1、1第一课时 函数的基本概念一、自主整合1. 函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一 确定的数 f（x）和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f（x ） ，xA.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值 ，函数值的集合 f（x ）|xA叫做函数的 值域，显然，值域是集合 B 的子集.温馨提示： A、B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在.2.函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.由于值域是由
2、定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.3.函数的表示法有解析法、图象法、列表法.4.设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有 唯一确定 的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.温馨提示： 理解映射的概念要注意以下几点：（1）映射由三要素组成，集合 A、B 以及 A 到 B 的对应关系 f，集合 A，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合.（2）A 中每一个元素都可以在 B 中找到一个且只有一个元素和它对应.（3）
3、A 中的不同元素允许对应 B 中的相同元素，即映射允许“多对一” 、 “一对一” ，但不允许“一对多”.（4）B 中的元素可以在 A 中没有元素和它对应.归纳拓展： 映射与函数的对比总之，函数是特殊的映射，当 A、B 是非空数集时，f :AB 的映射即为 A 到 B 的函数.5.有些函数在其定义域中，对于自变量 x 不同的取值范围对应的关系不同，这样的函数通常称为分段函数，分段函数虽由几个部分构成，但它代表的是一个函数.6.复合函数如果 y 是 u 的函数，记为 y=f（u） ，u 又是 x 的函数，记为 u=g（x） ，且 g（x）的值域与 f（u）的定2义域的交集不空，则确定了一个 y 关
4、于 x 的函数 y=f（g（x） ） ，这时 y 叫做 x 的复合函数，其中 u 叫做中间变量，y=f（u）叫做外层函数，u= g（x ）叫做内层函数.二、基础检测1. 已知 f（x） =（x R） ，则 f（ 2）等于（ ）（A） 2 （B） （C） （D ）不确定2. 设 M=x|0x2，N=y |0y3，给出下列四个图形（如图所示） ，其中能表示从集合 M 到集合 N的函数关系的有（ ）（A）0 个 （B） 1 个 （C）2 个 （D）3 个3. 下列函数中，与 y=x 相等的函数是（ ）4.（2008 年山东菏泽模拟）设 f，g 都是由 A 到 B 的映射，其对应关系如表（从上到下）：
5、表 1 映射 f 的对应关系则与 f（g（1） ）相同的是（ ）（A）g（f（1） ） （B）g（f（2） ） （C）g（f （3） ） （D）g（f（4） ）若 f（1）+f（a）=2 ，则 a 的值为 _.备用题 12 （2009 年湖南长沙模拟）已知 f（x）= 使 f（x）1 成立的x 的取值范围是 _.21 (0) ()xxfe备 用 题 -2 2223333x xxxyy y y3三、典例研习类型一：映射与函数的概念【例 1】 已知集合 M=1，1，2，4，N=0，1，2，给出下列四个对应关系：y= x2，y=x+1 ，y =2x，y=log 2|x|，其中能构成从 M 到 N 的
6、映射的是（ ）（A） （B） （C） （D）.【教师备用】 已知 A=1，2，3，k ，B=4，7，a 4，a 2+3a，aN *，kN *， xA，yB，f ：x y=3x+1 是从定义域 A 到值域 B 的一个函数，求 a、k、A、B.【例 2】(2006.浙江)映射 则这样的映射共有( )个.:1,23, ,f fxf满 足(A) 1 个, (B) 2 个 (C) 8 个 (D) 10 个【同步探究 2-1】若集合 集合 则 所,|,1,Mxyf,|0,NxyMN含元素的个数是( )(A) 0, (B) 1, (C) 0 或 1， （D ） 0，1 或 2【例 3】 下列函数是否为同一函
7、数.（1）f（x）= ，g（x）= ； （2）f（x）= ，g（x）=x+2； )(4（3）f（x）=x 22x1，g（t ）= t22t1；（4）f （n）=2n1，g（n）=2n+1， （nZ ）.变式探究 31：下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）（A）y=2 log2（x+1） 和 y= （B）y = 或 y=log33x2x2（C）y =（ ） 2 和 y=eln（x+1） （D ）y=（ ） 2 和 y=alogax（a0 且 a1）.1x类型二：函数的表示法【例 3】 已知 f（x ）=x 2+2x3，用图象法表示函数 g（x）= .2|)(|ff【同步探究 3-1】（1）
