1、2019 届一月高三质量检测（三）高三数学试卷（文科）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）5i1+i=A. B. C. D. 23i 33i 22i 3+2
2、i【答案】A【解析】【分析】由题，对复数进行计算，分子分母同时乘以 ，得出答案.1i【详解】化简 .5-i1+i=(5-i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-3i故选 A【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知集合 ， ，则 （ ）A=x|x210x+210 B=x|752x4 AB=A. B. x|12x3 x|3x6C. D. x|2x7 x|6x7【答案】B【解析】【分析】先对求出集合 和集合 ，然后求其交集.A=x|3x7 B=x|12x6【详解】因为 ， ，所以 .A=x|3x7 B=x|12x6 AB=x|3x6故选 B【点睛】本题考查集合的交集运算
3、，考查运算求解能力,属于基础题.3. （ ）12cos267.5=A. B. C. D. 12 22 22 32【答案】C【解析】【分析】利用二倍角余弦公式即可得到结果.【详解】 .1-2cos267.5=-(2cos267.5-1)=-cos135=22故选：C【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力.4.已知向量 ， ，若 ，则 （ ）a=(m,3) b=(3,n) a+2b=(7,1) mn=A. -1 B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，分别求出 m，n，得出结果.【详解】因为 ，所以 ，得 ，所以 .a+2b=(7,1) m+6=73-
4、2n=1 m=n=1 mn=1故选 C【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知平面 平面 ，且 ，要得到直线 平面 ，还需要补充以下的条件是（ =l m ）A. B. C. D. 且m m/ ml m ml【答案】D【解析】【分析】根据立体几何中面面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，得出答案.【详解】选项 A、B、C 的条件都不能得到直线 平面 .而补充选项 D 后，可以得到直线m 平面 .理由是：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.m 故选 D【点睛】本题考查空间中点、线、面的
5、位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题.6.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）x y 5x+4y-602x-y-50x+6y-220 z=y-xA. B. C. D.3 -3 -6 6【答案】-3【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出 表示的可行域，如图，5x+4y-602x-y-50x+6y-220 由 可得 ，5x+4y-6=02x-y-5=0 x=2y=-1 将 变形为 ，z=y-x y=x+z平移直线 ，y=x+z由图可知当直 经过点 时，
6、y=x+z (2,1)直线在 轴上的截距最小，y取得最小值 ，故选 B.z=12=3【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.某三棱锥 的三视图如图所示， ， ， ， 在三视图中所对应的点分别为 ， ，PABC P A B C P A， ， 为棱 的中点，则直线 与 所成角的正切值为（ ）B C D BC PD ACA
7、. B. C. D. 733 25 35 453【答案】D【解析】【分析】由三视图可得几何体的图形，作 ，垂足为 ，连接 ，得出 就是直线 与DEAB E PE EDP PD所成的角，然后计算可得结果.AC【详解】三棱锥 如图所示，P-ABC作 ，垂足为 ，连接 ，易知 就是直线 与 所成的角.因为 平面DEAB E PE EDP PD AC PA， ， ， ，所以 ， .因为 平面 ，ABC AB=4 AC=3 PA=4 DE=32 PE= 22+42=25 AC PAB所以 平面 ，所以 .DE PABtanEDP=2532=453故选 D【点睛】本题考查三视图以及异面直线所成的角的正切值
8、，考查空间想象能力和运算求解能力,属于较为基础题.8.函数 的图象大致为（ ）f(x)=2ln(4x21)x2+1A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函数定义域，再利用奇偶性排除 A、B 选项，再算出 或 时， 恒成x22 f(x)0立，排除 D，得出结果.【详解】本题考查函数的图象和性质，考查推理论证能力.由 ，得 或 ，即 的定义域为 ，因为 ，所4x2-10 x12 x1 x22 f(x)0除选项 D，故选 C.【点睛】本题考查函数的图象和性质，考查推理论证能力，属于较为基础题.9.中国古代数学名著九章算术中记载：“圆周与其直径之比被定为 3，圆中弓形面积为（为弦长，
