1、 “数据 的离散程度”学习 导航 本章的主要内容是表 示数 据离散程度的极差、 方差 和标准差这三个重要 概念 及其求法 （包括 用计算 器的求 法） ，这部 分知识 是统计 的重 要内容 ，也是 计算较 复杂 的内容 之一. 为 了帮助 同学 们更 好地 学好 这部分 内容 ， 现 将有 关的 重要的 知识 点及 中考 考点 归纳如 下， 供同 学们参 考. 一、知 识点 解读 前面我 们学 习了 平均 数、 众数、 中位 数， 它们 是反 映一组 数据 集中 程度 的特 征量， 但它 们却不 能反 映一 组数 据的 离散程 度， 为解 决这 个问 题我们 要学 习极 差、 方差 和标准 差
2、. 1 极 差： 指一 组数 据中 的 最大数 据与 最小 数据 的差 ，即极 差= 最大 值 最小 值. 2 方差 ：一组 数据中 ，各 个数据与 平均 数之差 的平 方的平均 数叫 做这组 数据 的方差 ， 通 常 用 2 s 表示. 对 于 一 组 数 据 n x x x x , , , 3 2 1 ， 其 平 均 数 为 x ， 则 方 差 2 s = 2 1 ) ( 1 x x n 2 2 ) ( x x + ) ( 2 x x n . 3 标 准差 ：是 方差 的算 术 平方根 ，其 计算 方法 是： 标准差= 方差. 极差 、 方 差和 标准差 都可 以刻画 一组 数据 的离 散
3、程 度， 对于 极差 来说 ， 一 组 数据的 极差 越大， 说明数 据的离 散程 度越大 ；反之 ，离散 程度 越小.对 于方差 和标 准差来 说，一 组数据 的方差 （或 标准 差） 越大 ，说明 数据 的离 散程 度越 大，稳 定性 越差 ；反 之， 离散程 度越 小 ， 稳定性 越好.极 差的 计算较 简单方 便，但 由于易 受数 据中极 端数据 的影响 ， 所 以在有 些情况 下用极 差难 以准 确地 说明 问题 ； 而 方差 、 标 准差 能 更好地 刻画 一组 数据 的离 散程度 ， 特别 是 标准差 ，其 单位 与数 据的 单位一 致， 用起 来较 方差 更方便 些. 二、中
4、考导 航 分析近 年各 地中 考试 题发 现， 有关 本章 知识 的考 查主 要有 极差 、 方差 和标 准差 的计算 ； 方差 和标 准差 在实 际问 题中的 应用 ； 用计 算器 求标准 差和 方差 ； 以社 会热点 问题 和所 接触的 日常 生活 中的 问题 为载体 的与 方差 和标 准差 有关的 开放 探索 性试 题. 例 1 （2006 年益 阳） 为了 解市场 上甲 、 乙 两种 手表 日走时 误差 的情 况， 从这 两种手 表中 各随机 抽 取10 块进 行测 试 ，两种 手表 日走 时误 差的 数据如 表（ 单位 ：秒 ）： 编号 类型 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
5、甲种手 表 3 4 2 1 2 2 1 2 2 1 乙种手 表 4 1 2 1 4 1 2 1 2 2 （1） 计算 甲、 乙两 种手 表 日走时 误差 的平 均数 ； （2） 你认 为甲 、乙 两种 手 表哪种 手表 走时 稳定 性好 ？说说 你的 理由. 析解： 要注 意计 算日 走时 误差的 平均 数及 方差 时， 都要把 每个 数据 取绝 对值. （1） 甲 x = 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4 3 10 1 ） （ （秒 ）； 乙 x = 2 2 2 1 2 1 4 1 2 1 4 10 1 ） （ （秒 ）. （ 2 ） 2 甲 S = 8 . 0 2 1 2 4 2 3
6、 10 1 2 2 2 ） （ ） （ ） （ （秒 2 ）； 2 乙 S= 2 . 1 2 2 2 1 2 4 10 1 2 2 2 ） （ ） （ ） （ （秒 2 ） ，由 于 2 甲 S 2 乙 S ，所 以 甲种手 表 走时稳 定性 好. 例 2 （2006 年 黄冈 ） 某 班 要从小 王和 小李 两名 同学 中挑选 一人 参加 学校 数学 竞赛 ， 在 最 近的五 次选 拔测 试中 ，他 们的数 学成 绩分 别如 下表 ： 次数 成绩 姓名 1 2 3 4 5 小王 60 75 100 90 75 小李 70 90 80 80 80 根据上 表回 答下 列问 题: (1)完 成下
7、 表: 姓名 极差( 分) 平均成 绩( 分) 中位数(分) 众数( 分) 方差 小王 40 80 75 75 100 小李 40 (2)在 这五 次测 试中, 成绩 比较稳 定的 同学 是谁?若将 80 分 以上(含 80 分) 的 成绩视 为优 秀,则 小王 、小 李在 这五 次 测试中 的优 秀率 各是 多少 ？ （3） 历届 比赛 表明 ，成 绩 达到 80 分以 上( 含 80 分) 就很可 能获 奖， 成绩 达 到 90 分以 上(含90 分) 就 很可 能获 得一等 奖， 那么 你认 为应 选谁参 加比 赛比 较合 适？ 说明理 由. 析解：（1 ）由第一个表格可得小李成绩的极差
8、=90-70=20( 分) ，平均成绩应为= 5 1 （70+90+80+80+80 ）=80( 分)， 中位 数应 为80( 分) ，众数 应 为80( 分). （2 ） 根 据 第 一 个 表格 中 提供 的 方 差 可 知 ， 在这 五 次测 试 中, 成 绩 比 较稳 定 的是 小 李. 若将 80 分 以上( 含 80 分) 的成绩 视为 优秀, 小 王的 优 秀率 是 % 100 5 2 =40%， 小李 的优 秀率 是 % 100 5 4 =80%. （3） 答案 不惟 一： 如： 方案一 、 我 选小 李去 参加 比赛， 因为 小李 的优 秀率 高， 有4 次得 80 分， 成绩 比较稳 定， 获奖机 会大 ； 方案二 、我 选小 王去 参加 比赛， 因为 小王 的成 绩获 得一等 奖的 机率 较高 ，有 2 次 90 分 以上( 含90 分) ，因 此有 可 能获得 一等 奖.