8、已知定义域为 的函数 ，则 |,1xR且 112fxffx满 足 3f（2）如果 且 ,fabf2,f40620359ffff+类型三：分段函数【例 4】 等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a，BC =a，BAD=45，作直线 MNAD 交 AD 于M，交折线 ABCD 于 N，记 AM=x，试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数，并写出4函数的定义域.变式探究 41：已知正方形 ABCD 的边长为 10，一动点 P 从点 A 出发沿正方形的边运动，路线是AB C DA.设点 P 经过的路线长为 x，设|AP| 2=y，试写出 y 关于 x 的函数，并求
9、其值域.备选例题（1）求 a 的值；（2）求 f（f（2） ）的值；（3）若 f（m）=3，求 m 的值.四、易错扫描四、易错扫描1.考虑不全致错【例 1】 若函数 f（x ）= 的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是（ ）342mxA） （，+） （B） （0， ）4（C） （ ，+） （D ） 0， ）43错解：f（x）的定义域为 R，对任意 xR ，分母 mx2+4mx+30 恒成立.即二次方程 mx2+4mx+3=0 无实根， =16m24 3m0，5解得 0m ，故选 B 43分析：上述解法漏掉了 m=0 这种特殊情况，当 m=0 时，同样可以满足分母 mx2+4mx+30.正解：
10、分类求解，当 m0 时，二次方程 mx2+4mx+3=0 无实根 .由 =16m212m0，得 0m .43当 m=0 时，分母 mx2+4mx+3=30，满足条件.因此 0m .故选 D.432.忽视函数的定义域致错【例 2】 已知 f（x ）=2+log 3x（1x9） ，求函数 y=（f（x） ） 2+f（x 2）的最大值.错解：y=（f（x） ） 2+f（x 2）=（log 3x+2） 2+log3x2+2=log23x+6log3x+6=（log 3x+3） 231x9，0log 3x2，故当 x=9，即 log3x=2 时，y 取得最大值 22.分析：忽视了复合函数的定义域，误认为
11、函数 y=（f （x） ） 2+f（x 2）的定义域是 f（x ）的定义域，从而导致错误.正解：f（x）的定义域为1，9 ，y=（f（x ） ） 2+f（x 2）的 x 满足解之得 1x3.y=（f（x） ） 2+f（x 2）= （2+log 3x） 2+2+log3x2=（log 3x+3） 2 31x3，0log 3x1.故当 x=3，即 log3x=1 时，y 取得最大值 13.五、作业1.设集合 A 和 B 都是自然数集合 N,映射 把集合的元素 n 映射到集合 B 中的元素 ,则在映射:fAB2nf 下,象 20 的原象是( ) A. 2 ； B. 3 ； C. 4 ； D. 5；2
12、.设集合 A 和 B 都坐标平面上的点集 ,映射 把集合 A 中的元素 映射成集合,|,xyR:fAB,xyB 中的元素 ,则在映射 下,象(2,1)的原象是 ( ),xyfA. (1,3) ； B. ； C. ； D (1,3) 31,231,23. （ ）21(),()xff则A. 1 B. C. D. 135354.设 是函数 的反函数。若 ，则 的值为（ ）()fx2()log()fx11()()8fafb()fabA. 1； B. 2 ； C. 3 ； D. 2log35.设函数 ， 是 的小数点后的第 n 位数字， ，则 等于 ()fnkN3.14596.10.()ff6。思考、已
13、知 是集合 到集合 的一个映射，则集合 中的元素的个数:2sinfx0,2A0,12BA最多为（ ）.6;.5;.4;.3ABCD思考 2、已知 从集合 到集合 的映射 满足： 1,23,ABf12345;ffff的象有且只有 2 个。则适合条件的映射 的个数为（ ）f f.10;.0;.30;.40ABCD思考 3、设 给出下列四个图形，其中能表示集合 为定义域， 为|,|2,MxNy MN值域的函数关系的是（ ）思考 4、已知函数 ，那么 .2()1xf111(1)2()3()4()ffff思考 5、定义运算 ,若 ,则 m 的取值范围是 .()yyx|m五、感悟提升1.判断对应是否为映射.即看 A 中元素是否满足“每元有象，且象唯一” ；又要注意：A 中不同元素可有相同的象.即允许多对一，但不允许一对多，B 中元素可无原象，即 B 中元素可有剩余.2.判断两个函数是否为相等函数，抓住两点：定义域是否相同.对应关系即解析式是否相同，注意：解析式可以化简.3.建立简单实际问题的函数式，首先应选定变量，而后寻找等量关系，求得函数解析式，但要注意定义域.4.函数的定义中，最重要的是定义域和对应关系，值域是由定义域和对应关系确定的，因此处理函数问题时，应遵循“定义域优先”的原则.
