1、第六章 空间滤波 习题6.1 利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式，并同非相干照明下的最小分辨距离公式比较。解：在显微镜下观察的微小物体可近似看作是一个点，且物近似位于物镜的前焦点上，如附图 6.1 所示。对于相干照明，系统的截止频率由物镜孔径限制的最大孔径角 决定，0即由镜头边缘对物平面中心所张的最大孔徑角 决定。故 。截止频率0fDfc2sin0的倒数即为相干系统可分辨的最小空间周期 或分辨距离，即 c。Dfc2sin0对于非相干照明，由瑞利判据及图 2.5.6 可知其分辨距离为 。亦0sinf即 。由此可见，非相干照明时显微镜的分辨率大约为相1.2/.61(2/)f
2、f干照明时的两倍。附图 6.1 习题6.1图示6.2 在 系统输入平面处放置 40 线/mm 的光栅，入射光波长为 632.8nm，为了使频谱f4面上至少能够获得 级衍射斑，并且，相邻衍射斑间距不少于 2mm，求透镜的焦距和直5径。解：设光栅尺寸很大，可近似看成无穷大，则其透过率函数可表示成：dxaxtcomb1ret其频谱为： mxx fdfTsin即谱点位置由 确定，其空间坐标为：fx2 0,1 2,xffdm相邻衍射斑之间的间距为： ，由此求得焦距为：dfx m 79xdf物透明片位于透镜前焦面，谱面在后焦面，谱面上的5 级衍射斑对应于能够通过透镜的最大空间频率，即要求dfDfx 521
3、sin故所求透镜直径为 0 0mx6.3 利用 系统做阿贝- 波特实验，设物函数 为一正交光栅：f4 )(1yx1111 22()xxxyrectcombrectcombaaA其中， 分别为 方向上缝的宽度， 则是相应的缝间隔。频谱面上得到如附21,a, 21,图 6.2（a）所示的频谱。分别用附图 6.2（b） （c） （d）所示的 3 种滤波器进行滤波，求输出面上的光强分布。附图 6.2 习题6.3 图示解：（1）采用滤波器（b）时 2 3113 14,sincosxaIxy CbbA（2）采用滤波器（c）时，有两种可能的结果，参见图 6-1-11 和图 6-1-12。（3）采用滤波器（d
4、）时，输出面上将得到余弦光栅结构的强度分布，其方向与滤波狭缝的方向垂直，周期为 b，它与物光栅周期 的关系为：12,2121bb6.4 用相衬法观测一位相物体，若人眼可分辨的最小对比度 V=0.03，所用光波波长600 nm，试问：（1） 当位相板上零级谱的振幅透过率 时，可观察到的最小位相变化是多少？（2） 当 时，可观察到的最小位相变化又是多少？01.解：定义对比度为： ,xyV处 的 强 度 背 景 强 度背 景 强 度则由式（6.2.6）及题设，应有：03.,2,2yxyx遂得（1） 当 时，1 075.2015.min（2） 当 时，.0 0.in6.5 用相衬法来检测一块透明玻璃的
5、不平度，用 =632.8 nm 的光照明，设人眼能分辨的最小对比度 V=0.03，玻璃的折射率 =1.52，求在下面两种情况下玻璃的不平度：0n（1） 使用完全透明的位相板；（2） 使用光强透过率为 的位相板。251解：仿上题有 03.,yxV（1）使用完全透明的位相板时 ， ；而1075.25.，故 nm；lnG26.2Gnl（2） 故10. ,=.15015 ,5 0.15.3 2Gl nmnA6.6 当泽尼克相衬显微镜的相移点还有部分吸收，其强度透过率等于 时,求观察到的像强度表示式。解：按题设，其强度吸收为 ，则其振幅吸收为 ，透镜后焦面上的振幅透射率函数遂可表示为：其 他12, 2f
