1、1高中数学常用公式及结论大全 (新课标)必修 11、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。描述法格式为：元素|元素的特征 ，例如 ,5|Nx且2、常用数集及其表示方法（1）自然数集 N（又称非负整数集）：0、1、2、3、 （2）正整数集 N*或 N+ ：1、2、3、（3）整数集 Z：-2、-1、0、1、 （4）有理数集 Q：包含分数、整数、有限小数等（5）实数集 R：全体实数的集合 （6）空集 ：不含任何元素的集合3、元素与集合的关系：属于，不属于 例如：a 是集合 A 的元素，就说
2、a 属于 A，记作 aA4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等（1）子集的概念如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集( 如图 1)，记作 或 .B若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素，那么 P 不包含于 Q，记作 P（2）真子集的概念若集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集(如图 2). A B 或 B A.（3）集合相等：若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同则称集合 A 等于集合 B,记作 A=B.,5、重要结论（1）传递性：若 ， ，则C（2）空 集是任意集合
3、的子集，是任意非空集合的 真子集.6、含有 个元素的集合,它的子集个数共有 个；真子集有 1 个；非空子集有 1 个(即不计空集)；非空的真n2n2n2n子集有 2 个. 7、集合的运算：交集、并集、补集（1）一般地，由所有属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB（读作A 交 B） ，即 AB= x|xA，且 xB （2）一般地，对于给定的两个集合 A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做 A,B 的并集记作 AB（读作A 并 B） ，即 AB= x|xA，或 xB （3）若 A 是全集 U 的子集，由 U 中不属于 A 的元素构成的集合，叫做 A 在
4、 U 中的补集，记作 , C,|且注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了 的情况。8、映射观点下的函数概念如果 A，B 都是非空的数集，那么 A 到 B 的映射 f：AB 就叫做 A 到 B 的函数，记作 y=f(x)，其中 xA，yB.原象的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域，象的集合 C（C B）叫做函数 y=f(x)的值域.函数符号 y=f(x)表示“y 是 x 的函数” ，有时简记作函数 f(x).9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如 312xy010、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）分式的分母不为零； 01,:xy则如偶次方根的
5、被开方数大于或等于零； 05,:xy则如对数的底数大于且不等于； 1)2(logaxa且则如对数的真数大于； ),(l:ya则如指数为的底不能为零； ,则xm1如 011、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）奇函数满足 ， 奇函数的图象关于原点对称；)()(fxf（2）偶函数满足 ， 偶函数的图象关于 y 轴对称；注：具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; 若奇函数在原点有定义,则 0)(f根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）当 时，都有 ，则 在该区间上是增函数，图象从左到右上升；21x)(21x
6、ff)(f当 时，都有 ，则 在该区间上是减函数，图象从左到右下降。函数 在某区间上是增函数或减函数，那么说 在该区间具有单调性，该区间叫做单调（增 /减）区间)(f )(xf13、一元二次方程 20axbc()a（1）求根公式: （2）判别式：c422,1acb42（3） 时方程有两个不等实根； 时方程有一个实根； 时方程无实根。00（4）根与系数的关系韦达定理: ，abx21x2114、二次函数：一般式 ； 两根式cbaxy2(0)(21xy0a（1）顶点坐标为 ；（2）对称轴方程为：x= ；4(,)ab2（3）当 时，图象是开口向上的抛物线，在 x= 处取得最小值0a c42当 时，图象
7、是开口向下的抛物线，在 x= 处取得最大值ab2ab2（4）二次函数图象与 轴的交点个数和判别式 的关系：x时，有两个交点； 时，有一个交点（即顶点） ； 时，无交点。00015、函数的零点使 的实数 叫做函数的零点。例如 是函数 的一个零点。)(f0 10x1)(2xf注：函数 有零点 函数 的图象与 轴有交点 方程 有实根xyfy0f16、函数零点的判定：B A A,B(图 1)或B A(图 2)A BA BCUA xy02如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 。那么，函数xfyba, 0)(bfa在区间 内有零点，即存在 。xfyba, 0,cfc使 得17、分数指数幂
8、 （ ，且 ）0,mnN1（1） .如 ；(2) . 如 ；（3） ；nma23xnmnmaa 231x()na（4）当 为奇数时， ； 当 为偶数时， .n,0|n18、有理指数幂的运算性质（ ）Qsra,0（1） ； （2） ； （3）srsra rsa)( rrba)(19、指数函数 （ 且 ） ，xy1其中 是自变量， 叫做底数，x定义域是 R20、若 ，则 叫做以 为底 的对数。记作： （ ， ）NabNbNalog1,0a0N其中， 叫做对数的底数， 叫做对数的真数。注：指数式与对数式的互化公式： logba(,)21、对数的性质（1）零和负数没有对数，即 中 ；Nal0（2）1
