1、2018 年 12 月浙江省重点中学高三期末热身联考数学 试题卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.1.已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合 ，再由交集的定义可得结果.【详解】利用一元二次不等式的解法化简集合 ，因为 ，所以 ,故选 B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.2.已知 为虚数单位，复数 ， （ ）A. 1 B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】
2、根据复数模长的定义直接进行计算即可【详解】 ，所以故选：C。【点睛】本题主要考查复数的运算及复数长度的计算，比较基础3.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程求出 a，然后求解双曲线的离心率即可【详解】双曲 的渐近线方程为： ，由题可知： ，所以 ，即： ，所以双曲线的离心率为： ，故选：D。【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力4.已知 ，则“mn”是“m l”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】构造长方
3、体 ABCD A1B1C1D1，令平面 为面 ADD1A1，底面 ABCD 为 ，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为 m， n 即可进行判断【详解】如图，取长方体 ABCD A1B1C1D1，令平面 为面 ADD1A1，底面 ABCD 为 ，直线=直线 。若令 AD1 m， AB n，则 m n，但 m 不垂直于若 m ，由平面 平面 可知，直线 m 垂直于平面 ，所以 m 垂直于平面 内的任意一条直线 m n 是 m 的必要不充分条件故选： B【点睛】本题考点有两个：考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从 m nm ？和 m m n？两方面进行判断；是空间的垂直关系，一
4、般利用长方体为载体进行分析5.函数 的大致图像是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过函数的变化趋势，推出结果即可【详解】当 x 0，且无限趋近于 0 时， f（ x） 0，排除 B,C，当 时， ，且指数幂 变化较快，故 ，排除 D。故选：A【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查计算能力6. 展开式中， 的系数是A. 80 B. 80 C. 40 D. 40【答案】B【解析】【分析】由二项式定理的通项公式列方程，求出 ，求出 项的系数即可。【详解】由二项式定理的通项公式得： ，令 ，解得： ，所以 的系数为：故选：B。【点睛】本题考查二项展开式中 的项的系数的求法，考查二项式
5、定理、通项公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题7.已知实数 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【详解】如图，作出不等式组表示的平面区域，由 zx+4y 可得： ，平移直线 ，由图像可知：当直线 过点 B 时，直线 的截距最小，此时 z 最小。将 代入目标函数得：，故选：C。【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法8.已知函数 ，若 恒成立，则实数 a
6、 的最小正值为A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由 可判断函数 的周期为 ，求出 的最小正周期，列不等式求解。【详解】由 可判断函数 的周期为 ，又 = ，其最小正周期为 ，所以 ，即： 故选：D。【点睛】熟记结论：如果函数 满足 的周期为 ，此题主要考查如何求函数的周期9.已知方程 有且仅有两个不同的实数解 ， ，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】方程 有且仅有两个不同的实数解，等价于 的图象有且仅有两个不同的交点（原点除外） ，数形结合可得 与 相切时符合题意，根据导数的几何意义以及直线的斜率公式可得结果.【详解】方
7、程 有且仅有两个不同的实数解，等价于 有且仅有两个不同的实数解，即 ，有且仅有两个不同的交点（原点除外）.画图 ， 的图象.由图可知， 与 相切时符合题意，设 ， 因为 ，所以 为切点横坐标，且 是直线 与 的交点横坐标，因为切线过原点，所以切线斜率 ，所以 ，故选 A.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线斜率以及直线的斜率公式的应用，以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探
8、究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质10.如图，将边长为 2 的正方形 沿 、 翻折至 、 两点重合，其中 是 中点，在折成的三棱锥 中，点 在平面 内运动，且直线 与棱 所成角为 ，则点运动的轨迹是（ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】建立空间坐标系，设 ,求出点 的坐标，由直线 与棱 所成角为 ，利用空间向量夹角余弦公式列方程，得到关于 的方程，从方程的形式可判断 点的轨迹.【详解】如图，过点 引平面 的垂线,垂足为 ,以 为坐标原点建立空间直角坐标系,其中 轴与直线 平行,点 在 轴的负半轴上
9、.由题可知 平面 ,设点 到平面 的距离为 ，因为 ,所以 ，可得 ， ,设 ， ，又直线 与棱 所成角为 , ，整理得 点 的轨迹为抛物线,故选 D.【点睛】本题主要考查利用“等积变换”求点到平面的距离、利用空间向量表示其夹角的余弦值及求轨迹方程，通过轨迹的方程来判断轨迹，还考查了转化思想以及空间想象能力，属于难题.二、填空题（多空题每空 3 分，单空题每空 4 分，共计 36 分）11.已知随机变量的分布列为：-1 0 2若 ，则 _； _.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由分布列的性质以及期望公式可得， 解得 ，再利用方差计算公式即可得结果.【详解】由分布列的性质以及期望公
