1、- 1 -陕西省榆林市育才中学高中数学 空间向量运算的坐标表示导学案 新人教 A 版选修 2-1学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.学习过程 一、课前准备复习 1：设在平面直角坐标系中， A ， B ，则线段 AB .(1,3)(,2)复习 2：已知 ，求：3,25,ab a B. 3 a b； 6 A. ； ab.二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：1. 向量的模：设 a ，则 a 123(,)2. 两个向量的夹角
2、公式：设 a ， b ，123(,),由向量数量积定义： ab| a|b|cos a,b，又由向量数量积坐标运算公式： ab ，由此可以得出：cos a,b 试试： 当 cos a、 b1 时， a 与 b 所成角是 ； 当 cos a、 b1 时， a 与 b 所成角是 ； 当 cos a、 b0 时， a 与 b 所成角是 ，即 a 与 b 的位置关系是 ，用符合表示为 .反思：设 a ， b ，则123(,)123(,) a/B. a 与 b 所成角是 a 与 b 的坐标关系为 ； a b a 与 b 的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点 ， ，则线段 AB
3、 的长度为：1(,)Axyz2(,)Bxyz.2221()()ABxy4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点 ， ，则线段 AB 的中点坐标为: .1(,)xyz2(,)xyz 典型例题例 1. 如图,在正方体 中，点 分别是 的一个四等分点，求1ABCD1,EF11,ABCD与 所成的角的余弦值BEDF- 2 -变式：如上图,在正方体 中， ，求 与 所成角的余1ABCD113ABBEDF1EDF弦值例 2. 如图，正方体 中，点 E,F 分别是 的中点，求证： .1ABCD1,BD1EFDA变式：如图，正方体 中，点 M 是 AB 的中点，求 与 CM 所成角的余弦值.1AB
4、CD1DB- 3 -小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算. 动手试试练 1. 已知 A(3,3,1)、 B(1，0，5)，求：线段 AB 的中点坐标和长度；到 A、 B 两点距离相等的点 的坐标 x、 y、 z 满足的条件(,)Pxyz练 2. 如图，正方体的棱长为 2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流.三、小结1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算. 知识拓展在
5、平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量. 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 若 a ， b ，则 是 的（ ）123(,)123(,)312ab/bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不不要条件2. 已知 ，且 ，,4,xa则 x .3. 已知 , 与 的夹角为 120，则 的值为（ ）1,01ABOABA. B. C. D. 6664. 若 ，且 的夹角为钝角，则 的取值范围是（ ）2,23,axbx,abxA. B. 440C. D. 05. 已知 ， 且1,1yx- 4 -，则（ ）(2)/()abA. B. 1,3xy1,42xyC. D. 4课后作业： 1. 如图，正方体 棱长为 ，ABCDa 求 的夹角；求证： . , ABC2. 如图，正方体 中，点 M,N 分别为棱 的中点，求 CM 和 所成角1ABCD1,AB1DN的余弦值.
