1、12013 高考数学一轮复习单元练习-圆锥曲线与方程I 卷一、选择题1下列命题中假命题是（ ）A离心率为 的双曲线的两渐近线互相垂直2B过点（1，1）且与直线 x2y+ 3=0 垂直的直线方程是 2x + y3=0C抛物线 y2 = 2x 的焦点到准线的距离为 1D 23x+ 5y=1 的两条准线之间的距离为 425【答案】D2 已知直线1:2lyxm与曲线21:|Cyx仅有三个交点，则实数 m 的取值范围是 ( ）A (,)B (,)C (,)D (,3)【答案】C3直线 xy 0 截圆 x2y24 所得劣弧所对圆心角为( )2A B 6 3C D 2 23【答案】D4与两圆 x2y21 及
2、 x2y28x120 都外切的圆的圆心在( )A一个椭圆上 B双曲线的一支上C一条抛物线上 D一个圆上图 171【答案】B5已知双曲线 1(a0，b0) 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的x2a2 y2b2右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A(1,2) B(1,2)2C(2，) D2，)【答案】D6过点 P(3,0)的直线 l 与双曲线 1 交于点 A，B，设直线 l 的斜率为 k1(k10)，弦 ABx216 y29的中点为 M，OM 的斜率为 k2(O 为坐标原点)，则 k1k2( )A B C D16916 34 169【答案】A7设双曲线
3、 1(a0)的渐近线方程为 3x2y0，则 a 的值为( )x2a2 y29A4 B3C2 D1【答案】C8与圆 x2y22y10 关于直线 x2y30 对称的圆的方程是( )A(x2)2 (y3)2 12B(x2)2(y3)2 2C(x2)2(y3)2 12D(x2)2 (y3)22【答案】B9若直线 mxny4 与圆 O：x2y24 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆 1 的交x29 y24点个数为( )A至多一个 B2C1 D0【答案】B10已知双曲线 1(a0，b0)的左顶点与抛物线 y22px(p0) 的焦点的距离为 4，且双曲线x2a2 y2b2的一条渐近线与抛物线的准线的
4、交点坐标为(2，1) ，则双曲线的焦距为 ( )A2 B23 5C4 D43 5【答案】B11已知直线 )0(kxy与抛物线 C: xy82相交 A、B 两点，F 为 C 的焦点。若FA2,则 k=A 31B) 32C D 32【答案】D312已知直线 )0(2kxy与抛物线 C: xy82相交 A、B 两点，F 为 C 的焦点.若FBA2，则 k=（ ）A 31B C 3D【答案】D4II 卷二、填空题13双曲线 1 的渐近线方程为 y2x，则 n_.x2n y23 n【答案】3514两个正数 a、b 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 ab，则双曲线 1 的离心率 e 等52 6 x2a
5、2 y2b2于_【答案】 13315如图，过抛物线 y x2 的焦点的直线交抛物线与圆 x2(y1)2 1 于 A、B、C 、D 四点，则14ABCD_.【答案】116 椭圆)0(12bayx的离心率为 2，若直线 kxy与其一个交点的横坐标为 b，则k的值为 【答案】 25三、解答题17已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F2 在坐标轴上，离心率为 ，且过点(4， )2 10(1)求双曲线方程；(2)若点 M(3， m)在双曲线上，求证： MF1MF2；(3)求F1MF2 的面积【答案】(1)由 e c22a2a2b2.2ca 2设双曲线方程为 x2y2，将点(4， )代入得：6，10故所求
6、双曲线方程为 x2y26.(2)c212，焦点坐标为(2 ，0)3将 M(3，m)代入 x2y26 得： m23.当 m 时，(2 3， )，3 3 3(2 3， )3 3(3)2 (2 )2( )20，3 3MF1 MF2，当 m 时，同理可证 MF1MF2.3(3)SF1MF2 |2c|m| 4 6.12 12 3 318如图 163，已知点 D(0，2) ，过点 D 作抛物线 C1：x22py(p0)的切线 l，切点 A 在第二象限，如图 163.(1)求切点 A 的纵坐标；(2)若离心率为 的椭圆 1(ab0)恰好经过切点 A，设切线 l 交椭圆的另一点为 B，记切线32 x2a2 y
7、2b2l，OA，OB 的斜率分别为 k，k1，k2，若 k12k24k，求椭圆方程图 163【答案】(1)设切点 A(x0，y0)，且 y0 ，由切线 l 的斜率为 k ，得 l 的方程为 y x ，x202p x0p x0p x202p又点 D(0，2)在 l 上， 2，即切点 A 的纵坐标为 2.x202p(2)由(1)得 A(2 ，2)，切线斜率 k ，p2p设 B(x1，y1)，切线方程为 ykx2，由 e ，得 a24b2，32所以设椭圆方程为 1，且过 A(2 ，2)，x24b2 y2b2 p6b2p4.由Error! (14k2)x216kx164b20，k12k2 y0x0 2