9、为半径长与圆心到弦的距离之差）.” 据此计算，已知一个圆中弓形所12a(a+c)对应的弦长 ， ，质点 随机投入此圆中，则质点 落在该弓形内的概率为（ ）c=6 a=1 M MA. B. C. D. 7150 175 730 350【答案】A【解析】【分析】先由题求出弓形的面积，再求出圆的半径以及圆的面积，利用几何概型求得结果.【详解】由题意可知：弓形的面积 .设圆的半径为，则 ，S1=121(6+1)=72 r2=(r-1)2+32解得 ，所以圆的面积 ，所以质点落在弓形内的概率为 .r=5 S2=3r2=75 P=S1S2=7275=7150故选 A【点睛】本题考查几何概型问题，考查数据处
10、理能力和应用意识，解题的关键是在于能否理解题意，属于中档题型.10.沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10 分钟.那么经过 5 分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的） （ ）A. B. C. D. 1:2 ( 2+1):1 1: 2 1:(32-1)【答案】D【解析】【分析】根据题意可知下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，把高度比转化为体
11、积比.【详解】由于时间刚好是 5 分钟，是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的，所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上表面分成体积相等的两部分，所以 ，所以 ，所以 .V上V全 =12=(h上h全 )3 h上h全 =132 h上h下 = 132-1故选：D【点睛】本题考查几何体的体积问题的应用，考察空间想象能力和运算求解能力.11.已知椭圆 ，设过点 的直线与椭圆 交于不同的 ， 两点，且 为C:x22+y2=1 P(2,0) C A B AOB钝角（其中 为坐标原点） ，则直线斜率的取值范围是（ ）OA.
12、 B. (22, 22) (55,0)(0, 55)C. D. (,55)(55,+) (22,0)(0, 22)【答案】B【解析】【分析】设直线 ，代入 ，得 ，l:y=k(x-2)(k0)x22+y2=1 (1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0利用韦达定理表示 ，结合 即可得到直线斜率的取值范围.x1x2+y1y20【详解】设直线 ，代入 ，得 ，l:y=k(x-2)(k0)x22+y2=1 (1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0因为直线与椭圆交于不同的 ， 两点，A B所以 ，解得 且 .=64k2-4(1+2k2)(8k2-2)0 -220,b0) 3_e=【答案】233【
13、解析】【分析】由题意可得 ,又 ，从而得到结果.ab=tan3 e= 1+(ba)2【详解】由 ，得 ，所以 .ab=tan3 ba=33 e= 1+(ba)2=233故答案为:233【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力.15.曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是_y=xlnx+2x3 P(1,2)【答案】2514【解析】【分析】先根据题意求出曲线的切线方程，然后求得在 ， 轴上的截距，既而求得结果.x y【详解】因为 ，所以 ，所以在点 处的切线斜率为 ，y=xlnx+2x3 y=lnx+1+6x2 P(1,2) k=7切线的方程为 ，即 ，在 ， 轴上的截距分别为
14、 和-5，所以与坐标轴y-2=7(x-1) y=7x-5 x y57围成的三角形面积 .S=12575=2514【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.16.在锐角 中，角 ， ， 的对边分别是， ， ，若 ，且 ，则ABC A B C b a= 3 b2+c2=abc+3的取值范围是_3cb【答案】 ( 3,3)【解析】【分析】利用余弦定理可得 ，再利用正弦定理可得 ，限制角 C 的范围，利用A 3c-b=23sin(C-6)正弦函数的图像与性质即可得到结果.【详解】由题意得 ，故 ， ，cosA=b2+c2-a22bc =abc+3-32bc =a2=32 A=6 B
15、+C=56由正弦定理，得 ，所以 ， ，bsinB= csinC= asinA=23 b=23sinB c=23sinC所以 .3c-b=sinC-23sin(56-C)=3sinC- 3cosC=23sin(C-6)因为 ，所以 ，从而 ，B=56-C0) F P(a,4) C O，且 .|PF|=5 |OP|5（1）求抛物线 的方程；C（2）过焦点 ，且斜率为 1 的直线与抛物线 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线交抛物F C A B AB线 于 ， 两点，求四边形 的面积.C MN AMBN【答案】 （1） （2）y2=4x S=323【解析】【分析】（1）先由题，将 抛物线求得 ，再根
