1、广东省汕头市达濠华侨中学，东厦中学 2019 届高三上学期第一次联考数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分）1.已知全集 , 集合 , , 则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法化简集合 ,根据补集与交集的定义计算即可.【详解】集合 ，全集 ， ，故选 D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且不属于集合 的元素的集合.2.复数 ，则 （ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】，
2、故选 C.3.在等比数列 中， ，则 a6= （ ） A. 6 B. 8 C. -8 D. 8【答案】D【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，所以 ，则 ，选 D.4.函数 的部分图象如图所示，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数 的图象可得 ，可解得 ；再由“五点作图法”解得 ,从而可得 .【详解】由函数 的图象可知， ，故 ，解得 ，由“五点作图法”得 ，解得 ,，故选 B.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，正确求 是解题的关键.求解析时求参数
3、是确定函数解析式的关键，由特殊点求 时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口， “第一点”(即图象上升时与 轴的交点) 时 ；“第二点”(即图象的“峰点”) 时 ；“第三点”(即图象下降时与 轴的交点) 时 ；“第四点”(即图象的“谷点”) 时 ；“第五点”时 .5.函数 的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,它的最小正周期为 .6.已知双曲线 的渐近线方程为 ，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ， ，半焦距 ， ，故选 D.考点：双曲线的标准方程及其性质.7
4、.执行下面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】阅读流程图，初始化数值 . 循环结果执行如下：第一次： ；第二次： ；第三次： ；第四次： ；第五次： ；第六次： ；结束循环，输出 .故选 B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.8.变量 ， 满足 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域
5、，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出 表示的可行域，由 ，可得 ，将 变形为 ，平移直线 ，由图可知当直 经过点 时,直线在 轴上的截距最大，目标函数 取得最大值 ，由图可知当直 经过点 时,直线在 轴上的截距最小，在点 处取得最小值 ，故选 A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点
6、就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.已知某几何体的外接球的半径为 ，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）A. 16 B. C. D. 8【答案】C【解析】由该三视图可知：该几何体是一个正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于该正方体的外接球，设正方体的棱长为 ，则有 ，故该正四面体的体积为，选 C.10.已知 x， y 均为正实数，且 ，则 x y 的最小值为（ ）A. 24 B. 32 C. 20 D. 28【答案】C【解析】因为 均为正实数，所以，应选答案 C。11.已知函数 是 上的奇函数，对于 都有 ，且 时，则 的值为A. 1 B
7、. 2C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】由 ,得到 ，即函数的周期是 4 ,利用函数的周期性和奇偶性即可进行求值.【详解】 ，即函数的周期是 4，是 上的奇函数， ，当 时， ，所以 ，故选 C.【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进
8、行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.12.已知函数 是(，)上的减函数，则 a 的取值范围是A. (0，3) B. (0，3 C. (0，2) D. (0，2【答案】D【解析】【分析】由 为 上的减函数，根据 和 时， 均单调递减，且 ，即可求解.【详解】因为函数 为 上的减函数，所以当 时， 递减，即 ，当 时， 递减，即 ，且 ，解得 ，综上可知实数 的取值范围是 ，故选 D.【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性
9、质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.第卷（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上）13.已知函数 ，则 .【答案】【解析】试题分析：因为 ，所以 ， .考点：分段函数求值.14.曲线 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.详解：点睛：求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点.1
10、5.不共线向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为_【答案】【解析】由垂直可知 =0,即 , , ,又因为 ,所以 .填 （或 ）.16.已知函数 ，若对任意 ，有 0 或 0 成立，则实数 的取值范围是_【答案】-3m-2【解析】【分析】由题意可知 时， 成立，进而得到 对 均成立，得到 满足的条件 ,求解不等式组可得结果.【详解】由 ,得 ，故对 时， 恒成立，由 ,得 ，故对 时， 不成立，从而对任意 ， 恒成立，画出函数的图象，由图可知，函数 的图象开口向上，且两个零点都大于 1,可得 满足 ，解得 ，则实数 的取值范围是 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查指数函数、二次函数的图象与性
