1、第 1 页（共 26 页）2015 年辽宁省高考数学试卷（理科） （全国新课标）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 A=2， 1，0，1，2，B=x |（x 1） （x +2）0 ，则AB=（ ）A 1，0 B0，1 C 1，0，1 D0，1，22 （5 分）若 a 为实数，且（2+ai） （a2i）=4i ，则 a=（ ）A 1 B0 C1 D23 （5 分）根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007 年我国治理
2、二氧化硫排放显现成效C 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4 （5 分）已知等比数列a n满足 a1=3，a 1+a3+a5=21，则 a3+a5+a7=（ ）A21 B42 C63 D845 （5 分）设函数 f（x ） = ，则 f（2）+f （log 212）= （ ）第 2 页（共 26 页）A3 B6 C9 D126 （5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A B C D7 （5 分）过三点 A（1，3） ，B （4，2） ，C（1，7）的圆交 y 轴于
3、M，N 两点，则|MN|=（ ）A2 B8 C4 D108 （5 分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（ ）A0 B2 C4 D149 （5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（ ）A36 B64 C144 D25610 （5 分）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC， CD 与 DA 运动，记 BOP=x将动点 P 到 A，B 两点
4、距离之和表示为 x第 3 页（共 26 页）的函数 f（x ） ，则 y=f（x）的图象大致为（ ）A B C D11 （5 分）已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，顶角为 120，则 E 的离心率为（ ）A B2 C D12 （5 分）设函数 f（x）是奇函数 f（x） （x R）的导函数， f（1）=0，当x0 时，xf（x）f （x ）0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ）A （ ，1 ） （0，1 ） B （ 1，0）（1，+） C （ ，1）（1，0） D （0 ，1）（1，+）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，
5、满分 20 分）13 （5 分）设向量 ， 不平行，向量 + 与 +2 平行，则实数 = 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 15 （5 分） （a+x） （1+x） 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a= 16 （5 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，a n+1=Sn+1Sn，则 Sn= 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）第 4 页（共 26 页）17 （12 分）ABC 中， D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，ABD 面积是ADC面积的 2 倍（1）求 ；（2）若 AD=1，DC= ，求 BD 和
6、AC 的长18 （12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） ；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满
7、意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率19 （12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点 E，F分别在 A1B1，D 1C1 上，A 1E=D1F=4，过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） ；（2）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值第 5
8、页（共 26 页）20 （12 分）已知椭圆 C：9x 2+y2=m2（m0） ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M（1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（2）若 l 过点（ ，m） ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由21 （12 分）设函数 f（x）=e mx+x2mx（1）证明：f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增；（2）若对于任意 x1，x 21，1，都有|f（x 1） f（x 2）|e 1，求 m 的取值范围四
9、、选做题.选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与ABC 的底边 BC 交于M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点（1）证明：EFBC ；（2）若 AG 等于O 的半径，且 AE=MN=2 ，求四边形 EBCF 的面积选修 4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （ t 为参数，t0） ，其中0，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线第 6 页（共 26 页）C2：=2sin，C 3：=2 cos（1）求 C2 与 C3 交点的直角坐标；（2）若 C1
