1、惠南中学 2018年秋季高二年 12月月考数学（理科）试卷考试时间：120 分钟 满分：150 分 2018.12.15第卷（选择题共 60分）一、选择题(本题 12小题，每题 5 分，共 60分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。)1.命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）.A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】C【解析】试题分析：逆否命题需将条件结论交换后分别否定，所以原命题的逆否命题为：若，则考点：四种命题2.已知命题 ，其中正确的是（ ）A. 使 B. 使C. 使 D. 使【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题即可得解【详解
2、】命题 ，为特称命题，其否定为全称命题，所以 使 .故选 D.【点睛】本题主要考查了含有量词的命题的否定，由全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题即可得解.3.设 、 是实数，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：由 不能推出 ，比如 ，而 即 ，所以 也不能推出 ，所以 是 的既不充分也不必要条件，故选 D.考点：不等式的性质与充要条件的判断.【此处有视频，请去附件查看】4.椭圆 的左右焦点为 ，一直线过 F1交椭圆于 A、 B两点， ABF2的周长为（ ）A. 32 B.
3、 16 C. 8 D. 4【答案】B【解析】【分析】由椭圆的定义得 ，从而得解.【详解】由椭圆的定义可知： . ABF2的周长为 .故选 B.【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用，属于基础题.5.椭圆 的焦距是 2,则实数 的值是( )A. 5 B. 8 C. 5或 8 D. 3或 5【答案】D【解析】【分析】讨论椭圆的焦点轴，利用 ，结合焦距即可得解.【详解】当椭圆的焦点在 x轴上时有： .由焦距是 2,可知 ，所以 ，解得 ；当椭圆的焦点在 y轴上时有： .由焦距是 2,可知 ，所以 ，解得 .故选 D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，属于基础题.6.在正项等比数列 中
4、， 和 为方程 的两根，则 ( )A. 16 B. 32 C. 64 D. 256【答案】C【解析】略7.已知等差数列 的前 n项和为 ， 且 ，则 （ ）A. 11 B. 10 C. 9 D. 8【答案】D【解析】试题分析：由条件： ， ， ，解得：考点：等差数列由条件求某一项注意把握基本量8.已知等比数列 公比为 q，其前 n项和为 ，若 成等差数列，则 等于（ ）A. B. 1 C. 或 1 D. -1或【答案】A【解析】试题分析：因为 S3，S 9，S 6成等差数列，即，2S 9=S6+S3，所以 2 ，整理得， ，解得 q3= 或 1，但 q3=1时与已知不符，故选 A。考点：本题主
5、要考查等比数列通项公式、求和公式。点评：简单题，根据 S3，S 9，S 6成等差数列可建立 q的方程，解之即得。9.数列 满足 且 ，则“ ”是“数列 成等差数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 r1 时，易知数列 an为等差数列；由题意易知 a22 r， a32 r2 r，当数列 an是等差数列时， a2 a1 a3 a2，即 2r12 r2 r.解得 r 或 r1，故“ r1”是“数列 an为等差数列”的充分不必要条件本题选择 A选项.10.对于 0a1 的实数 a，当 x，y 满足 时，z=x+y（ ）
6、A. 只有最大值，没有最小值 B. 只有最小值，没有最大值C. 既有最小值也有最大值 D. 既没有最小值也没有最大值【答案】C【解析】【分析】作出可行域的图形，再结合目标平移直线即可得解.【详解】因为 xay=2是恒过(2,0)点的直线系，且 0a1所以 x， y满足 ，的可行域如图：是三角形 ABC的区域，当目标函数经过可行域的 B点时，目标函数确定最小值；目标函数经过可行域的 A点时，目标函数确定最大值。故选 C.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域研究目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找
7、到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11.椭圆 C： 的左右顶点分别为 ，点 P在 C上且直线 斜率的取值范围是，那么直线 斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 P点坐标为 ，则 ， ， ，于是 ，故 . .故选 B.【考点定位】直线与椭圆的位置关系12.设 的三边长分别为 ， 的面积为 ， .若 ， ， ， ， ，则( )A. 为递减数列B. 为递增数列C. 为递增数列， 为递减数列D. 为递减数列， 为递增数列【答案】B【解析】由题意得 ，所以数列 是常数
8、列，故 ， ， ，即 是以点 ，长轴长为 的椭圆的焦点三角形，又 ，所以 的形状和位置如下图所示： ，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，故当 时， ，点 的位置无限趋近于椭圆的短轴的端点 P 的边 上的高 单调递增， 单调递增，数列 为递增数列选 B点睛：本题将数列、解析几何等知识相结合，综合考查学生分析问题、解决问题的能力首先，在数列运算的基础上，要处理好数列 之间的关系，掌握数列变化中的确定性；其次，在解析几何特征分析上，确定出点 的几何特征；最后由椭圆的定义将问题加以解决第卷(非选择题 90分)二、填空题（本题 4小题，每题 5分，共 20分）13.已知数列 是等差数列，数列 是