16、据 ，且 求得 p 的值，得出P(a,4)带 入 P(8p,4) |PF|=5 |OP|5抛物线方程.（2）先将直线的方程与抛物线联立，求得中点 和 ，再求出的方程联立抛物线求D(3,2) |AB|得 ，最后求得面积即可 .|MN|【详解】解：（1）将 代入抛物线的方程 ，得 ，所以 ，P(a,4) y2=2px a=8p P(8p,4)因为 ，所以 ，整理得 ，|PF|=58p+p2=5 p2-10p+16=0解得 或 ，p=2 p=8当 时， ，满足 ；当 时， ， ，p=2 P(4,4) |OP|5 p=8 P(1,4) |OP|0 x数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间，根据
17、单调性；（2）存在f(x) f(x)0 xln2 h(x)0 g(x) 0,+)所以 ，则 ，g(x)min=g(0)=4a-10e2-2 (4-e2)a+12e4-2e2-24a-10e2-2解得 ，又 ， ，a12e2+8 ae2 12e2+8e2所以 ，即实数的取值范围是 .a12e2+8 12e2+8,+)【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数最值，以及转化思想与分类讨论思想的应用，属于综合题. 分类讨论思想的常见类型 问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 问题中的条件是分类给出的； 解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 涉及几何问题时，由几何元素的形状
18、、位置的变化需要分类讨论的.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为xOy C1（ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的x=2cosy=sin x C2极坐标方程为 .sin(6)=32（1）求曲线 ， 的直角坐标方程；C1 C2（2）判断曲线 ， 是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不相交，请说明理由 .C1 C2【答案】 （1） ； （2）x24+y2=1 x3y3=0 167【解析】【分析】（1）由题意，消去参数，即
19、可得到曲线 的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互C1化，即可得到曲线 的直角坐标方程；C2（2）由（1） ，将 代入曲线 ，求得 ， ，在由曲线 ， 两交点间x= 3y+ 3 C1 y1+y2 y1y2 C1 C2的距离公式，即可求解。【详解】 （1）将 ，消去参数，得曲线 的直角坐标方程为 ，x=2cosy=sin C1 x24+y2=1将 展开整理，得 ，sin(6-)=32 cos- 3sin= 3因为 ， ，x=cos y=sin所以曲线 的直角坐标方程为 .C2 x- 3y- 3=0（2）由（1）知曲线 是过定点 的直线，因为点 在曲线 的内部，所以曲线C2 ( 3,0) (
20、3,0) C1与曲线 相交.将 代入 并整理，得 ，C1 C2 x= 3y+ 3x24+y2=1 7y2+6y-1=0设曲线 ， 的两交点为 ， ，则 ， ，C1 C2 A(x1,y1) B(x2,y2) y1+y2=-67 y1y2=-17故曲线 ， 两交点间的距离 .C1 C2 |AB|= 1+( 3)2 (y1+y2)2-4y1y2=167【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标与直角坐标的互化，以及弦长公式的应用，其中解答中熟记互化公式，合理消去参数是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。23.选修 4-5：不等式选讲:已知函数 .f(x)=|x+2a|+|xa
21、|（1）当 时，求不等式 的解集；a=1 f(x)4|x+2|（2）设 ， ，且 的最小值为.若 ，求 的最小值.a0 b0 f(x) t+3b=31a+2b【答案】 （1） （2）(,731,+) 3+22【解析】【分析】（1）当 时， ，原不等式可化为 ，分类讨论即可求a=1 f(x)=|x+2|+|x1| 2|x+2|+|x1|4得不等式的解集；（2）由题意得， 的最小值为，所以 ，由 ，得 ，利用基本不等式f(x) t=3a 3a+3b=3 a+b=1即可求解其最小值。【详解】 （1）当 时， ，原不等式可化为 ，a=1 f(x)=|x+2|+|x-1| 2|x+2|+|x-1|4当
22、时，不等式可化为 ，解得 ，此时 ；x-2 -2x-4-x+14 x-73 x-73当 时，不等式可化为 ，解得 ，此时 ；-2x1 2x+4-x+14 x-1 -1x1当 时，不等式可化为 ，解得 ，此时 ，x1 2x+4+x-14 x13 x1综上，原不等式的解集为 .(-,-73-1,+)（2）由题意得， ，f(x)=|x+2a|+|x-a|(x+2a)-(x-a)|=3a因为 的最小值为，所以 ，由 ，得 ，f(x) t=3a 3a+3b=3 a+b=1所以 ，1a+2b=(1a+2b)(a+b) =3+ba+2ab3+2ba2ab=3+22当且仅当 ，即 ， 时， 的最小值为 .ba=2ab a= 2-1 b=2- 2 1a+2b 3+22【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
