1、 龙文教育-您值得信赖的中小学 1 对 1 课外辅导专家1龙 文 教 育 个 性 化 辅 导 授 课 案教师： 学生： 时间： 年 月 日 段一、授课目的：1， 通过本课的教学帮助学生归纳和分析与探究，猜想，操作，归纳有关的综合性问题的解决方法。2，培养和提高学生的独立思考及分析解决问题的能力。中考链接：与探究，猜想，操作，归纳有关的综合性问题常作为考察学生们的独立思考及分析解决问题的能力的一种题型。归纳是根据具体事实和特殊现象，通过实验，观察和比较，概括出一般的结论，而猜想是一种直觉思维，而恰当的归纳使猜想更准确，因此我们在求解这类问题，通过操作，猜想，探究，归纳等过程，不能随意乱猜，要结合
2、题目给出的条件，根据图形直观的找出结论后再进行合理的推理论证，同时要善于从变化的过程中寻找出不变的本质问题。与探究，猜想，操作，归纳有关的综合性问题较好的体现了新课程的基本理念，在近几年的中考中，出现了一批格调清新，设计优美，个性独特，富有创意的题目，它将是今后中考命题的主流。二、授课内容： 与探究，猜想，操作，归纳有关的综合性问题 历史传奇：在 唐 贞 元 六 年 （ 公 元 790 年 ） ， 91 岁 高 龄 的 元 际 禅 师 自 知 来 日 不 多 了 ， 他 悄 然 返 回 故 乡 湖 南 衡 山 的 南 台寺 ， 停 止 进 食 。 只 嘱 门 徒 将 他 平 日 搜 集 来 的
3、 百 多 种 草 药 熬 汤 ， 他 每 天 豪 饮 10 多 碗 。 饮 后 小 便 频 繁 ， 大汗 涔 涔 。 门 徒 见 情 ， 纷 纷 劝 阻 ， 元 际 禅 师 只 是 笑 而 不 答 ， 继 续 饮 用 这 种 散 发 芬 香 的 草 药 汤 。 一 个 月 后 ， 他清 瘦 了 ， 但 脸 色 红 赤 ， 两 目 如 炬 。 有 一 天 ， 他 口 念 佛 经 ， 端 坐 不 动 ， 安 详 地 圆 寂 了 。 又 过 了 月 余 ， 禅 师 的肉 身 不 但 不 腐 ， 而 且 还 芬 芳 四 溢 。 门 徒 们 大 感 惊 诧 ， 认 为 这 是 禅 师 功 德 无 量 的
4、 结 果 ， 便 特 建 了 庙 寺 敬 奉 。千 百 年 来 ， 香 火 甚 盛 ， 历 久 不 辍 一 直 到 清 末 民 初 。 30 年 代 ， 军 阀 割 据 ， 战 乱 频 繁 。 潜 伏 在 湖 南 一 带 、 以 牙 科 医 生 为 掩 护 的 日 本 间 谍 渡 边 四 郎 早 就 知 道 禅师 肉 身 的 价 值 ， 便 乘 乱 毒 死 寺 内 的 小 和 尚 ， 将 元 际 禅 师 肉 身 移 放 在 寺 庙 外 ， 隐 藏 了 起 来 。 不 久 ， 该 寺 庙 毁于 兵 火 ， 世 人 都 以 为 禅 师 的 肉 身 也 一 起 遭 劫 了 。 抗 日 战 争 末 期
5、 ， 渡 边 见 日 本 侵 华 军 的 大 势 已 去 ， 便 偷 偷 地 将 肉 身 伪 装 成 货 物 ， 装 船 经 上 海 偷 偷 运 到 日本 。 开 始 ， 辗 转 放 置 在 他 所 在 的 乡 间 ， 后 来 移 置 在 东 京 郊 外 一 座 小 山 的 地 下 仓 库 里 ， 秘 而 不 宣 。 1947年 ， 渡 边 病 重 身 死 ， 人 们 在 清 理 遗 物 时 ， 从 他 的 日 记 本 中 得 知 这 一 重 大 秘 密 。 当 局 立 即 派 人 打 开 仓 库 ， 只见 禅 师 盘 腿 如 坐 ， 双 目 有 神 ， 俨 如 活 人 。 专 家 认 为 ，
6、 一 般 木 乃 伊 的 保 存 ， 是 人 工 药 物 制 的 “躯 壳 ”，龙文教育-您值得信赖的中小学 1 对 1 课外辅导专家5并 不 太 奇 。 但 暴 露 于 空 气 中 的 肉 身 千 年 不 朽 ， 实 为 世 界 唯 一 奇 迹 。 经 检 查 ， 禅 师 腹 内 无 污 物 ， 体 内 渗 满 了防 腐 药 物 ， 嘴 及 肛 门 均 被 封 住 ， 这 些 可 能 都 是 肉 身 不 朽 的 基 本 原 因 。 至 于 他 临 终 前 饮 用 的 大 量 汤 药 究 竟 是什 么 草 药 ， 已 经 无 从 考 究 了 。 元 际 禅 师 的 肉 身 现 存 于 横 滨
7、鹤 见 区 总 持 寺 ， 并 被 视 为 日 本 “国 宝 ”。听了这个历史传奇故事，你有何感想？佛家有云：世间万物皆有姻缘，诸事皆有因果，我们在解决和处理问题时要注意寻因而求果，学会从偶然中发现必然，解决数学问题时也应如此。今天我们来学习中考试题中与探究，猜想，操作，归纳有关的综合性问题典例解析例 1 （2008 旅顺口区） （1）操作：如图 2，O 是边长为 a 的正方形 ABCD 的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O 点处，并将纸板绕 O 点旋转求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a（2）思考：如图 1，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在
