1、2012 年全国中考数学试题分类解析汇编(159 套 63 专题）专题 59：新定义和跨学科问题一、选择题1. （2012 浙江丽水、金华 3 分）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是【 】A B C D【答案】 A。【考点】生活中的轴对称现象。【分析】如图，根据入射线与水平线的夹角等于反射线与水平线的夹角，可求最后落入球洞。故 A。2. （2012 福建漳州 4 分）在公式 I= UR中，当电压 U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为【 】A B C D【答案】D。【考
2、点】跨学科问题，反比例函数的图象。【分析】在公式 I= UR中，当电压 U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间的函数关系不反比例函数关系，且 R为正数，选项 D 正确。故选 D。3. （2012 湖北随州 4 分）定义：平面内的直线 l1与 l2相交于点 O，对于该平面内任意一点 M，点 M 到直线 l1、l 2的距离分别为 a、b，则称有序非实数对（a，b）是点 M 的“距离坐标” ，根据上述定义，距离坐标为（2，3）的点的个数是【 】A.2 B.1 C. 4 D.3【答案】C。【考点】新定义，点的坐标，点到直线的距离。【分析】画出两条相交直线，到 l1的距离为 2 的直线有 2 条，到 l
3、2的距离为 3 的直线有 2 条，看所画的这些直线的交点有几个即为所求的点的个数：如图所示，所求的点有 4 个。故选 C。4. （2012 湖南长沙 3 分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流 I（A）与电阻 R（）成反比例图表示的是该电路中电流 I 与电阻 R 之间函数关系的图象，则用电阻 R 表示电流 I 的函数解析式为【 】A 2I=RB 3I=C 6I=RD 6I=R【答案】C。【考点】跨学科问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设 kI=，那么点（3，2）满足这个函数解析式，k=32=6。 6I=R。故选 C。5. （2012 湖南益阳 4 分）在一个标准大气压下，
4、能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是【 】A B C D【答案】B。【考点】跨学科问题，函数的图象。【分析】根据在一个标准大气压下水加热到 100后水温不会继续增加，而是保持 100不变，据此可以得到函数的图象。故选 B。6. （2012 贵州六盘水 3 分）定义：f（a，b）=（b，a） ，g（m，n）=（m，n） 例如 f（2，3）=（3，2） ，g（1，4）=（1，4） 则 g 等于【 】A （6，5） B （5，6） C （6，5） D （5，6）【答案】A。【考点】新定义。【分析】根据新定义先求出 f（5，6） ，然后根据 g 的定义解答即可：
5、根据定义，f（5，6）=（6，5） ，g=g（6，5）=（6，5） 。故选 A。7. （2012 山东东营 3 分）根据下图所示程序计算函数值，若输入的 x 的值为 52，则输出的函数值为【 】A 32 B 25 C 425 D 254【答案】B。【考点】新定义，求函数值。【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，发现：当 x= 52时，在 2x4 之间，所以将 x 的值代入对应的函数即可求得 y 的值： 12=5x。故选 B。8. （2012 山东莱芜 3 分）对于非零的实数 a、b，规定 ab 若 2(2x1)1，则 x【 】1b 1aA B C D56 54 32 16【答案
6、】A。【考点】新定义，解分式方程。【分析】ab ，2(2x1)1，2(2x1) 1=2x。1b 1a 13 5=2x1=632x=2x 6 。检验，合适。故选 A。9. （2012 广西钦州 3 分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y） ，若规定以下两种变换：f（x，y）=（y，x） 如 f（2，3）=（3，2） ；g（x，y）=（x，y） ，如 g（2，3）=（2，3） 按照以上变换有：f（g（2，3） ）=f（2，3）=（3，2） ，那么 g（f（6，7） ）等于【 】A （7，6） B （7，6） C （7，6） D （7，6）【答案】C。【考点】新定义，点的坐标。【分析】由
7、题意应先进行 f 方式的变换，再进行 g 方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：f（6，7）=（7，6） ，g（f（6，7） ）=g（7，6）=（7，6） 。故选 C。10. （2012 甘肃兰州 4 分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块 A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数 y(单位 N)与铁块被提起的高度x(单位 cm)之间的函数关系的大致图象是【 】A B C D【答案】C。【考点】跨学科问题，函数的图象。【分析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数 y 不变，出水面后 y 逐渐增大，离开水面后 y 不变。因为小明用弹簧称将