9、的对数等于 0，即 ； 底数的对数等于 1，即1og1loga22、常用对数 ：以 10 为底的对数叫做常用对数，记为：l Nl0自然对数 ：以 e(e=2.71828)为底的对数叫做自然对数，记为：Nn eln23、对数恒等式： alog24、对数的运算性质（a0，a1，M0，N0）(1) (2) ;log()llogaaaMNNlloglaaaMN(3) （注意公式的逆用）()nR25、对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ).llogma0a10m10推论 或 ； .llogabloglmnaab26、对数函数 （ ，且 ）：其中， 是自变量， 叫做底数，定义域是xyalog01x )
10、,0(27、 指数函数 与对数函数 互为反函数；它们图象关于直线 对称.xayxyalogxy28、幂函数 （ ） ，其中 是自变量。要求掌握 这五种情况(如下图)R3,2129、幂函数 的性质及图象变化规律：x（）所有幂函数在（0，+ ）都有定义，并且图象都过点（ 1，1） ；（）当 时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间 上是增函数 ),0（）当 时，幂函数的图象在区间 上是减函数),0(110a图象（1）定义域：R（2）值域：（0，+ ）（3）过定点（0，1） ，即 x=0 时， y=1性质（4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数0a图像定义域：(0, )值域：R过定点（1，0
11、）性质增函数 减函数取值范围01 时，y000x1 时，y021-1-2-3-2 2321-1-2 2321-1-2-2 2xy 1xy2xy31111111y0 1x0xxy01xy013必修 230、边长为 的等边三角形面积a243aS正31、柱体体积： ，锥体体积： 球表面积公式： ， 球体积公式：h底柱 Vh锥底 1V24RS球 34RV32、四个公理： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。 平行于同一直线的两条直线平行（平行的传递性） 。33、等
12、角定理：空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补(如图)34、两条直线的位置关系： 异 面 直 线 相 交平 行共 面 直 线直线与平面的位置关系：（1）直线在平面上；（2）直线在平面外（包括直线与平面平行，直线与平面相交）两个平面的位置关系：（1）两个平面平行；（2）两个平面相交35、直线与平面平行：定义 一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。36、平面与平面平行：定义 两个平面没有公共点，则这两平面平行。判定 若一
13、个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平 行。性质 如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。37、直线与平面垂直：定义 如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。性质 垂直于同一平面的两条直线平行。两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。38、平面与平面垂直：定义 两个平行相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。判定 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。性质 两个
14、平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。39、三角形的五“心”（1） 为 的外心（各边垂直平分线的交点） .外心到三个顶点的距离相等OABC（2） 为 的重心（各边中线的交点） .重心将中线分成 2：1 的两段（3） 为 的垂心（各边高的交点） .（4） 为 的内心（各内角平分线的交点） . 内心到三边的距离相等（5） 为 的 的旁心（各外角平分线的交点）.40、直线的斜率：(1) 过 两点的直线，斜率 ， （ ）21,yxBA12xyk2（2）已知倾斜角为 的直线，斜率 （tan)90（3）曲线 在点（ 处的切线，其斜率)(xfy),0y(fk41、直线位置关系：已知两直线
15、，则2211:,: bxylbxkl 1/ 2221 lkl 且特殊情况：（1）当 都不存在时， ；（2）当 不存在而 时，1,1/l1k0221l42、直线的五种方程 ：点斜式 (直线 过点 ，斜率为 )ykxl),(yx斜截式 (直线 在 轴上的截距为 ，斜率为 ).bb两点式 (直线过两点 与 ).1122,1,(2截距式 （ 分别是直线在 轴和 轴上的截距，均不为 0）byaxa,xy一般式 (其中 A、B 不同时为 0)；可化为斜截式：0ABC BCxAy43、 （1）平面上两点 间的距离公式：|AB|=),),21yx 2121)()(y（2）空间两点 距离公式|AB|=(1zzy
16、x 2122zx（3）点到直线的距离 (点 ，直线 ： ).02|AByCd0,)Pyl0AByC44、两条平行直线 与 间的距离公式：1x2x 21d注：求直线 的平行线，可设平行线为 ，求出 即得。0ACBy 0mByx45、求两相交直线 与 的交点：解方程组11x 0A22CyBx0A2211CyBx46、圆的方程：圆的标准方程 . 其中圆心为 ，半径为22()()abr),(bar圆的一般方程 .0xyDEF其中圆心为 ，半径为 ，其中 0)2,( 24r24DEF47、直线 与圆的 位置关系0CByAx2)()(rbyax1 2 3：（不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点）：（
