1、11.8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量设变量 u 从它的一个初值 u1 变到终值 u2 终值与初值的差 u2u1 就叫做变量 u 的增量 记作u 即 u u2u1 设函数 yf(x)在点 x0 的某一个邻域内是有定义的 当自变量 x 在这邻域内从 x0 变到 x0x 时 函数 y 相应地从 f(x0)变到 f(x0x) 因此函数 y 的对应增量为y f(x0x) f(x0) 函数连续的定义 设函数 yf(x)在点 x0 的某一个邻域内有定义 如果当自变量的增量x xx0 趋于零时 对应的函数的增量 y f(x0x) f(x0 )也趋于零 即 或 0limyx )(li00xf
2、x那么就称函数 yf(x)在点 x0 处连续 注 )(lili00fx设 xx0+x 则当 x0 时 x x0 因此 limy)(li0f )(lim00xf函数连续的等价定义 2设函数 yf(x)在点 x0 的某一个邻域内有定义 如果对于任意给定义2的正数 总存在着正数 使得对于适合不等式|xx 0| 的一切 x 对应的函数值 f(x)都满足不等式|f(x)f(x0)| 那么就称函数 yf(x)在点 x0 处连续 左右连续性如果 则称 yf(x)在点 处左连续 )(lim00xfx0如果 则称 yf(x)在点 处右连续 0左右连续与连续的关系函数 yf(x)在点 x0 处连续 函数 yf(x
3、)在点 x0 处左连续且右连续 函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 连续函数举例1 如果 f(x)是多项式函数 则函数 f(x)在区间( )内是连续的 这是因为 f(x)在( )内任意一点 x0 处有定义 且 )(lim00Px2 函数 在区间0 )内是连续的 xf3 函数 ysin x 在区间( )内是连续的 证明 设 x 为区间( )内任意一点 则有ysin(xx)sin x )cos(in2x3因为当 x0 时 y 是无穷小与有界函数的乘积 所以这就证
4、明了函数 ysin x 在区间( )内任意一点lim0yxx 都是连续的4 函数 ycos x 在区间( )内是连续的 二、函数的间断点间断定义设函数 f(x)在点 x0 的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在 x0 没有定义(2)虽然在 x0 有定义 但 f(x)不存在0lim(3)虽然在 x0 有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0)0 0li则函数 f(x)在点 x0 为不连续 而点 x0 称为函数 f(x)的不连续点或间断点 例 1 正切函数 ytan x 在 处没有定义 所以点 是函数 tan 22 xx 的间断点 因为 故称 为函数 ta
5、n x 的无穷间断点 xtanlim22 x例 2 函数 在点 x0 没有定义 所以点 x0 是函数 的间y1si x1sin断点 4当 x0 时 函数值在1 与1 之间变动无限多次 所以点 x0 称为函数 的振荡间断点 sin例 3 函数 在 x1 没有定义 所以点 x1 是函数的间断点 2y因为 如果补充定义 令 x1 时 y2 则所给函1limx)(li数在 x1 成为连续 所以 x1 称为该函数的可去间断点 例 4 设函数 2)(fy因为 所以 x1 是函数 f(x)的间1lim)(li1xfx)(f )1(li1fx断点 如果改变函数 f(x)在 x1 处的定义令 f(1)1 则函数
6、 f(x)在 x1 成为连续 所以 x1 也称为该函数的可去间断点 例 5 设函数 0 )(xf因为 1)(lim)(li00xf xx )(li)(li00ff所以极限 不存在 x0 是函数 f(x)的间断点 因函数 f(x)的图x形在 x0 处产生跳跃现象 我们称 x0 为函数 f(x)的跳跃间断点 间断点的分类:通常把间断点分成两类如果 x0 是函数 f(x)的间断点 但左极限5f(x00)及右极限 f(x00)都存在 那么 x0 称为函数 f(x)的第一类间断点 不是第一类间断点的任何间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点
