1、新乡市高三第一次模拟测试数学（理科）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求解出集合 ，然后再计算出 ，最后计算出【详解】因为 ， ，又 ，所以故选【点睛】本题考查了集合的补集、交集的运算，较为基础2.若复数 满足 ，则 的实部为（ ）A. -5 B. 5 C. -8 D. 8【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简得 ，从而得到 的实部.【详解】 的实部为 5故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算及复数的概念，属于基础题.3.为
2、了参加冬季运动会的 5000 长跑比赛，某同学给自己制定了 7天的训练计划：第 1天跑5000 ，以后每天比前 1天多跑 200 ，则这个同学 7天一共将跑（ ）A. 39200 B. 39300 C. 39400 D. 39500【答案】A【解析】【分析】将实际问题转化为数学中的数列问题，然后求出结果【详解】依题意可知，这个同学第 1天，第 2天，跑的路程依次成首项为 5000，公差为200的等差数列，则这个同学 7天一共将跑 .故选【点睛】本题将实际问题转化为数学问题，运用数列求出结果，较为简单4.若二项式 的展开式存在常数项，则正整数 的最小值为（ ）A. 7 B. 8 C. 14 D.
3、 16【答案】B【解析】【分析】先求出通项公式，令 x的指数为零，即可得到正整数 的最小值.【详解】 的展开式的通项为 ，令 ，得 ，则正整数 的最小值为 8.故选：B【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出 r值，最后求出其参数.5.设函数 ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数是奇函数，结合函数单调性，转化求解不等式【详解】由 ，得则 是奇函数，故 .又
4、 是减函数，所以 ，解得 或 ，故不等式的解集为 ，故选【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，结合函数的性质求解不等式，需要掌握解题方法6.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 28 B. 30 C. 36 D. 42【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图还原几何体，然后求出几何体的表面积【详解】该几何体是由 12个棱长为 1的正方体组合而成的，所以 ， ，从而 .故选【点睛】本题考查了还原三视图，求解几何体的表面积问题，关键是根据三视图还原图形7.设不等式组 ，表示的可行域 与区域 关于 轴对称，若点 ，则的最小值为（ ）A.
5、 -9 B. 9 C. -7 D. 7【答案】C【解析】【分析】由不等式组表示出可行域，然后得到区域 ，继而求出结果【详解】作出区域 （阴影部分） ，由图可知，当直线 经过点 时， 取得最小值-7故选【点睛】本题考查了线性规划求最值问题，先画出可行域，然后改写目标函数，运用几何意义求出最值8.镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2个小灯，另一种是大灯下缀 4个小灯，大灯共 360个，小灯共 1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀 4个小灯的概率为（ ）A. B. C.
6、 D. 【答案】C【解析】【分析】首先明确两类灯球的个数，再利用古典概型及对立事件求出结果【详解】设一大二小与一大四小的灯球数分别为 ，则 ，解得 ，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为 .故选：C【点睛】本题以古文化为背景，考查了古典概型公式，考查了对立事件的概念，考查了学生逻辑推理能力及运算能力，属于基础题9.已知点 是抛物线 上的动点，则 的最小值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】A【解析】【分析】将 转化为点到点的距离，运用几何意义求解【详解】因为 表示点 到点 的距离，即点 到抛物线 的准线的距离，因为 表示点 到点 的距离，所以 的最小值为点
7、到抛物线 的准线 的距离3，即 .故选【点睛】本题考查了最值问题，将其转化为几何意义，点到点的距离，然后求出结果，本题的转化是关键10.将函数 的图像向左平移 个单位长度后，得到 的图像，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化简 ，然后再向左平移 个单位长度，求出【详解】 ， .故选【点睛】本题考查了三角函数图形的平移，先化简 的表达式是本题关键，由高次降幂，结合二倍角公式进行化简，然后求出三角函数图形平移后的结果11.设 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数的性质可将 分别变形为 ，从而可得 ，又 ，从而可得，因此 【详解】
