1、第三章 圆,圆的轴对称性(2) zxxk,定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两 条弧.,复习,垂径定理的几个基本图形,归纳：,1作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；,2 半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：,当两条弦在圆心的同侧时,解: 当两条弦在圆心的两侧时,已知圆O的半径为5cm,ABCD,AB=6cm,CD=8cm, 则AB与CD距离是_cm,过O作OEAB于E点,连接OB, 由垂径定理得:AE=BE=0.5AB=3,延长EO交CD于F,连接OC,3,3,5,OB=5,由勾股定理得:OE=4,又ABCD,OFCD,由垂径定
2、理得: CF=DF=0.5CD=4,OC=5,由勾股定理得:OF=3,则EF=OE+OF=7,4,4,4,5,3,3,4,5,5,F,EF=OE-OF=1,垂径定理的逆命题是什么？ zxxk,想一想,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两 条弧.,条件,结论1,结论2,逆命题1：平分弦的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的弧。,逆命题2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。,CDAB,AB是O的一条弦,且AM=BM.,逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。成立吗？,过点M作直径CD.,CD是直径,AM=BM,平分弦（ ）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,探索规律,不是直径,CDAB,AB是O的一
3、条弦,点C为弧AB的中点.,逆命题2：平分弧的直径垂直平分于弧所对的弦。成立吗？,过点C作直径CD，交AB于M。,C,CD是直径,M,平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.,探索规律,AM=BM,你可以写出相应的命题吗?,定理的逆定理,如图,根据垂径定理与推论可知 ：对于一个圆和一条直线来说。如果在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论., CD是直径, AM=BM, CDAB,注意,定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直
4、平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧,赵州石拱桥,1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).,例题,解:如图,用AB表示桥拱,设圆心为O,C
5、为AB的中点,连接半径OC,交AB于点D,则OC垂直平分AB,CD就是拱高,连接OB,设圆O的半径为R(m),由题意得:AB=37.02,CD=7.23,OB=R,BD=1/2AB=0.537.02=18.51,OD=OC-DC=R-7.23,在RtOBD中,OB2=BD2+OD2,R2=18.512+(R-7.23)2,解这个方程,得 R=27.31,答:桥拱的半径约为27.31m,1.已知,如图,在以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB和小圆交于点C,D,求证:AC=BD,解:过O作OEAB于E点,则AE=BE,CE=DE (_)AE-CE=BE-DE即AC=BD,垂直弦的直径平分这条弦,挑
6、战自我画一画,2.已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD, 直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :. 图中相等的劣弧有:.,课堂小结,1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和定理,定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧,2. 定理的证明，是通过“实验观察猜想证明” 实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想 后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思 想方法,3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是 一条非常重要的辅助线圆心到弦的距离、半径、弦长 构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题,挑战自我填一填,1、判断：垂直于弦
7、的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）,一、判断是非：,（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（7）平分弦的直线，必定过圆心。,（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。zxxk,（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。,（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。,（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。,某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面2m,半径 为1.5m,一辆高3m,宽2.3m的集装箱车能通过这个隧道吗?,F,1.15,解:取CD=1.15m,作DECD交圆O于点E 连接OE,过O作OFED于F, 由题意可得OE=1.5,OF=CD=1.15 FD=OC=2由勾股定理得: zxxk,0.96 DF=EF+DF=2.963 高3m,宽2.3m的集装箱车 不能通过这个隧道,2,如果要使高度不超过4m,宽为2.3m的货车能通过这个隧道,且不改变圆心到地面的距离,半圆拱的半径至少为多少m?,
