1、消费者理论,版权所有，仅供复旦大学学生学习使用，未经允许请勿擅自引用或传播,2,What have we learned?,偏好 偏好（理性偏好） 偏好公理 效用 代表偏好的效用函数 性质 消费者问题 用偏好表示 用效用表示,3,What have we learned?,Modern Consumer Theory：在消费者偏好基础上完全重新阐释消费者行为理论 在现代理论中，效用函数仅仅是一个归纳消费者偏好所包含的信息的方便工具,4,补充说明,偏好假设（or理性偏好or一致偏好）对于现代消费者理论是必需的吗？ No显示偏好 从消费者的选择行为出发研究消费者的需求规律,5,需 求,马歇尔需求函
2、数与间接效用函数 希克斯需求函数与支出函数 几个重要的恒等式 需求函数的性质与禀赋,6,二、 个人选择与比较静态分析 (间接效用函数与支出函数),The Consumers Choice and Comparative Analysis：Indirect Utility and Expenditure Function,7,消费者问题的假设,消费者偏好具有完备性、可传递性、连续性、严格单调性和严格凸性。 代表该偏好的效用函数u(x) 连续、严格递增、严格拟凹。 定义在 上直接代表偏好的效用函数u(x)也被称为直接效用函数。 市场经济(Market Economy) 价格p不受消费者行为影响，
3、p0 可行集B：竞争性预算集 B=x0 | pxm, m0 B是紧集（有限闭集）,8,The Consumers Problem,问题：消费者在可行集 上按照定义在 上的偏好关系 选择最偏好的可行选择x* B 使得 x B 都有 x* x问题：效用最大化Max x0 u(x) s.t. pxm,Max x0 u(x) s.t. pxm,9,2.1 间接效用函数,由解的存在性和唯一性定理，效用最大化问题：Max x0 u(x) s.t. px=m 存在唯一的解，记为x(p,m)，也称为马歇尔需求函数 从而：u(x)= u(x(p,m) v(p,m) v(p,m)称为间接效用函数 Def：间接效用
4、函数v(p,m)是效用最大化问题的值函数： v(p,m) Max x0 u(x) s.t. px=m,10,间接效用函数,构造拉格朗日函数： L(x,p,m)=u(x1,x2)+ (m-p1x1-p2x2) 显然，由包络定理，有：,11,间接效用函数的性质,假设u(x)连续、递增； p0，m0。Prop. 1：v(p,m)在 上是连续函数Prop. 2：v(p,m)是(p,m)的零次齐次函数 v(tp,tm)=v(p,m), t0 证明： t0, B(tp,tm)=B(p,m), 从而x(tp,tm)=x(p,m), v(tp,tm)=v(p,m)。,12,间接效用函数的性质,Prop. 3：
5、v(p,m)是m的递增函数 证明1： mm，B(p,m) B(p,m)，从而v(p,m) v(p,m)。 证明2：若u(x)可微，则由包络定理， 若偏好还满足局部非饱和性，v(p,m)是m的严格递增函数Prop. 4：v(p,m)是p的递减函数 证明1： pp，B(p,m) B(p,m)，从而v(p,m) v(p,m)。 证明2：若u(x)可微，则由包络定理：,13,间接效用函数的性质,Prop. 5：Roys Identity若v(p,m)在(p,m)处可微，且 ，则：证明1：包络定理,14,2.2 支出函数,v(p,m)对m递增，若偏好还满足局部非饱和性，则v(p,m)对m严格递增。 从而
6、间接效用函数有反函数： 给定效用水平u，都可以找到价格p下实现u的最小收入m 支出最小化问题 (EMP)Minx e=px s.t. u(x)=u 如果u(x)连续，EMP一定存在最小值 如果u(x)是连续严格拟凹函数，那么最优解唯一 最优解：h(p,u),15,支出最小化问题,效用最大化问题（UMP）：Max x0 u(x) s.t. px=mx(p,m): 马歇尔需求函数(Marshallian demand function) 支出最小化问题（EMP）：Min x0 pxs.t. u(x) = uh(p,u): 也称为希克斯需求函数（Hicksian demand function）或补
7、偿需求函数,16,支出函数(Expenditure Function),Def：支出函数e(p,u)是支出最小化问题的值函数： e(pu) Min x0 px s.t. u(x) = u L(.)= px +u u(x) 显然，由包络定理，有：,17,支出函数的性质,Prop. 1：e(p,u)在 上是连续函数Prop. 2：e(p,u)是p的一次齐次函数 e(tp,u)=te(p,u), t0 证明：设x是(p,u)下支出最小化问题的解。假设x不是(tp,u)下支出最小化问题的解，记x是价格tp下的最优消费束。则 e (tp,u) =tp. x 0，有： p. x p.x, x不是价格p下最
8、小化支出的消费束，矛盾。从而x也是价格tp下最小化支出的消费束，e(tp,u)=tp.x=te(p,u)。,18,支出函数的性质,Prop. 3：e(p,u)是u的递增函数 证明1：B(p,u) B(p,u)，uu 证明2：若e可微，由包络定理，Prop. 4：e(p,u)是p的递增函数 证明：设x1、x2分别是p1、p2下的最优消费束，p1p2。则： p1x1 p1x2 p2x2。,19,支出函数的性质,Prop. 5：e(p,u)是p的凹函数 证明：设x1、x2分别是p1、p2下的最优消费束，t0，设pt=tp1+(1-t)p2，xt是pt下的最优消费束，则： e(pt,u)=ptxt=t