8、y1x1 x1y0 2x0y1x0x1将 k ，b2p4 代入得 p32，所以 b236，a2 144，2p所以椭圆方程为 1.x2144 y23619已知椭圆 :C2(0)ab的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为53.(）求椭圆 的方程；(）已知动直线 (1)ykx与椭圆 C相交于 A、 B两点.若线段 AB中点的横坐标为 2，求斜率 k的值；已知点7(,0)3M，求证： AMB为定值.【答案】 （）因为21(0)xyab满足 22abc， 63a，715223bc。解得25,3ab，则椭圆方程为2153xy(） （1）将 (1)ykx代入21y中得223)635
9、0422(1)480kk2123x因为 AB中点的横坐标为12，所以2613k，解得3k(2）由（1）知 122kx，215xk所以 12121277(,)(,)()33MAByxy 12127()3xkx2249()kk222576(1)()331k422649k20在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 yx26x1 与坐标轴的交点都在圆 C 上(1)求圆 C 的方程；(2)若圆 C 与直线 xya 0 交于 A，B 两点，且 OAOB ，求 a 的值【答案】(1)曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为(32 ，0) ，(32 ，0)2 2故可设 C 的圆心为(3
10、，t)，则有 32(t1)2(2 )2t2，解得 t1.2则圆 C 的半径为 3.32 (t 1)2所以圆 C 的方程为(x3)2 (y1)29.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：8消去 y，得到方程 2x2(2a8)x a2 2a10.由已知可得，判别式5616a4a20.由韦达定理得x1x24a，x1x2 a2 2a 12由于 OAOB，可得 x1x2y1y20.又 y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x2 x2)a2 0. 由，得 a1，满足 0，故 a1.21已知向量 m=（0，x） ， 1n=（1，1） ， 2m=（x，0） ， 2n=（y2，1）
11、 （其中 x，y 是实数） ，又设向量 = 1+ 2， = 2 ，且 ，点 P（x，y）的轨迹为曲线 C.(）求曲线 C 的方程；(）设直线 :kxyl与曲线 C 交于 M、N 两点，当 |MN|= 324时，求直线 l 的方程.【答案】 （I）由已知， m22(0,),)(,),yyxn(,0)2,.xx/,()2)(0yx即所求曲线的方程是：.12yx(）由.04)2(:.1,2kxkxy得消 去解得 x1=0, x2= 21,(4x分别为 M，N 的横坐标）.由,234|1| 22212 kkMN.:解 得所以直线 l 的方程 xy+1=0 或 x+y1=0.922已知椭圆 C： 1(a
12、b0)的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，x2a2 y2b2 33当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 22(1)求 a，b 的值；(2)C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 OP A成立？若存在，求出所有的 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由【答案】(1)设 F(c,0)，当 l 的斜率为 1 时，其方程为 xyc0，O 到 l 的距离为 ，|0 0 c|2 c2故 ，c1.c2 22由 e ，得 a ，b ca 33 3 a2 c2 2(2)C 上存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 O
13、A B成立由(1)知 C 的方程为 2x23y26.设 A(x1，y1) ， B(x2，y2)当 l 不垂直于 x 轴时，设 l 的方程为 yk(x1) C 上的点 P 使 O成立的充要条件是 P 点的坐标为(x1 x2，y1y2)，且 2(x1x2)23(y1y2)26，整理得 2x 3y 2x 3y 4x1x26y1y26.21 21 2 2又 A、B 在 C 上，即 2x 3y 6,2x 3y 6.21 21 2 2故 2x1x23y1y230. (8 分)将 yk(x1) 代入 2x23y26，并化简得(23k2)x26k2x3k260，于是 x1x2 ，x1x2 ，6k22 3k2 3k2 62 3k2y1 y2k2(x11)(x2 1) 4k22 3k2代入解得，k22.此时 x1x2 32于是 y1y2k(x1x22) ，即 P( ， )k2 32 k2因此，当 k 时，P( ， )，232 22l 的方程为 xy 0；当 k 时 ，P( ， )，2 2 232 22l 的方程为 xy 0.2 210当 l 垂直于 x 轴时，由 OA B(2,0)知，C 上不存在点 P 使 O A B成立综上，C 上存在点 P( ， )使 P 成立，此时 l 的方程为 xy 0.32 22 2 2