8、铁块 A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。故选 C。二、填空题1. （2012 陕西省 3 分）如图，从点 A（0，2）发出的一束光，经 x 轴反射，过点 B（4，3） ，则这束光从点 A 到点 B 所经过路径的长为 2. （2012 福建南平 3 分）设为一次函数 y=ax+b（a0，a，b 为实数）的“关联数” 若“关联数”的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 1+=m的解为 【答案】x=3。【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。【分析】根据新定义得：y=xm2， “关联数”的一次函数是正比例函数，m2=0，解得：m=2。则关于
9、x 的方程 1+=m即为 1+=x2，解得：x=3。检验：把 x=3 代入最简公分母 2（x1）=40，故 x=3 是原分式方程的解。5. （2012 湖北荆州 3 分）新定义：为一次函数 y=ax+b（a0，a，b 为实数）的“关联数” 若“关联数”的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 1+=的解为 【答案】x=3。【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。【分析】根据新定义得：y=xm2， “关联数”的一次函数是正比例函数，m2=0，解得：m=2。则关于 x 的方程 1+=m即为 1+=x2，解得：x=3。检验：把 x=3 代入最简公分母 2（x1）=40，故 x=3
10、是原分式方程的解。6. （2012 湖南常德 3 分）规定用符号表示一个实数 m 的整数部分，例如： =0，=3。按此规定 的值为 。【答案】4。【考点】新定义，估计无理数的大小。【分析】91016， 310410+50)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b 的值；（3）如图，OAB 是抛物线 2x(b)的“抛物线三角形” ，是否存在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由【答案】解：（1）等腰。（2）抛物线 2y=x+b(0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点24，满足2b=（b0） 。b=2。（3）存
11、在。如图，作OCD 与OAB 关于原点 O 中心对称，则四边形 ABCD 为平行四边形。当 OA=OB 时，平行四边形 ABCD 为矩形。又AO=AB， OAB 为等边三角形。作 AEOB，垂足为 E， A3O，即 2b=304， b=23 BCD0 - ， ， ， ， ， ， ， 。设过点 O、C、D 三点的抛物线 2ymx+n，则12m3n=0，解得， =13。所求抛物线的表达式为 2yx+。【考点】二次函数综合题，新定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中心对称的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。【分析】 （1）抛物线的顶点必在抛物线与 x 轴两交点连线的垂直平分线
12、上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形。（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于 b0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出 b 的值。（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD，那么必须满足 OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用 b表示出 AE、OE的长，通过OAB 这个等边三角形来列等量关系求出 b的值，进而确定 A、B 的坐标，即可确定 C、D 的坐标，利用待定系数即可求出过 O、C、D 的抛物线的解析式。3. （2012 浙江嘉兴、舟山 12 分）将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 度，并使各边长变为原来的 n 倍，得ABC，即如图，我们将这种变换记为（1）如图，对ABC 作变换得ABC，则 SABC ：S ABC = ；直线 BC 与直线 BC所夹的锐角为 度；（2）如图，ABC 中，BAC=30，ACB=90，对ABC 作变换得ABC，使点 B、C、C在同一直线上，且四边形 ABBC为矩形，求 和 n 的值；（4）如图，ABC 中，AB=AC，BAC=36，BC=l，对ABC 作变换得ABC，使点 B、C、B在同一直线上，且四边形 ABBC为平行四边形，求 和 n 的值
