1、1第一章 复数与复平面第一节 复数及其几何表示1、复数域每个复数 具有 的形状，其中 和 ， 是虚数单位； 和 分ziyxxRy1ixy别称为 的实部和虚部，分别记作 ， 。zeIm复数 和 相等是指它们的实部与虚部分别相等。1i22i如果 ，则 可以看成一个实数；如果 ，那么 称为一个虚0Imzz 0Izz数；如果 ，而 ，则称 为一个纯虚数。0Rez复数的四则运算定义为： )()()()( 212121 biaibai 21ba212121 )( baibai 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为 C。2、复平面：C 也可以看成平面 ，我们称为复平面。2R作映射： ，则在复数
2、集与平面 之建立了一个),(:yxiz2R1-1 对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为 z-平面， w-平面等。复数可以等同于平面中的向量， 。向量的长度iyxz称为复数的模，定义为： ；2|z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：（ ） 。ixyz2arctnAgZk复数的共轭定义为： ；iyxz复数的三角表示定义为： ；)sin(co|Argz),(yx2复数加法的几何表示：设 、 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意1z2义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1） 、 ；（2） 、 ；|121zz| 2121zz（3） 、 ；
3、（4） 、 ；| |（5） 、 ；（6） 、 ；|Im|,|Re| zzz2|例 1 试用复数表示圆的方程：（ ）0)(2dcybxaa其中， a,b,c,d 是实常数。解：方程为 ，其中 。zz)(21icb例 2、设 、 是两个复数，证明12 212121,zzz利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设 、1z是两个非零复数，则有2z )sin(co| 111Argzrzz )sin(cos| 222Argzrz则有 yx021z2z3)sin( co| 2121212Argzzz即 ， ，其中后一个式子应理解为集合相等。|212zz2121)(rzAgzr同理，对除法
4、，有 )sin( )cos(|/|/2121221rgzArzz即 ， ，其后一个式子也应理解为集合相等。|/|/|212zz221)/(ArgAr例 3、设 、 是两个复数，求证： ),Re(| 212121 zzz例 4、作出过复平面 C 上不同两点 a,b 的直线及过不共线三点 a,b,c 的圆的表示式。ababc解：直线： ；圆： 利用复数的三角表示，我0Imabz 0)I(bcaz们也可以考虑复数的乘幂： )sin(os| Argzrzn令 ，则nz1 )si()cs(| rzrzzn进一步，有 )1sin()1cos(|1 Argzrgzzn共有 -个值。n例 5、求 的所有值。4
5、)1(i解：由于 ，所以有)4sinco24)24(1sin)24(1cos)(84 kki 6其中， 。3,210k3、复球面与无穷大：在点坐标是 的三维空间中，把 xOy 面看作就是 面。考虑),(uyx iyxz球面 ： 取定球面上一点 称为球极。我们可以建立一个S122uyx )1,0(N复平面 C 到 之间的一个 1-1 对应：N1uiyxiz， ， 。1|2x|2zy1|2z我们称上面的映射为球极射影。对应于球极射影为 ，我们引入一个新的非正N常复数无穷远点 ，称 为扩充复平面，记为 。CC关于 ，其实部、虚部、辐角无意义，模等于 ；基本运算为（ 为有限复数）a：； ；a)0( a。(0 );(0ux)1,0(NSO),(yxA