8、， ，因 ，故 又 ，因 ，故 ，所以 又 ，因 ，故 ，所以 所以 ，故 .选 B【点睛】不同底数、真数的对数的大小比较，可借助对数的运算性质统一真数或底数，若无法统一底数和真数，可借助特殊的中间数来比较大小12.已知函数 ，若函数 恰有 5个零点，且最小的零点小于-4，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设 ，则 充分利用函数 的图象，分类讨论的取值情况，得到 的取值范围【详解】当 时， ， ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，故 .当 时， 的图像恒过点 ，当 时， ；当 时， .有 5个零点，即方程 有 5个解，设 ，则 .结合图像可知
9、，当 时，方程 有三个根 ， ， （， ） ，于是 有 1个解， 有 1个解， 有 3个解，共有5个解.由 ，得 ，再由 ，得 ， ， .而当 时，结合图像可知，方程 不可能有 5个解.故选：C【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.若向量 满足 ，且 ，则 _【答案】【解析】【分析】由已知
10、条件 ，代入求出结果【详解】由 ， 则 .【点睛】本题考查了向量模的计算，结合已知条件代入即可求出结果，较为简单14.设 为曲线 上一点， ， ，若 ，则 _【答案】4【解析】【分析】化简曲线方程 ，得到双曲线的一支，结合双曲线定义求出结果【详解】由 ，得 ，即 ，故 为双曲线右支上一点，且 分别为该双曲线的左、右焦点，则 ，.【点睛】本题考查了双曲线的定义，解题时要先化简曲线方程，然后再结合双曲线定义求出结果，较为基础15.设 是数列 的前 项和，且 ， ，则 _【答案】【解析】【分析】化简 得 ，即 是等比数列，然后求出 的值【详解】 ， ， ，是首项为 1，公比为 2的等比数列，则 ，
11、.【点睛】本题考查了求数列的前 项的和，结合条件进行化简，构造出新的数列是等比数列，然后求出等比数列的通项公式，继而求出结果16.已知 两点都在以 为直径的球 的表面上， ， ， ，若球 的体积为 ，则异面直线 与 所成角的正切值为_【答案】【解析】【分析】作出满足题意的图形， 的外心 为 的中点，则 平面 ，易得 平面 ，计算出球半径，设 与 所成角为 ，利用 ，求出异面直线 与 所成角【详解】 ， 的外心 为 的中点， 平面 ，易证 ，平面 ，从而球 的半径 ，又 ， ， ， ， ， .设 与 所成角为 ，则 .故 .【点睛】本题考查了异面直线所成角问题，考查了球的有关性质，考查了空间想象
12、能力及运算能力，属于中档题三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 的内角 的对边分别为 ，已知 .（1）试问： 是否可能依次成等差数列？为什么？（2）若 ，且 的周长为 ，求 的面积.【答案】 （1）不可能依次成等差数列；（2） .【解析】【分析】（1）由条件结合正弦定理可得 ，利用反证法即可得到 不可能依次成等差数列；（2）由 ， 可得 ，利用余弦定理可得 ，进而得到 的面积.【详解】解：（1） ， ， .假设 依次成等差数列，则 ，则 ，即 ，又 ， ，从而假设不成立，故 不可能依次成等差数列.（2） ， ， ，则 ，则 ，即 .从而
13、 ，则 .故 的面积 .【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） .另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住 ， ， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， ， .（1）证明：平面 平面 ；（2）若三棱锥 的体积为 ，且 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】【分析】（1）由 ， 得到 平面 ，从而得证；（2）因为 ，所以 . 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出平面 与平面 的法向量，代入公式
14、即可得到锐二面角的余弦值.【详解】 （1）证明：因为 ， ，所以 ，又 平面 ，则 ，因为 ，所以 平面 .又 平面 ，所以平面 平面 .（2）因为 ，所以 .以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ，则 ， .设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ，平面 的一个法向量为 ，则 ，故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向
15、量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为 4元，售价为 10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少 15个，至多 30个） ，当天如果没有售完，剩余的面包以每个 2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近 30天的日需求量（单位：个） ，整理得下表：（1）根据表中数据可知，频数 与日需求量 （单位：个）线性相关，求 关于 的线性回归方程；（2）以 30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为 24，记当日这款新面包获得的总利润为 （单位：元）.（）若日需求量为 15个，求 ；（）求 的分
