1、Chapter 7,Properties of Stock Option Prices,Notation,c : European call option pricep : European put option price C : American Call option priceP : American Put option priceS0 :Stock price today ST :Stock price at time TX : Strike priceT : Life of option s: Volatility of stock priceD : Present value
2、of dividends during options lifer : Risk-free rate for maturity T with cont comp,期权价格的特性,期权价格(或者说价值)等于期权的内在价值加上时间价值。,期权的内在价值,期权的内在价值（Intrinsic Value）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。 无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S0-Xe-rT. 有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S0-D- Xe-rT。 当标的资产市价低于协议价格时，期权多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值应大于等于0。,期权的时间价值,期权的时间价值（Time Value
3、）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。 此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例，当S=X e-rT时，期权的时间价值最大。当S-X e-rT的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如下图所示。,Xe-rT,S0,时间价值,Question,假设A股票（无红利）的市价为9.05元，A股票有两种看涨期权，其协议价格分别为X1=10元，X2=8元，它们的有效期都是1年，1年期无风险利率为10%（连续复利）。这两种期权的内在价值分别为0和1.81元。那么这两种期权的时间价值谁高呢
4、？ 假设这两种期权的时间价值相等，都等于2元，则第一种期权的价格为2元，第二种期权的价格为3.81元。那么让读者从中挑一种期权，你们愿意挑哪一种呢？,分析,为了比较这两种期权，我们假定1年后出现如下三种情况： 情况一：ST=14元。则期权持有者可从期权1中获利（14-10-2e0.1）=1.79元，可从期权2中获利（14-8-3.81e0.1）=1.79元。期权1获利金额等于期权2。 情况二：ST=10元。则期权1亏2e0.1=2.21元，期权2也亏3.81e0.1-2=2.21元。期权1亏损等于期权2。 情况三：ST=8元。则期权1亏2e0.1=2.21元，而期权2亏3.81 e0.1=4.
5、21元。期权1亏损少于期权2。 由此可见，无论未来A股票价格是涨是跌还是平，期权1均优于或等于期权2。显然，期权1的时间价值应高于期权2。,另一种情形,我们再来比较如下两种期权。X1=10元，X3=12元。其它条件与上例相同。显然，期权1的内在价值为0，期权3的内在价值虽然也等于0，但S-X e-rT却等于-1.81元。通过同样的分析，我们也可以得出期权1 的时间价值应高于期权3的结论。综合这三种期权，我们就可以得出无收益资产看涨期权的时间价值在S=X e-rT点最大的结论。,Effect of Variables on Option Pricing (Table 7.1, page 141)
6、,c,p,C,P,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,边际时间价值,在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值（Marginal Time Value）为正值。 但随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的,这边际时间价值递减规律。换个角度说，对于到期日确定的期权来说，在其它条件不变时，随着时间的流逝，其时间价值的减小是递增的。这意味着，当时间流逝同样长度，期限长的期权的时间价值减小幅度将小于期限短的期权时间价值的减小幅度。,无风险
7、利率与期权价格(一),首先我们可以从比较静态的角度考察，即比较不同利率水平下的两种均衡状态。如果状态1的无风险利率较高，则标的资产的预期收益率也应较高，这意味着对应于标的资产现在特定的市价（So），未来预期价格E(ST)较高。同时由于贴现率较高，未来同样预期盈利的现值就较低。这两种效应都将减少看跌期权的价值。但对于看涨期权来说，前者将使期权价格上升，而后者将使 期权价格下降。由于前者的效应大于后者，因此对应于较高的无风险利率，看涨期权的价格也较高。,无风险利率与期权价格(二),其次我们可从动态的角度考察，即考察一个均衡被打破到另一个均衡的过程。在标的资产价格与利率呈负相关时（如股票、债券等），
8、当无风险利率提高时，原有均衡被打破，为了使标的资产预期收益率提高，均衡过程通常是通过同时降低标的资产的期初价格和预期未来价格，只是前者的降幅更大来实现的。同时贴现率也随之上升。对于看涨期权来说，两种效应都将使期权价格下降，而对于看跌期权来说，前者效应为正，后者为负，由于前者效应通常大于后者，因此其净效应是看跌期权价格上升。 大家应注意到，从两个角度得到的结论刚好相反。因此我们在具体运用时要注意区别分析的角度。,American vs European Options,An American option is worth at least as much as the correspondin
9、g European option C c P p,看涨期权价格的上限,看跌期权价格的上限,pXe-rT,无收益资产欧式看涨期权价格的下限,为了推导出期权价格下限，我们考虑如下两个组合： 组合A：一份欧式看涨期权加上金额为Xe-rT的现金 组合B：一单位标的资产,在组合A中，如果现金按无风险利率投资则在T时刻将变为X，即等于协议价格。此时多头要不要执行看涨期权，取决于T时刻标的资产价格（ST）是否大于X。若STX，则执行看涨期权，组合A的价值为ST；若STX，则不执行看涨期权，组合A 的价值为X。因此，在T时刻，组合A 的价值为：max(ST, X) 而在T时刻，组合B的价值为ST。由于max