8、边长为 a 的正三角形或边长为 a 的正五边形的中心 O 点处，并将纸板绕 O 点旋转当扇形纸板的圆心角为120龙文教育-您值得信赖的中小学 1 对 1 课外辅导专家6时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a；如图 3，当扇形纸板的圆心角为72时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a （直接填空）（3）探究：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为 a 的正 n 边形的中心 O 点处，并将纸板绕 O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为度时，正 n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a；这时正 n 边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正 n 边形面积
9、S 之间的关系（不需证明） ；若不是定值，请说明理由考点：本题考查了正多边形的性质，全等三角形的判定和性质属于证明题；探究型 分析：（1）如图，连接 OA、OD ，由正方形的性质证得 AOEDOF ，有AE=DF，即被纸板覆盖部分的总长度为 AF+EF=AF+DF=AD=a 为定值（2）在等边三角形ABC 中，连接 OB，OB，当OCEOBD 时，有OD+OE+CD+CE+OB+OC+BC 为定值此时 DOE= BOC=120 ；同理在正五边形中，FOG=DOE=72（3）由（1） （2）可以推得当在扇形纸板的圆心角为 360/n 时，正 n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a；此时正
10、n 边形被纸板覆盖部分的面积是定值，等于以正多边形一边与中心构成的三角形的面积，且为 S/n解题过程学生自己练习书写。龙文教育-您值得信赖的中小学 1 对 1 课外辅导专家7例 2（2010 辽宁丹东）如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边AB， AC， BC 的中点， M 为直线 BC 上一动点， DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，DMN 也随之整体移动） （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图 2，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变
11、， （1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由分析：利用两个边长不等的等边三角形，通过操作，猜想，归纳出 EN 和 MF 的大小关系，在不断地变化中，经过探究发现线段相等的结论仍然成立。评注：我们不要被“动” “变”谜惑，要通过观察，分析，动中求静，变化中求不变，从而明确图形之间的内在联系，找到解题的途径。龙文教育-您值得信赖的中小学 1 对 1 课外辅导专家10解
12、题过程：学生自己写出来。例 3 （1）观察与发现：小明将三角形纸片 ABC（ABAC）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为AD，展开纸片（如图） ；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到AEF（如图） 小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由（2）实践与运用：将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图） ；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点 D处，折痕为 EG（如图） ；再展平纸片（如图） 求图中 的大小分析：通过折一折，观察发现AEF 是等
13、腰三角形，然后通过验证，进而应用到矩形中，从而比较容易求出角的度数。评注：通过操作，探究，猜想，归纳，能有效的培养同学们的思维习惯和观察能力，因此，遇到此类问题时要沉着冷静，运用学到的知识进行归纳和总结。解题过程学生自己练写。三，练习提高A 组：基础巩固1（2009 宁波） （1）如图 1，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是 ；（2）如图 2，在 55 的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，去掉居中的那条线段，请把得到的图画在图 3 中，并写出这个图形的边数（
14、3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中的那条线段为边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图的边数是多少？龙文教育-您值得信赖的中小学 1 对 1 课外辅导专家102,正方形 ABCD 的边长为 a，等腰直角三角形 FAE 的斜边 AE=b（b2a） ，且边AD 和 AE 在同一直线上小明发现：当 b=a 时，如图，在 BA 上选取中点 G，连接 FG 和 CG，裁掉 FAG 和CBG 的位置构成正方形 FGCH（1）类比小明的剪拼方法，请你就图和图两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图（2）要使（ 1）中所剪拼的新图形是正方形，须满足 BG:AE=_B组：中考视角