11、质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分）17.某学校有初级教师 21 人，中级教师 14 人，高级教师 7 人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取 6 人对绩效工资情况进行调查(1)求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；(2
12、)若从抽取的 6 名教师中随机抽取 2 名做进一步数据分析，求抽取的 2 名均为初级教师的概率。【答案】 （1）3,2,1； （2） .【解析】【分析】(1)先求出每位教师被抽到的概率，再用每层的教师数乘以毎位教师被柚到的概率，即得应从每层教师中抽取的人数；(2) 从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为3,2,1，列出抽取 2 名教师的所有可能结果，以及从 6 名教师中抽取的 2 名教师均为初级教师的结果，利用古典概型的概率公式计算，即可得到结果.【详解】 （1）从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为 3,2,1. ( 2 )在抽取到的 6 名教师中，3 名初级教师分别记为
13、 A1， A2， A3,2 名中级教师分别记为A4， A5，高级教师记为 A6，则抽取 2 名教师的所有可能结果为 A1， A2， A1， A3， A1， A4，A1， A5， A1， A6， A2， A3， A2， A4， A2， A5， A2， A6， A3， A4， A3， A5，A3， A6， A4， A5， A4， A6， A5， A6，共 15 种从 6 名教师中抽取的 2 名教师均为初级教师(记为事件 B)的所有可能结果为 A1， A2，A1， A3， A2， A3，共 3 种所以 P(B) .【点睛】本题主要考查分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式
14、求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ， . ，再 ， 依次 . 这样才能避免多写、漏写现象的发生.18.已知向量 ，设函数 .（）求 的最小正周期.（）求 在 上的最大值和最小值.【答案】 （） ，最小正周期为 ；（） 在 上的最大值和最小值分别为1， .【解析】试题分析：（1）计算得 ， ；（2）求出 的范围，利用 的单调性求解即可.试题解析：（） .最小正周期 ，所以 ，最小正周期为 .（）当 时， ，由标
15、准函数 在 上的图像知，所以 在 上的最大值和最小值分别为 1， .19.已知等差数列 的前 项和 满足 .（1）求 的通项公式；（2）设 求数列 的前 项和 .【答案】 （） ；（） 【解析】试题分析：（）由于数列是等差数列，因此由前 项和公式把 用首项 和公差 表示并解出，再由等差数列通项公式写出通项；（2）由（）知 ，要求前 项和首先写出 ，在 两边同乘以公比 ，错位后相减化为等比数列的和，从而求得结果试题解析：（）设等差数列 的公差为 ，首项为 ， 即 ，解得 的通项公式为（）由（）得 式两边同乘以 ，得 -得考点：等差数列的通项公式，前 项和公式，错位相减法20.在 中， 分别是内角
16、 的对边，且 ， .（1）求边 的值；（2）求 的周长的最大值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：(1)由题意结合两角和差正余弦公式和余弦定理可得 .(2)由题意结合余弦定理有 ，结合均值不等式等号成立的条件可知 的周长的最大值为 .试题解析：（1）由 得 . ，即 .由正弦定理得 ，故 .（2）由余弦定理得， . ， .所以当 时， 的周长的最大值为 .21.如图，在正方体 中，E、F 分别是 的中点.（1）证明: ；（2）证明:面 ；（3）设 ，求三棱锥 的体积。【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3） .【解析】【分析】(1)利用正方体的性质，由线面垂直的判定定理先
17、证明 平面 ，结合线面垂直的性质即可得证；(2)取 的中点 ，连接 ，运用三角函数的知识，证得 ，再由线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，即可得证；（3）体积 ，先证明三棱锥 的高 ,由棱锥的体积公式可得结果.【详解】如图，在正方体 中，E、F 分别是 的中点.（1） 是正方体, ，又 ， ，（2）由（1）知 取 的中点 ，连接 ，运用三角形相似，证得 ，所以可得 , 面 ,所以面 .（3）体积 ，又 FG面 ，三棱锥 F- 的高 FG=面积 。 。【点睛】本题主要考查正方体的性质、线面垂直的判定定理与性质及面面垂直的判定定理，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间
18、中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.22.以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标为 ，若直线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 （ 为参数）（1）求直线 l 和曲线 的普通方程；（2）设直线 l 和曲线 交于 两点，求 【答案】 （1） 和 ；（2）1【解析】【分析】（1）直线的极坐标方程为 ，利用互
19、化公式，能求出直线 的普通方程，曲线的参数方程利用代入法消去参数能求出曲线 的普通方程；（2）点 的直角坐标为 ，点在直线 上，求出直线 的参数方程，得到 ，由此利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义，能求出 的值.【详解】 （1）因为 ，所以由 ，得 ，因为 消去 t 得 所以直线 l 和曲线 的普通方程分别为 和 （2）点 的直角坐标为 ，点 在直线 l 上，设直线 的参数方程： （t 为参数） ，对应的参数为 【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，属于简单题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可
