1、长 沙 学 院本科毕业设计（论文）开题报告（2009 届）系 部： 信息与计算科学系 专 业： 数学与应用数学 学 生 姓 名： 陈 涛 班 级： 一 班 学号 2005031110 指导教师姓名： 兰 艳 职称 副教授 2009 年 3 月 10 日题目：浅谈分块矩阵的应用1.结合课题任务情况，根据所查阅的文献资料，撰写 1000 字以上的文献综述.英 文 名 Matrix（ 矩 阵 ） 在 数 学 名 词 中 ， 矩 阵 用 来 表 示 统 计 数 据 等 方 面 的各 种 有 关 联 的 数 据 。 这 个 定 义 很 好 地 解 释 了 Matrix 代 码 制 造 世 界 的 数 学
2、 逻辑 基 础 。 数 学 上 ， 矩 阵 就 是 方 程 组 的 系 数 及 常 数 所 构 成 的 方 阵 .把 它 用 在 解线 性 方 程 组 上 既 方 便 ， 又 直 观 。 例 如 对 于 方 程 组 : 11axbyczd2233来 说 ， 我 们 可 以 构 成 一 个 矩 阵 ： 332211dcba因 为 这 些 数 字 是 有 规 则 地 排 列 在 一 起 ， 形 状 像 矩 形 ， 所 以 数 学 家 们 称 之为 矩 阵 ， 通 过 矩 阵 的 变 化 ， 就 可 以 得 出 方 程 组 的 解 来 . 矩 阵 这 一 具 体 概 念 是 由 19 世 纪 英 国
3、 数 学 家 凯 利 首 先 提 出 并 形 成 矩 阵 代数 这 一 系 统 理 论 的 . 数 学 上 ， 一 个 m*n 矩 阵 乃 一 m 行 n 列 的 矩 形 阵 列 。 矩 阵 由 数 组 成 ， 或更 一 般 的 ， 由 某 环 中 元 素 组 成 .矩 阵 常 见 于 线 性 代 数 、 线 性 规 划 、 统 计 分 析 ， 以 及 组 合 数 学 等 .通过上面对矩阵历史的了解我们发现矩阵是很容易理解和掌握的，然而，矩阵在实际应用中还是会遇到很多问题，在实际生活中，我们的很多问题可以用矩阵抽象出来，但这些矩阵一般都是高阶矩阵，行数和列数都是一个相当大的数字. 因此我们在计
4、算和证明这些矩阵时会遇到很烦琐的任务.这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决！这时便产生了矩阵的分块思想，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构。本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨了分块矩阵在各方面的应用. 当前对分块矩阵的应用主要发展到计算和证明两大方面.证明方面.通过对矩阵的分块证明了有关矩阵秩的定理以及其他线性代数证明问题.计算方面，本文通过对分块矩阵的性质的研究很好的解决了求矩阵的逆矩阵问题，求行列式，求矩阵的秩等问题的新的快捷方式. 现将文献中的一些观点阐述如下：(1) 从行列式的性质出发 , 推导出分块矩阵的若干性质 , 并举例
5、说明这些性质在行列式计算和证明中的应用 .(2) 分块矩阵在线性代数中是一个基本工具， 研究许多问题都要用到它.借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、 求逆矩阵及矩阵的秩方面的应用.如定理：设 M 是一个四分块阶矩阵，其中ABCDA、B、C、D 分别是 、 、 、 阶矩阵 1 若r()nr()r()nrA 可逆，则|M|AD| 2 若 D 可逆, 则|M| |D| 1|AB|BDC(3)通过论述证明矩阵的分块在高等代数中的应用 ,包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题 ,用分块矩阵求逆矩阵问题 ,用分块矩阵求矩阵的行列式问题 ,用分块矩阵求矩阵的秩的问题 ,利用分块矩阵证明一个
6、矩阵是零矩阵问题.如 1 用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理 定理 1. 秩 (AB) 秩 A ,且秩 (AB) 秩 B ,即秩 (AB) min秩 A ,秩 B(4)利用分块矩阵求高阶行列式。如定理 1: 设 A、 C、 都是 n 阶矩阵, 其中|A|0, 并且 AC= CA ,则 = |AD CB| .BCD(5)给出利用分块矩阵计算行列式的|H|= 方法，即 1 当矩阵 A 或BB 可逆是；2 当矩阵 A=B,C=D 是；3 当 A 与 C 或者 B 与 C 可交换时；4 当矩阵 H被分成两个特殊矩阵的和是行列式的计算.(6)分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非
7、常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性。(7)用矩阵的分块方法来处理矩阵秩的问题 ,可以使问题简化 .参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）M.高等教育出版社.2007 年.2 林瑾瑜.分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用J.广东广播电视大学学报,2006,15(2):109-112.3 严坤妹.分块矩阵的应用J.福建广播电视大学学报,2006,(5):71-73.4 俞正光.王飞燕,叶俊,赵衡秀编.大学数学概念、方法与技巧.线性代数与概率统计部分M. 清华大学出版社，施普林格出版社，2002 年.5 孔庆兰.分块矩阵的应用J.枣庄学院学报,20
8、06,23(5):24-26.6 胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用J.河北工程技术高等专科学校学报,2004,(4):50-53.7 王莲花,李念伟,梁志新.分块矩阵在行列式计算中的应用J. 河南教育学院学报（自然科学卷） ，2005，14(3):12-15.8 李晓红,卜啸天.分块矩阵的初等变换及其应用J.高等函授学报（自然科学版） 2007，(4):7-9.9 巫永萍. 分块矩阵的初等变换在分块矩阵中的应用J .龙岩师专学报，2004，22（6）：5-6.10 Hamilton J.D，“Time Series Analysis1”Princeton University Press
9、 J .1999，pp1.26 291.2. 选题依据、主要研究内容、研究思路及方案.伴随对矩阵应用研究的发展，矩阵已经广泛应用到线 性 规 划 、 线 性 代 数 、统 计 分 析 ， 以 及 组 合 数 学 等 .在 这样的形式下，必须要求对矩阵有一种科学的处理方式以提高应用效果.矩阵的分块就是在这样的背景下出现的.本文主要对分块矩阵在计算，证明发面做了重要的研究探索.将一些特殊或高阶矩阵分块后，我们能迅速快捷的解决求矩阵的逆矩阵问题，求行列式，求矩阵的秩等问题.当然通过对分块矩阵性质的研究我们也能很方便的证明有关矩阵的秩的定理等等.本文通过对分块矩阵的各个问题方面的应用的探索，通过各类问
10、题的收集。把所有分块矩阵的应用问题以证明和计算为标准分成了两大类.也就是分块矩阵在计算和证明上的应用.3.工作进度及具体安排.08.12.1209.2.15 提交任务书09.2.163.16 提交开题报告09.3.164.31 提交论文初稿09.5.15.15 对论文初稿进行修改09.5.166.1 提交论文09.6.2-6.15 论文评阅与答辩4.指导教师意见（对课题方案的可行性、深度、广度及工作量的意见）.指导教师： 年 月 日5.教研室意见.教研室主任： 年 月 日说明：开题报告作为毕业设计（论文）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一，此报告应在指导师指导下，由学生填写，将作为毕业设计（论文）成绩考查的重要依据，经指导师审查后签署意见生效.