10、 与 C2 相交于点 A，C 1 与 C3 相交于点 B，求|AB |的最大值选修 4-5：不等式选讲24设 a，b， c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明：（1）若 ab cd，则 + + ；（2） + + 是|ab |c d|的充要条件第 7 页（共 26 页）2015 年辽宁省高考数学试卷（理科） （全国新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知集合 A=2， 1，0，1，2，B=x |（x 1） （x +2）0 ，则AB=（ ）A 1，0 B0，1 C 1，0，1 D0，1，2【解答】解：B=x|2x 1，A=2， 1
11、，0，1，2；AB=1，0故选：A2 （5 分）若 a 为实数，且（2+ai） （a2i）=4i ，则 a=（ ）A 1 B0 C1 D2【解答】解：因为（2+ai） （a2i ）= 4i，所以 4a+（a 24）i= 4i，4a=0，并且 a24=4，所以 a=0；故选：B3 （5 分）根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）第 8 页（共 26 页）A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006 年以来我国二氧
12、化硫年排放量与年份正相关【解答】解：A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故 A 正确；B20042006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故 D 错误故选：D4 （5 分）已知等比数列a n满足 a1=3，a 1+a3+a5=21，则 a3+a5+a7=（ ）A21 B42 C63 D84【解答】解：a 1=3，a 1+a3+a5=21，
13、，q 4+q2+1=7，q 4+q26=0，q 2=2，第 9 页（共 26 页）a 3+a5+a7= =3（2 +4+8）=42故选：B5 （5 分）设函数 f（x ） = ，则 f（2）+f （log 212）= （ ）A3 B6 C9 D12【解答】解：函数 f（x） = ，即有 f（ 2）=1+log 2（2+2 ）=1 +2=3，f（log 212）= =2 =12 =6，则有 f（ 2）+ f（log 212）=3 +6=9故选 C6 （5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A B C D【解答】解：设正方体的棱长
14、为 1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，正方体切掉部分的体积为 111= ，剩余部分体积为 1 = ，第 10 页（共 26 页）截去部分体积与剩余部分体积的比值为 故选：D7 （5 分）过三点 A（1，3） ，B （4，2） ，C（1，7）的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|=（ ）A2 B8 C4 D10【解答】解：设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则 ，D= 2，E=4 ，F=20，x 2+y22x+4y20=0，令 x=0，可得 y2+4y20=0，y= 22 ，|MN|=4 故选：C8 （5 分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损
15、术”，执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（ ）第 11 页（共 26 页）A0 B2 C4 D14【解答】解：由 a=14，b=18，ab，则 b 变为 1814=4，由 ab，则 a 变为 144=10，由 ab，则 a 变为 104=6，由 ab，则 a 变为 64=2，由 ab，则 b 变为 42=2，由 a=b=2，则输出的 a=2故选：B9 （5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（ ）A36 B64 C144 D256【解答】解：如图所示，当点
16、 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥OABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VOABC=VCAOB= =36，故 R=6，则球 O 的表面积为 4R2=144，故选 C第 12 页（共 26 页）10 （5 分）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC， CD 与 DA 运动，记 BOP=x将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x的函数 f（x ） ，则 y=f（x）的图象大致为（ ）A B C D【解答】解：当 0x 时，BP=tanx ，AP= = ，此时 f（ x）= +tanx，0x ，此时单调递增，当
17、P 在 CD 边上运动时， x 且 x 时，如图所示，tanPOB=tan（ POQ）=tanx= tan POQ= = ，OQ= ，PD=AOOQ=1+ ，PC=BO+OQ=1 ，PA+PB= ，当 x= 时， PA+PB=2 ，当 P 在 AD 边上运动时， x，PA+PB= tanx，第 13 页（共 26 页）由对称性可知函数 f（x）关于 x= 对称，且 f（ ）f （ ） ，且轨迹为非线型，排除 A，C，D ，故选：B11 （5 分）已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，顶角为 120，则 E 的离心率为（ ）A B2 C D【解答】解
18、：设 M 在双曲线 =1 的左支上，且 MA=AB=2a，MAB=120，则 M 的坐标为（2a ， a） ，代入双曲线方程可得， =1，可得 a=b，c= = a，即有 e= = 故选：D第 14 页（共 26 页）12 （5 分）设函数 f（x）是奇函数 f（x） （x R）的导函数， f（1）=0，当x0 时，xf（x）f （x ）0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ）A （ ，1 ） （0，1 ） B （ 1，0）（1，+） C （ ，1）（1，0） D （0 ，1）（1，+）【解答】解：设 g（x）= ，则 g（x）的导数为：g（x ）= ，当 x0 时总有 xf（x