15、1 (2010 台州)如图 1，RtABC RtEDF，ACB=F=90 ，A=E=30EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转，DE ，DF 分别交线段 AC 于点M， K（1）观察： 如图 2、图 3，当CDF=0或 60时，AM+CK MK（填“” ，“”或“=” ） ；如图 4，当 CDF=30时，AM+CK MK（只填“”或“” ） ；（2）猜想：如图 1，当 0CDF60时，AM+CK MK，证明你所得到的结论；（3）如果 MK2+CK2=AM2，请直接写出CDF 的度数和 MK:AM 的值龙文教育-您值得信赖的中小学 1 对 1 课外辅导专家102（2010 山东德州） 探究：（1
16、）在图中，已知线段 AB，CD ，其中点分别为 E，F若 A（-1，0 ） ，B （3，0） ，则 E 点坐标为（ ） ；若 C（-2，2） ，D（ -2，-1 ） ，则 F 点坐标为 （ ） ；（2）在图中，已知线段 AB 的端点坐标为 A（a，b） ，B （c，d） ，求出图中 AB 中点 D 的坐标（用含 a，b ，c，d 的代数式表示） ，并给出求解过程归纳：无论线段 AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为 A（a ，b） ，B（ c， d） ，AB 中点为 D（x，y）时，x= ，y= （不必证明）运用：在图中，一次函数 y=x-2 与反比例函数的图象交点为 A，B 求出交
17、点 A，B 的坐标；若以 A，O，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点 P的坐标C组：变式提高， （）青岛问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如图中，用正方龙文教育-您值得信赖的中小学 1 对 1 课外辅导专家10形镶嵌平面，可以发现在一个顶点 O 周围围绕着 4 个正方形的内角试想：如果用正六边形来镶嵌
18、平面，在一个顶点周围应该围绕着 个正六边形的内角 问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决：猜想 1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角验证 1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 x 个正方形和 y 个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：90x+ ，整理得：2x+3y=8 ，我们可以找到惟一
19、一组适合方程的正整数解为 结论 1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1 个正方形和 2 个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌猜想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由验证 2：_；结论 2：_上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程猜
20、想 3：_；龙文教育-您值得信赖的中小学 1 对 1 课外辅导专家10验证 3：_；结论 3：_， （2007 丽水）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 ABCO 的边 OC 落在x 轴的正半轴上，且 ABOC，BCOC，AB=4，BC=6，OC=8正方形 ODEF的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形 ABCO 面积将正方形 ODEF沿 x 轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形 ABCO 的重叠部分面积为 S（1）分析与计算：求正方形 ODEF 的边长；（2）操作与求解：正方形 ODEF 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断 S（S0 ）的变化情况是A、逐渐增大 B、逐渐减少 C、先增大后减少 D、先减少后增大当正方形 ODEF 顶点 O 移动到点 C 时，求 S 的值；（3）探究与归纳：设正方形 ODEF 的顶点 O 向右移动的距离为 x，求重叠部分面积 S 与 x 的函数关系式四，总结：谈谈这节课你的收获和体会龙文教育-您值得信赖的中小学 1 对 1 课外辅导专家10三、课后作业：在,几组中视学生情况让学生选做四、学生对本次课的评价： 特别满意 满意 一般 差学生签字： 五、教师评定：1、学生上次作业评价： 好 较好 一般 差2、学生本次上课情况评价： 好 较好 一般 差教师签字：主任签字： 龙文教育教务处
