或x0 5(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x) x24x， x0，4xx2， xf(a)，则实数a的取值范围是_ 解析：函数f(x) x24x，x0，4xx2，xf(a)，即2a2a. 解得20，x2bxc，x0. 若 f(0)2f(