9、p1xt+(1-t)p2xttp1x1+(1-t)p2x2， 即e(pt,u)te(p1,u)+(1-t)e(p2,u)，从而e(p,u)对p凹。,20,支出函数的性质,Prop. 6：Shephards Lemma若e(p,u)对p可微，且pi0，则：证明1：包络定理 L(x,p,u)=px+ u-u (x),21,2.3 几个重要的恒等式,效用最大化问题（UMP）：Max x0 u(x) s.t. px=mx(p,m)，马歇尔需求函数 支出最小化问题（EMP）：Min x0 pxs.t. u(x) = u h(p,u)，希克斯需求函数,22,效用最大化(UMP)与支出最小化(EMP),效用
10、最大化问题(UMP)的解是给定该最大化效用水平下支出最小化(EMP)问题的解： x(p,m)=h(p, v(p,m) 支出最小化问题(EMP)的解是给定收入为该最小化花费水平下效用最大化问题的解： h(p,u)=x(p, e(p,u),Min x0 px s.t. v(p,m) = u(x),Max x0 u(x) s.t. p.x=m,23,几个重要的恒等式,普通(马歇尔)需求函数与补偿（希克斯）需求函数： x(p,m)h(p, v(p,m) h(p,u)x(p, e(p,u) 类似的，间接效用函数与支出函数也有两个重要的恒等式： uv(p,e(p,u) me(p,v(p,m),24,2.4
11、 需求函数的性质,因为x(tp,tm)=x(p,m), 所以： x(p,m)=x(p1/pn, p2/pn, ., 1, m/pn)Absence of Money Illusion (Relative Price, Real Income & Numerair),25,2.4.1 比较静态分析,收入扩展线：价格固定不变，收入m变化时最优商品组合的轨迹 Engel曲线：价格固定不变，收入m变化时第i种商品需求的变化 价格提供线(Price Offer)：收入固定不变，价格变化时最优商品组合的轨迹 图示&含义,26,收入扩展线 & Engel曲线,Cournot Aggregation: Eng
12、el Aggregation:,27,2.4.2 Slutskys Equation,支出最小化问题(EMP)的解是给定最小化花费水平下效用最大化问题的解： h(p,u)=x(p, e(p,u) 对pj 求偏导：,28,Slutskys Equation,Slutskys Equation:其中，u=v(p,m)。,替代效应,收入效应,29,x0,x1,xh,Hicks补偿,x0=x(p0,m),x1=x(p1,m),xh=h(p1,u0),=x(p1,m+m),x2,x1,o,m/p2,u1,u0,替代效应&收入效应 (Substitution Effect & Income Effect)
13、,30,Substitution Effect & Income Effect,Slutskys Equation:其中，u=v(p,m)。 正常商品： 0 劣质商品： ? 基芬商品： 0,需求定律：对于正常商品，价格上升，需求下降。,基芬商品一定是劣质品。,31,补偿和普通需求函数的性质,回顾：Sherphads Lemma & Slutskys Equation,32,2.4.3 补偿需求函数的性质,Prop. 1：h(p,u)在 上是连续函数 Prop. 2：h(p,u)是p的零次齐次函数 h(tp,u)=h(p,u), t0 证明：Shephards Lemma Prop. 3：The
14、 Compensated Law of Demand:补偿需求曲线一定向下倾斜,33,2.4.3 补偿需求函数的性质,Prop. 4： Dph(p,u)是半负定对称矩阵 支出函数e(p,u)是p的凹函数,34,2.4.4 普通需求函数的性质,Prop. 1：x(p,m)在 上是连续函数 Prop. 2：x(p,m)是(p,m)的零次齐次函数 x(tp,tm)=x(p,m), t0 证明： t0, B(tp,tm)=B(p,m), 证明：设x是(p,m)下效用最大化问题的解。假设x不是(tp,tm)下效用最大化问题的解，记x是(tp,tm)下效用最大化问题的解。则 tp. x tm, x x 由
15、t0，有： p. x m, x x，这与x是(p,m)下效用最大化问题的解矛盾。从而x也是(tp,tm)下效用最大化问题的解，x(tp,tm)=x(p,m)。,35,普通需求函数的性质,Prop. 3：x(p,m)是m的严格递增函数 (? v) 证明1：包络定理， 证明2：B(p,m) B(p,m)，mm Prop. 4：偏好严格单调，所以 px(p,m)=m (瓦尔拉斯法则),36,2.5 总结：对偶性深入分析,偏好,EMP,UMP,37,2.6 禀赋与需求函数,禀赋 价格变化的福利效果(图示)禀赋收入效应修正的斯勒茨基方程,38,2.6 禀赋与需求函数,劳动供给 初始禀赋 相对价格 比较静态（图） 劳动供给曲线（图） 加班工资（图）,39,习题,一、证明：Engel加总 二、效用函数为u=f(q,H)，q为商品量，H为消费商品的时间，且两者边际效用均大于零。W为工作时间，且W+H=24，r是工资，商品价格为p。问： 最优化问题的数学表达式是什么？ 找出dH/dr的表达式，其符号是否确定？为什么？,