16、布列及其数学期望.相关公式： ， 【答案】 （1） ；（2） （） 元；（）详见解析.【解析】【分析】（1）求出 ， 及 ，利用回归直线经过样本中心点得到 ，即可得到结果；（2） （）日需求量为 15个，则 元；（）X 可取 72,96,120,144，计算相应的概率值，即可得到分布列及期望.【详解】 （1） ， ，故 关于 的线性回归方程为 .（2） （）若日需求量为 15个，则 元（）若日需求量为 18个，则 元若日需求量为 21个，则 元若日需求量为 24个或 27个，则 元故分布列为.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值
17、，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等） ，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.20.已知椭圆 的左、右焦
18、点分别为 ， ，过点 的直线与椭圆交于 两点，延长 交椭圆 于点 ， 的周长为 8.（1）求 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求 ；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） , ； （2）存在点 ，且 .【解析】【分析】（1）由已知条件得 ， ，即可计算出离心率和椭圆方程（2）假设存在点 ，分别求出直线 的斜率不存在、直线 的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果【详解】 （1）由题意可知， ，则 ，又 的周长为 8，所以 ，即 ，则 ， .故 的方程为 .（2）假设存在点 ，使得 为定值.若直线 的斜率不存在，直线 的方程为 ， ， ，则 .若直线 的斜率存在，
19、设 的方程为 ，设点 ， ，联立 ，得 ，根据韦达定理可得： ， ，由于 ， ，则 因为 为定值，所以 ，解得 ，故存在点 ，且 .【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握21.已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）对 时，对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】【分析】(1) 函数 的定义域为 ，求出导函数 ，对 a分类讨论，解不等式即可得到 的单调性；（2）因为 ，所以 ，由（1）可得 的最值，进而得到 的取值范围.【详解】解：（1
20、）函数 的定义域为 ， ，当 时， ， ，所以 在 上单调递减；， ，所以 在 上单调递增.当 时， ， ，所以 在 上单调递减；， ，所以 在 上单调递增.（2）因为 ，所以 ，由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .因为 与 ，所以 .设 ，则 ，所以 在 上单调递增，故 ，所以 ，从而 ，所以 ，即 .设 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递增，又 ，所以 等价于 ，则 .因为 ，所以 的取值范围为 .【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，
21、直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 .（1）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；（2）若直线 与曲线 交于 两点， ，求 .【答案】 （1）x+y-1=0, ； （2） .【解析】【分析】(1)运用消参方法求出直线 的普通方程，结合公式代入求出曲线 的直角坐标方程(2)运用参量代入计算，求出 的结果【详解】 （1）直线 的普通方程为： .由 ，得 ，则 ，故曲线 的直角坐标方程为
22、.（2）将 代入 ，得 ，则 ，故 .【点睛】本题考查了参数方程与普通方程之间的转化，较为简单，在计算长度的时候将参量代入进行求解会减小计算量，方便计算23.已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若 的最小值为 ，且 ，证明： .【答案】 （1） ； （2）见解析.【解析】【分析】(1)分类讨论 三种情况下的解集(2)先求出 的最小值为 ，代入后运用基本不等式证明不等式成立【详解】 （1）由 ，得 ，则 或 或 ，解得： ，故不等式 的解集为 .（2）证明：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，故 .【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法，需要对其分类讨论，然后再求解，在证明不等式时运用了基本不等式 的用法，需要掌握此类题目的解法