10、式可得， ，解得 ， ，故答案为 .【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望以及随机变量的方差公式，考查了推理能力与计算能力，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.12.若 6，则 _； _【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用对数知识将 表示出来，再利用对数运算求解。【详解】由题可得： ， ，所以 = ，= 。【点睛】本题主要考查了对数的定义及对数运算公式，计算一般，属于基础题。13.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_；表面积是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由三视图可得该几何体是四棱锥，根据三视图中数据，求出底面积与高可得棱锥
11、的体积，再求出四个侧面的面积，与底面积求和可得四棱锥的表面积.【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥 ，图中直三棱柱的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，棱柱的高为 4，四棱锥 的底面是矩形，面积为，四个侧面中，三个直角三角形面积分别为 一个等腰三角形，面积为，所以该四棱锥的体积为 ，表面积为，故答案为 ， .【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查体积、表面积以及空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚
12、线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.14.已知直线 若直线 与直线 平行，则 的值为_；动直线 被圆截得弦长的最小值为_【答案】 (1). -1. (2). .【解析】分析：（1）利用平行线的斜率关系得到 m 值.(2)利用数形结合求出弦长的最小值.详解：由题得当 m=1 时，两直线重合，所以 m=1 舍去，故 m=-1.因为圆的方程为 ，所以 ，所以它表示圆心为 C（-1,0）半径为 5 的圆.由于直线 l：mx+y-1=0 过定点 P(0，-1),所以过点 P 且与 PC 垂直的弦的弦长最短.
13、且最短弦长为故答案为：-1， .点睛：本题的第一空是道易错题，学生有容易得到 实际上是错误的.因为是两直线平行的非充分非必要条件，所以根据 求出 m 的值后，要注意检验，本题代入检验，两直线重合了，所以要舍去 m=1.15.向量 ， 满足： 2， + 1，则 的最大值为_【答案】【解析】【分析】设出 的坐标，从而表示出 的坐标，然后将 表示成函数关系，把问题转化成函数的最大值问题解决。【详解】由题可设 ， ，则 ，所以当 时，等号成立。所以 的最大值为 .【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及数量积的坐标表示，还考查了同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式，考查了转化思想。16.如图，有 7
14、个白色正方形方块排成一列，现将其中 4 块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有_种。【答案】【解析】【分析】用黑白两种颜色随机地涂如图所示表格中 7 个格子，每个格子都有 2 种染色方法，利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子个数。【详解】由题意可判断第一格涂黑色，则在后 6 格中有 3 个涂黑色，共有 种涂法，满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总少于白色方块的有：（1）第 2,3 格涂白色共4 种涂法， （2）第 3,4,5 格涂白色共 1 种涂法， （3）第 2,4,5 格涂白色共 1 种涂法。所以满足从
15、左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有种。【点睛】本题考查计数原理，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用17.平行六面体 中，已知底面四边形 为矩形， ，其中， ， ， ，体对角线 ，则 的最大值是_.【答案】【解析】【分析】利用结论 ，求出线面角 ,再利用正弦定理列方程，把问题转化成三角函数最值问题来解决.【详解】如图，由 ，可知点 在底面的射影点在直线 上，则 是直线 与底面所成的角，则 ，在 中，由正弦定理可知: ，当 时， 最大为 ,故答案为 .【点睛】本题考查了线面角的结论：当 时， （点 在平面 外 ) , (其中 为直线 与平面 所成的角,
16、为直线 与直线 的夹角， 为直线 与直线 在平面 的射影的夹角),还考查了正弦定理及转化思想,属于难题.三、解答题 （本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.已知 分别为 三个内角 的对边，且满足 ， .（1）求 ；（2）若 是 中点， ，求 面积.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由正弦定理化简 即可求得 ，从而可求 A 的值（2）在 中由余弦定理列方程，在 中利用余弦定理列方程，在 中利用余弦定理列方程，联立可得 的值，根据三角形面积公式即可计算得解【详解】： （1） ，则 ，（2）方法一：在 中，即 .在 中 ，同理 中 ，而
17、 ，有 ，即 .联立得 ， . 方法二：又 得方法三：（极化式）【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19.如图，等腰直角 中 是直角，平面 平面 ， ， .（1）求证 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】【分析】（1）由 及 为直角可得到 ，结合已知条件命题得证。（2）作 ，连结 .由（1）得： ，作 ，再证得：平面 ，则 即为所求线面角. 解三角形 BFH 即可。【详解】解：（1）证明：直角 中 B 是直角，即 ， ， ， ， 又 ， .（2）方法一：作 ，连结 .