9、等比数列，则 的值为_.【答案】【解析】试题分析：等差数列的 ， ，则考点：等差数列和等比数列的性质；14.已知正数 a,b满足 2a+b=10,则 的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用 ，展开后利用基本不等式求解即可.【详解】由 2a+b=10，可得 .故答案为： .【点睛】本题考查基本不等式，着重考查基本不等式的应用，属于基础题在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.设 分别是双曲线 的左、右焦点.若双曲线上存在
10、A，使 ,且，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】设 ，根据双曲线定义表示 ，再利用勾股定理表示 ，从而可得解.【详解】设 分别是双曲线 的左、右焦点.若双曲线上存在点 A, 使 ,且 ，设双曲线中 ，离心率 ，故答案为： .【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，关键是通过几何条件和双曲线的定义求得 a和 c的比值，属于中档题.16.已知 分别是圆锥曲线 和 的离心率，设 ，则 的取值范围是 【答案】 （-，0） 。【解析】试题分析ab00 1，e 1= ，e 2= ，0e 1e21，m=lge 1+lge2=lg（e 1e2）0考点：圆锥曲线的定义、性质与方程点评：本题主要考查
11、了椭圆、双曲线的离心率，考查对数的运算性质。三、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知双曲线的焦点与椭圆 的焦点重合，它们的离心率之和为 ，求双曲线的方程【答案】3x 2-y2=12（或 =1）【解析】试题分析：由椭圆方程求得焦点坐标和离心率，即可求到双曲线的 c与离心率。试题解析：由已知得双曲线 c=4,椭圆离心率为 则双曲线离心率为 2，得 a=2,故 b2=12 故所求双曲线方程是 3x2-y2=12（或 =1）18.设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，且 为钝角. （1）证明：； （2）求 的取值范围.【答案】 （1）见解析
12、；（2） .【解析】试题分析：()运用正弦定理将 化简变形,再解三角方程即可获解；()将角用 表示,换元法求函数 的值域即可.试题解析：()由 及正弦定理，得 ， ，即 ，又 为钝角，因此 ，故 ，即 ；()由（1）知， ，于是， ， ，因此 ，由此可知 的取值范围是考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.【此处有视频，请去附件查看】19.已知数列 是公差为 2的等差数列，且 成等比数列（1）求 的通项公式；（2）令 ，记数列 的前项和为 ，求证： 【答案】 （1） ；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）先等差数列 的公差为 ，根据条件和等差数列的通项公式列出方程求解，再代
13、入等差数列的通项公式化简即可；（2）由（1）求出数列 的通项公式，然后再利用裂项相消即可求出数列 的前项和为 ，进而证明结果试题解析：（1）数列 是公差为 2的等差数列，, , 成等比数列， ,所以由得解之得 ,所以 ,即（2）由（1）得考点：1等差数列的性质；2等比数列的性质；3裂项相消【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一: 型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续
14、两项的开方和，形如 型，常见的有；对数运算 本身可以裂解；阶乘和组合数公式型要重点掌握 和 20.已知 是递增的等差数列， ， 是方程 的根（）求 的通项公式；（）求数列 的前 项和.【答案】 （） （）【解析】【分析】（）由 和 可得公差，进而可求通项公式；（）由 ，利用错位相减法求和即可.【详解】 （）方程 的两个根为 2，3，由题意得 ，设数列 的公差为 ，则 ，故 ，从而所以 的通项公式为（）设 的前 项和为 ，由（1）知 ，则-得 .所以，【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项相消法求和的计算，属于基础题.21.已知椭圆 过点 ，离心率 .（）求椭圆的方程；（）设过定点 的直
15、线 l与椭圆相交于 A,B两点，且 为锐角（其中 O为坐标原点),求直线 l斜率的取值范围.【答案】 （） （II） 或【解析】【分析】（）由题意得 ， ，从而可解得椭圆的方程；（II）设 ， ，设直线 的方程为： ，与椭圆联立，利用根与系数的关系代入 求解即可.【详解】 （）由题意得 ，结合 ，解得所以，椭圆的方程为 .（II）设 ， ，则 ， .设直线 的方程为： .由 得即 .所以 ， ，.由 解得 或 .故 或 为所求.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆相交的计算问题，用到了“设而不求”的思想处理向量问题，属于基础题.22.已知两圆 的圆心分别为 ，P 为一个动点，且直线
16、的斜率之积为 .（）求动点 P的轨迹 M的方程；（）是否存在过点 A(2，0)的直线 l与轨迹 M交于不同的两点 C、D，使得 ？若存在，求直线 l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） y21( x0)（2）不存在【解析】(1)两圆的圆心坐标分别为 C1(0，1)，和 C2(0，1)，设动点 P的坐标为( x， y)，则直线 PC1， PC2的斜率分别为 (x0)和 (x0)由已知条件得 (x0)，即 y21( x0)所以动点 P的轨迹 M的方程为 y21( x0)(2)假设存在满足条件的直线 l，易知点 A(2，0)在椭圆 M的外部，当直线 l的斜率不存在时，直线 l与椭圆 M无交点，此时不符合题意，所以直线 l斜率存在，设为 k，则直线 l的方程为 y k(x2)联立方程组 得(2 k21) x28 k2x8 k220，依题意 8(2 k21)0，解得 k .当 k 时，设交点分别为 C(x1， y1)， D(x2， y2)， CD的中点为 N(x0， y0)，则 x1 x2 ，则 x0 ，所以 y0 k(x02) k .要使| C1C| C1D|，必须 C1N l，即 kkC1N1，所以 k 1，即 k2 k 0，因为 114 10， k2 k 0 无解，所以不存在直线，使得| C1C| C1D|，综上所述，不存在直线 l，使得| C1C| C1D|.