10、(ST, X) ST ，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即: c+Xe-rTScS-Xe-rT 内在价值 由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：cmaxS-Xe-rT,0,有收益资产欧式看涨期权价格的下限,cmaxS-D-Xe-rT,0,无收益资产欧式看跌期权价格的下限,组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产 组合D：金额为的现金 在T时刻，如果STX，期权将不被执行，组合C价值为ST，即在组合C的价值为：max（ST，X） 假定组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也
11、应大于等于组合D，即：p+S Xe-rT pmaxXe-rT S,0,有收益资产欧式看跌期权价格的下限,pmaxD+Xe-rT S,0,Early Exercise,Usually there is some chance that an American option will be exercised early An exception is an American call on a non-dividend paying stock This should never be exercised early,An Extreme Situation,For an American ca
12、ll option: S0 = 100; T = 0.25; X = 60; D = 0 Should you exercise immediately? What should you do if You want to hold the stock for the next 3 months? You do not feel that the stock is worth holding for the next 3 months?,Reasons For Not Exercising a Call Early (No Dividends ),No income is sacrificed
13、We delay paying the strike priceHolding the call provides insurance against stock price falling below strike price,Should Puts Be Exercised Early ?,Are there any advantages to exercising an American put when S0 = 60; T = 0.25; r=10%X = 100; D = 0,提前执行无收益资产美式看跌期权的合理性,组合A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产 组合B：金额为Xe-r
14、T的现金若不提前执行，则到T时刻，组合A的价值为max（X，ST），组合B的价值为X，因此组合A的价值大于等于组合B。若在时刻提前执行，则组合A的价值为X，组合B的价值为Xe- (T-)，因此组合A的价值也高于组合B。比较这两种结果我们可以得出结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。,提前执行有收益资产美式看涨期权的合理性 (1),由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在一定条件下
15、，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。 我们假设在期权到期前，标的资产有n个除权日，t1，t2，tn为除权前的瞬时时刻，在这些时刻之后的收益分别为D1，D2，Dn，在这些时刻的标的资产价格分别为S1，S2，Sn。 由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。,提前执行有收益资产美式看涨期权的合理性 (2),我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行期权，则期权多方获得Sn-X的收益。若不提前执行，则
16、标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。在tn时刻期权的价值（Cn）因此，如果： 即: 则在tn提前执行是不明智的。 相反，如果 则在tn提前执行有可能是合理的。实际上，只有当tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。,提前执行有收益资产美式看涨期权的合理性 (3),同样，对于任意in,在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：,Arbitrage Opportunities,Suppose that c = 3 S0 = 31 T = 0.25 r = 10% X =30
17、 D = 0 What are the arbitrage possibilities when p = 2.25 ? p = 1 ?,Put-Call Parity; No Dividends,Consider the following 2 portfolios: Portfolio A: European call on a stock + PV of the strike price in cash Portfolio B: European put on the stock + the stock Both are worth MAX(ST , X ) at the maturity of the options They must therefore be worth the same today This means that c + Xe -rT = p + S0,American Put-Call Parity,1. Pp=c+Xe-rT-S0=C +Xe-rT-S0C-PP+S0 由于c=C, 所以C-PS0-X (2) S0-XC-P S0- Xe-rT,看涨期权价格曲线,欧式看跌期权价格曲线,美式看跌期权价格曲线,
