1、第2课时,2.特殊平行四边形,1.能证明菱形与正方形的性质定理和判定定理. 2.能用菱形、正方形的性质进行简单的证明与计算.,平行四边形,邻边相等,菱形,在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？,如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？,菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质,对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分,菱形的性质定理1：,菱形的四条边都相等,有一组邻边相等的平行四边形叫菱形,【定义】,定理:菱形的四条边都相等.,已知:如图,四边形ABCD是菱形.,分析:由菱形的
2、定义,利用平行四边形性质可使问题得证.,证明:, 四边形ABCD是菱形,AB=AD,四边形ABCD是平行四边形.,AB=CD,AD=BC.,求证:AB=BC=CD=DA., AB=BC=CD=AD.,画出等腰ABC关于底边AC对称的图形,O,D,请观察和猜想所得四边形有何特征？,菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.,请证明这个命题!,菱形是轴对称图形,已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如图，,证明：四边形ABCD是菱形.,在等腰ABD中，BO=DO.,AB=AD（菱形的四条边都相等）.,ACBD，AC平分BAD.,同理：AC平分BCD；BD平分ABC和ADC,求证
3、：ACBD； AC平分BAD和BCD ；BD平分ABC和ADC,菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角,菱形的四条边都相等；,菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角,特殊性！,菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形,对称性！,【例1】已知:如图,四边形ABCD是边长为13 cm 的菱形,其中对角线BD长10cm.,求:(1)对角线AC的长度. (2)菱形ABCD的面积,【例题】,【解析】(1),四边形ABCD是菱形,=2ABD的面积,AED=90,(2)菱形ABCD的面积=ABD的面积+CBD的面积,AC=2AE=212=24(cm).,若用a,b表示菱形的两条
4、对角线，那么菱形的面积为：,菱形的面积公式,菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.,1.（怀化中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4，BAD=120，则菱形ABCD的周长为（ ）. (A)20 (B)18 (C)16 (D)15,2.已知菱形的周长是12 cm，那么它的边 长是_. 3.如图，菱形ABCD中ABC60，则 BAC _.,3cm,60,C,【跟踪训练】,如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？根据什么？,有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形.,根据定义得：,，,定理:四条边都相等的四边形是菱形.,已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=
5、CD=DA,分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.,证明:,AB=BC=CD=DA.,AB=CD,BC=DA.,四边形ABCD是平行四边形.,求证:四边形ABCD是菱形.,AB=AD.,四边形ABCD是菱形.,C,B,D,A,定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,已知:如图,在ABCD中,对角线ACBD.,求证:四边形ABCD是菱形.,分析:要证明ABCD是菱形,只要证明有一组邻边相等即可.,证明:,AO=CO.,ACBD., DA=DC.,四边形ABCD是平行四边形.,四边形ABCD是菱形.,菱形常用的判定方法：,1.ABCD的对角线AC与BD相交于点O
6、， （1）若AB=AD，则ABCD是 形. （2）若AC=BD，则ABCD是 形. （3）若ABC是直角，则ABCD是 形. （4）若BAO=DAO，则ABCD是 形,菱,矩,矩,菱,【跟踪训练】,由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形如图(1),有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.,正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形,【定义】,定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.,求证:(1)AC=BD,ACBD,AO=CO,BO=DO. (2)AC平分BAD和BCD, BD平分ADC和ABC.
7、,已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.,分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.,证明:,四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.,AO=CO,BO=DO;,AC=BD;,四边形ABCD是正方形,ACBD;,AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.,求证:(1)A=B=C=D=90.(2)AB=BC=CD=DA.,分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.,已知:四边形ABCD是正方形.,证明:,四边形ABCD是矩形,也是菱形.,A=B=C=D=90,AB=BC=CD=DA.,四边
8、形ABCD是正方形,1.菱形常用的判定方法：,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,有四条边相等的四边形是菱形.,对角线相等的菱形是正方形.,有一个角是直角的菱形是正方形.,对角线互相垂直的矩形是正方形.,2.正方形的判定方法：,2.（柳州中考）在正方形ABCD的外侧作等边ADE， 则AEB的度数为（ ）,1.（河北中考）在ABCD中，AC平分DAB，AB=3， 则 ABCD的周长为（ ）,(A)6 (B)9 (C)12 (D)15,【解析】选C.可证明ABCD是菱形,(A)10 (B)12.5 (C)15 (D)20,C,3.（盐城中考）如图所示，在菱形A
9、BCD中，两条对角线AC6，BD8，则此菱形的边长为（ ） (A)5 (B)6 (C)8 (D)10,【解析】选A.根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理得菱形的边长为5,4（西安中考）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两 条对角线长的平方和为（ ） (A)16 (B)8 (C)4 (D)1,A,5.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接DE，CE，则DEC=_.,【解析】ABE为等边三角形,BAE=60， DAE=150，ADE为等腰三角形，AED= 15，同理BEC=15，所以DEC=30. 答案：30,6.（徐州中考）如图，在ABC中，D是BC边的中点，E,
10、F分别在AD及其延长线上，CEBF，连接BE,CF (1)求证：BDFCDE (2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形,【证明】（1）D是BC的中点，BD=CD. CEBF，DBF=DCE. 又BDF=CDE，BDFCDE. （2）CDEBDF，DE=DF. BD=CD，四边形BFCE是平行四边形. 在ABC中，AB=AC，BD=CD， ADBC，即EFBC. 四边形BFCE是菱形.,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.,1.定义：,2.菱形的性质：,边,对角线,角,菱形的性质,菱形的两条对角线互相平分；,菱形的两组对边平行且相等；,菱形的四条边相等；,菱形的两组对角分别相等；,菱形的邻角互补；,菱形的两条对角线互相垂直平分， 每一条对角线平分一组对角,5.正方形常用的判定方法：,(1)对角线相等的菱形是正方形.,(2)有一个角是直角的菱形是正方形.,(3)对角线互相垂直的矩形是正方形.,4.正方形的性质：,(4)有一组邻边相等的矩形是正方形.,菱形的性质+矩形的性质,希望便是快乐，创造便是快乐 冰心,