19、） f（x）成立，即当 x0 时，g（x ）恒小于 0，当 x0 时，函数 g（x）= 为减函数，又g （ x）= = = =g（x） ，函数 g（x ）为定义域上的偶函数又g （ 1）= =0，函数 g（x ）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式 f（x ）0 xg（x）0 或 ，0x1 或 x1 故选：A第 15 页（共 26 页）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）设向量 ， 不平行，向量 + 与 +2 平行，则实数 = 【解答】解：向量 ， 不平行，向量 + 与 +2 平行， + =t（ +2 ）= ， ，解得实数 = 故答案为： 14 （5
20、分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z最大，由 得 D（1 ， ） ，所以 z=x+y 的最大值为 1+ ；故答案为： 15 （5 分） （a+x） （1+x） 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a= 3 【解答】解：设 f（x）=（a+x） （1+x ） 4=a0+a1x+a2x2+a5x5，第 16 页（共 26 页）令 x=1，则 a0+a1+a2+a5=f（1）=16（a+1） ，令 x=1，则 a0a1+a2a5=f（1）=0得，2（a 1+a3+a5）=16（a+1）
21、 ，所以 232=16（a+1） ，所以 a=3故答案为：316 （5 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，a n+1=Sn+1Sn，则 Sn= 【解答】解：a n+1=Sn+1Sn，S n+1Sn=Sn+1Sn， =1，又a 1=1，即 =1，数列 是以首项是1、公差为 1 的等差数列， =n，S n= ，故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）ABC 中， D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，ABD 面积是ADC面积的 2 倍（1）求 ；（2）若 AD=1，DC= ，求 BD 和 AC 的长【解答】解：（1）如图，过 A 作 AEBC
22、于 E， = =2第 17 页（共 26 页）BD=2DC，AD 平分 BACBAD=DAC在ABD 中， = ，sinB=在ADC 中， = ，sinC= ； = = 6 分（2）由（1）知，BD=2DC=2 = 过 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，AD 平分 BAC，DM=DN， = =2，AB=2AC，令 AC=x，则 AB=2x，BAD=DAC，cosBAD=cosDAC，由余弦定理可得： = ，x=1，AC=1，BD 的长为 ，AC 的长为 1第 18 页（共 26 页）18 （12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户
23、，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） ；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件 C
24、：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下第 19 页（共 26 页）通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意评分的平均值高于 B 地区用户满意评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散；（2）记 CA1 表示事件“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记 CA2 表示事件“A 地区用户满意度等级为非常满意”，记 CB1 表示事件“B 地区用户满意度等级为不满意”，记 CB2 表示事件“B
25、地区用户满意度等级为满意”，则 CA1 与 CB1 独立，C A2 与 CB2 独立，C B1 与 CB2 互斥，则 C=CA1CB1C A2CB2，P（C）=P（C A1CB1）+P （C A2CB2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P （C B2） ，由所给的数据 CA1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为 ， ， ， ，所以 P（C A1）= ，P（C A2）= ，P （C B1）= ，P（C B2）= ，所以 P（C）= + =0.4819 （12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA 1=8，点 E，F分别在 A1B1，D
26、 1C1 上，A 1E=D1F=4，过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） ；（2）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值第 20 页（共 26 页）【解答】解：（1）交线围成的正方形 EFGH 如图：（2）作 EM AB，垂足为 M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA 1=8； ，AH=10；以边 DA，DC，DD 1 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10， 0，0 ） ，H（10，10，0） ，E（10，4，8） ，F（0，4，8） ； ；设 为平面 EFGH 的法向量，则：，取 z=3
27、，则 ；若设直线 AF 和平面 EFGH 所成的角为 ，则：sin= = ；直线 AF 与平面 所成角的正弦值为 20 （12 分）已知椭圆 C：9x 2+y2=m2（m0） ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M（1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（2）若 l 过点（ ，m） ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由【解答】解：（1）设直线 l：y=kx+b， （k0，b 0） ，A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，M（