18、 由（1）知 平面 ，得到 ，又 ，所以 平面 . 又因为 平面 ，所以平面 平面 .作 于点 H，易得 平面 ，则 即为所求线面角. 设 ，由已知得 ， ， ， . 则直线 与平面 所成角的正弦值为 . 方法二：建立如图所示空间直角坐标系 ，因为 . 由已知 ， ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则有， 令 ，则 . 即 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值 . 方法三（等积法）：设 2AF=AB=BE=2， 为等腰三角形， AB=BC=2 FAB=60，2 AF=AB ，又 AF/BE， .由（1）知， ， ， ，又 ，则有 . 令 到平面 距离为 ，有 ， 故所求线面角 .【点睛】
19、本题考查立体几何中的线面关系、空间角、空间向量等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想20.已知数列 满足： ， 。（1）求 及数列 的通项公式；（2）若数列 满足： ， ，求数列 的通项公式。【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）分别令 可求得 ，再用 代等式中的 得到方程，联立方程作差即可。（2）根据题意列方程组，利用累加法得到 的表达式，再利用错位相减法求和。【详解】解：（1） 时 ， 时 2 满足上式，故 .（2） ，有 累加整理 得满足上式，故 .【点睛】 （1）主要考查了赋值法及方程思想。（2）考查了累加法，错位相减
20、法求和，用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.21.已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的 2 个焦点与 1 个短轴端点为顶点的三角形的面积为 2 。（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为 k 的直线 l 过椭圆的右焦点 F，且与椭圆交与 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆截直线 x1 所得的弦的长度为 ，求直线 l 的方程。【答案】 （1） ；（2）
21、或 .【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合 a2 b2+c2，即可求椭圆 C 的方程；（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出 及 ，结合弦的长度为 ，即可求斜率 k 的值，从而求得直线方程。【详解】解：（1）由椭圆 的离心率为 ，得 ， .由 得 ， ，所以椭圆方程为 （2）解：设直线 ， ， ， 中点 联立方程 得 ，. 所以 ，点 到直线 的距离为 由以线段 为直径的圆截直线 所得的弦的长度为 得，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为 或 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出 及
22、，代入弦长公式列方程求解，还考查了圆的弦长计算，考查学生的计算能力，属于中档题22.已知 ， 。（1）当 时，求 f（x）的最大值。（2）若函数 f（x）的零点个数为 2 个，求 的取值范围。【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）求出 ，再求出 ，利用 的正负判断 的单调性，从而判断 的正负，从而判断 的单调性，进而求得函数 的最值。（2）求出 ，再求出 ，求得函数 单调性，对参数 的范围分类讨论，求得函数的最值，结合函数 的单调性，从而判断函数 的零点个数。【详解】解：（1）当 时，.因为 时，所以 在 上为减函数.（ 递减说明言之有理即可） 又 ，所以当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减；故 . （2） ， ，当 ，且 时， . 所以 在 上为减函数时， ， 时， ，故存在 使得，且有 在 上递增，在 递减， .当 时由（1）知只有唯一零点当 时， 即有 ，此时有 2 个零点当 时， ，又有 ，故 .令 ，故 在定义域内单调递增.而 ，故 ，于是 ，所以 时不存在零点.综上：函数 的零点个数为 2 个， 的取值范围为 【点睛】 （1）主要考查了利用导数来判断函数的单调性，从而求得最值。（2）考查了分类讨论思想，利用导数来判断函数的单调性及转化思想，计算难度大，转化次数较多，考查学生的计算能力，考查函数方程的转化思想，属于较难题