6、yxaiyx 其中 为一小量，相当于相移点的大小。当透明物体经过透镜理想成像时，像场振幅分布为：MyxiiMyxUi 33 , M 为放大倍数。像的光强度分布为： yxyxyxIii 3233 ,1, 上式表明像的对比度是 。当相移点没有这种吸收时，像的对比度为 。又由于2 2，故使用有吸收的相移点，能使像的对比度改善。16.7 用 CRT 记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔为 0.2mm，图像最高空间频率为10 线/mm。如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，那么空间滤波器的形状和尺寸应当如何设计？输出图像的分辨率如何？设傅里叶变换物镜的焦距 =1000mm，f632.8nm。解
7、：扫描点的表达式为： mnnyxyxf 01011 ,其频谱为 mnyxmnnyfxfiyx nffxefF 0002 , 00 可见其频谱仍是点状结构，其位置由下式确定： 0202,ynfxf点状结构是高频成分，可采用低通滤波器将其滤掉。低通滤波器的孔半径为：m 164.302xfr能传递的最高空间频率为： 5sin0max 线xfr高于此值的空间频率成分将被滤除，故输出图像的分辨率为 线6.8 某一相干处理系统的输入孔径为边长等于 30mm 的方孔，第一个变换透镜的焦距为100mm，波长是 632.8nm。假定频率平面模片结构的精细程度可与输入频谱相比较，问此模片在焦平面上的定位必须是精确
8、到何种程度？解：按题意，系统的光瞳函数为： 30,rect, yxyxP设系统的输入面位于透镜的前焦面，物透明片的复振幅分布为 ，考虑到系统孔径1,f有限，透镜后焦面上的场分布为： yxyxyxf ffFyxyxfFU 30,sinc,903,rect, 11 式中 ；由上式可见，频谱面上能分辨的细节由 决定。ffyx22, yxf,i将 函数由最大值降为零的宽度取为最小分辨单元，即令sinc130 ,130yxff遂有 my.22由于频谱平面模片也有同样的细节，故其对准误差最大也不允许超过它的一半，约 。m16.9 在 系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数 =4，线宽 =1，最大
9、f4 da透过率为 1，如不考虑透镜有限尺寸的影响：（1） 写出傅里叶平面 上的频谱分布表达式；2P（2） 写出输出面上的复振幅和光强分布表达式；（3） 在频谱面上放置一高通滤波器，挡住零频分量，写出输出面上的复振幅和光强分布表达式；（4） 若将一个 位相滤波器：其 它 0,)( 022 yxeyxHi放在 平面的原点上，写出输出面上复振幅和光强的表达式。 （ 表示一很小的2P 0,yx定值）解：（1） 41sinc41sincsi41 xxxx ffffT （2） 4combret41333 xxxt233233 cret16xxtI（3） 4ret14combret413333 xt233
10、3233 rctrt16xxtI（4） 4rect14obrect4rect4 33333 xxt6.10 如附图 6.3 所示，欲将字母 F、H 、L 中的现条除去，应采用怎样的滤波器？试分别算出相应的结果（设透镜焦距 f=1 m,入射光波长 632.8nm） 。附图 6.3 习题6.10图示解：附图 6.3 中各字母上的线条具有光栅结构，其透过率函数可写成 111()xxtxrectcombad若将各图像置于 4f 系统的输入面，则其频谱为：()sin()() =xxxxmTfffaacdddA式中 为频谱面上的位置坐标。上式说明图像中的线条经透镜 变换后，22/, xffx 1L在频谱面上形成一系列分立的频谱，其中心位置分别是： 20, , , ffmfddA因此，若令 则在与相应线条垂直的方向上，把距离中心为 x 、2x /,xfd、3x、等位置涂黒，就是所要求的滤波器。按照题设透镜焦距 f = 1 m,入射光波长则对于 F、H、L 三个图形，632.8nm , ()0.5cos3,29 m,Fd=0.707mm,()0 d1cos45H.代入公式 算得：()0 L mfxd() () ()0.487 ,30.895 ,45 x1.26 m,0.F HLx 方 向 ； x方 向 ； 方 向