28、x M，y M） ，将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2（m0） ，得（k 2+9）x 2+2kbx+b2m2=0，第 21 页（共 26 页）则判别式=4k 2b24（k 2+9） （b 2m2）0，则 x1+x2= ，则 xM= = ，y M=kxM+b= ，于是直线 OM 的斜率 kOM= = ，即 kOMk=9，直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值（2）四边形 OAPB 能为平行四边形直线 l 过点（ ，m） ，由判别式=4k 2b24（k 2+9） （b 2m2）0，即 k2m29b 29m2，b=m m，k 2m29（m m） 29m2，即 k2 k26k，即 6k
29、0，则 k0 ，l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0，k 3，由（1）知 OM 的方程为 y= x，设 P 的横坐标为 xP，由 得 ，即 xP= ，将点（ ，m）的坐标代入 l 的方程得 b= ，即 l 的方程为 y=kx+ ，将 y= x，代入 y=kx+ ，第 22 页（共 26 页）得 kx+ = x解得 xM= ，四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP=2xM，于是 =2 ，解得 k1=4 或 k2=4+ ，k i0，k i3，i=1，2，当 l 的斜率为 4 或 4+ 时，四边形 OAPB 能为平行四边形21 （12 分）设
30、函数 f（x）=e mx+x2mx（1）证明：f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增；（2）若对于任意 x1，x 21，1，都有|f（x 1） f（x 2）|e 1，求 m 的取值范围【解答】解：（1）证明：f（x ）=m（e mx1）+2x 若 m0，则当 x（，0）时，e mx10，f（x ）0；当 x（0，+）时，emx1 0，f（x）0若 m0，则当 x（，0）时，e mx10，f（x ）0；当 x（0，+）时，emx1 0，f（x）0所以，f（x ）在（，0）时单调递减，在（0，+）单调递增（2）由（1）知，对任意的 m，f（x ）在 1，0单调递减，在0，1单调递增，故
31、f（x）在 x=0 处取得最小值所以对于任意 x1，x 21，1，|f（x 1） f（x 2）| e1 的充要条件是第 23 页（共 26 页）即设函数 g（t）=e tte+1，则 g（t）=e t1当 t0 时， g（t）0；当 t0 时，g（t）0故 g（t ）在（ ，0）单调递减，在（0，+）单调递增又 g（ 1）=0，g （1）=e 1+2e0，故当 t1，1时，g（t）0当 m1，1时，g（m）0，g（m）0，即合式成立；当 m1 时，由 g（t）的单调性，g（m ）0 ，即 emme 1当 m1 时，g（m）0，即 em+me 1综上，m 的取值范围是 1，1 四、选做题.选修
32、4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与ABC 的底边 BC 交于M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点（1）证明：EFBC ；（2）若 AG 等于O 的半径，且 AE=MN=2 ，求四边形 EBCF 的面积【解答】 （1）证明：ABC 为等腰三角形，AD BC，AD 是CAB 的角平分线，又圆 O 分别与 AB、AC 相切于点 E、F ，AE=AF，ADEF，EF BC；第 24 页（共 26 页）（2）解：由（1）知 AE=AF，ADEF，AD 是 EF 的垂直平分线，又EF 为圆 O 的弦，O
33、在 AD 上，连结 OE、OM，则 OEAE，由 AG 等于圆 O 的半径可得 AO=2OE，OAE=30，ABC 与AEF 都是等边三角形，AE=2 ，AO=4，OE=2，OM=OE=2，DM= MN= ，OD=1 ，AD=5 ，AB= ，四边形 EBCF 的面积为 = 选修 4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （ t 为参数，t0） ，其中0，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sin，C 3：=2 cos（1）求 C2 与 C3 交点的直角坐标；（2）若 C1 与 C2 相交于点 A，C 1 与 C3 相交于点 B，求|AB |
34、的最大值【解答】解：（I）由曲线 C2：=2sin，化为 2=2sin，x 2+y2=2y同理由 C3：=2 cos可得直角坐标方程： ，联立 ，第 25 页（共 26 页）解得 ， ，C 2 与 C3 交点的直角坐标为（0，0） ， （2）曲线 C1： （t 为参数，t0） ，化为普通方程： y=xtan，其中0， ；= 时，为 x=0（y0） 其极坐标方程为：=（R，0 ） ，A，B 都在 C1 上，A（2sin，） ，B |AB|= =4 ，当 时，|AB|取得最大值 4选修 4-5：不等式选讲24设 a，b， c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明：（1）若 ab cd，则 + +
35、 ；（2） + + 是|ab |c d|的充要条件【解答】证明：（1）由于（ + ） 2=a+b+2 ，（ + ） 2=c+d+2 ，由 a，b，c ，d 均为正数，且 a+b=c+d，ab cd，则 ，即有（ + ） 2（ + ） 2，则 + + ；（2）若 + + ，则（ + ） 2（ + ） 2，即为 a+b+2 c+d+2 ，由 a+b=c+d，则 abcd，于是（ab） 2=（a+b） 24ab，（cd） 2=（c+d） 24cd，第 26 页（共 26 页）即有（ab） 2（cd） 2，即为 |ab|cd |；若|ab|cd|，则（a b） 2（cd） 2，即有（a+b） 24ab（c +d） 24cd，由 a+b=c+d，则 abcd，则有（ + ） 2（ + ） 2综上可得， + + 是|ab |cd|的充要条件