17、在同一平面内，没有公共点）：（在同一平面内，有一个公共点）其中 是圆心到直线的距离，且d 2BACd4（1） ;0交rd（2） ; （3） . 0交rd48、直线与圆相交于 两点，求弦 AB 长度的公式：（1）),(),(21yxBA 2|drAB（2） （结合韦达定理使用） ，其中 是直线的斜率2124|kk49、两个圆的位置关系：设两圆的圆心分别为 O1，O 2，半径分别为 r1，r 2， O11） ; 2） ;交交21rd 交交3d3） ; 4） ;交21 1215） 交0必修公式表50、算法：是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有
18、限步之内完成.51、程序框图及结构程序框 名称 功能起止框表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息处理框 赋值、计算判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y” ；不成立时标明“否”或“N”52、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。53、三种抽样方法的区别与联系类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围简单随机抽样 从总体中逐个抽取 总体中个体数较少分层抽样将总体分成几层进行抽取各层抽样可采用简单随机抽样或系统抽样总体有差异明显的几部分组成系统抽样抽取过程中每个个体被抽取的概率相等 将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分抽取
19、在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体较多54、 （1）频率分布直方图（注意其纵坐标是“频率/组距）， ， 组 距极 差组 数 样 本 容 量频 数频 率 。频 率组 距频 率组 距小 矩 形 面 积 （2）数字特征 众数：一组数据中，出现次数最多的数。中位数：一组数从小到大排列，最中间的那个数（若最中间有两个数，则取其平均数） 。平均数： 方差: =nxxn212s222213()()()()nxxxn标准差： 注：通过标准差或方差可以判断一组数据的分散程度；其s值越小，数据越集中；其值越大，数据越分散。回归直线方程： ，其中 ，abxyniiixy12xba55、事件的分类：（1）
20、必然事件：必然事件是每次试验都一定出现的事件。P（必然事件）=1（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P（不可能事件）=0（3）随机事件：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件基本事件：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。56、在 n 次重复实验中，事件 A 发生的次数为 m，则事件 A 发生的频率为 m/n，当 n 很大时，m 总是在某个常数值附近摆动，就把这个常数叫做事件 A 的概率。 （概率范围： ）1P057、互斥事件概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件（如图 1） 。如果事件 A、
21、B 是互斥事件，则 P（A+B）=P （A）+P（B）58、对立事件（如图 2）：指两个事件不可能同时发生，但必有一个发生。对立事件性质：P（A）+P（ ）=1 ，其中 表示事件 A 的对立事件。59、古典概型是最简单的随机试验模型，古典概型有两个特征：（1）基本事件个数是有限的；（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同60、设一试验有 n 个等可能的基本事件，而事件 A 恰包含其中的 m 个基本事件，则事件 A 的概率 P(A)公式为 = 基 本 事 件 的 总 数包 含 的 基 本 事 件 的 个 数AP运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率
22、公式分别求它们的概率，然后计算。 在计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。61、几何概型的概率公式： )(AP面 积 或 体 积区 域 长 度试 验 的 全 部 结 果 构 成 的 面 积 或 体 积的 区 域 长 度构 成 事 件必修公式表62、终边相同角构成的集合： Zk,2|63、弧度计算公式： rl64、扇形面积公式： ( 为弧度)21rS65、三角函数的定义：已知 是 的终边上除原点外的任一点yxP,则 ,其中rrytancossin， 22yx66、三角函数值的符号v sincostann)rl+ + + + yP(x,y) ) xr567、特殊角的三角函数值： 0
23、 6432345623sin 0 121 210 -1cos1 320 - - 2- 3-1 0tan0 31 3不存 在-3-1 - 30 不存 在68、同角三角函数的关系： cosinta,cossin2269、和角与差角公式： 二倍角公式：; sin()ii2i; cocss 22sin1sins1cos2. tanta()1 2tat70、诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限；其中，奇偶是指 的个数,符号参考第 66 条.tan2tancoscosiiktantcosiitantcosiitantcosii)i(i)2()2i(i)2(71、辅助角公式： = (辅助角 所在象限与
24、点 的象限相同,且sicosb2sbb).主要在求周期、单调性、最值时运用。 如tanb )6sin(2cosin3xxy72、半角公式(降幂公式)： ，2cos1sin221273、三角函数 的性质（ ）)(xAy 0,A（1）最小正周期 ；振幅为 A；频率 ；相位： ；初相： ；值域： ；TTfx,A对称轴：由 解得 ；对称中心：由 解得 组成的点k2xkx)0(（2）图象平移： 左加右减、 上加下减。xy例如：向左平移 1 个单位，解析式变为 )1(sinxy向下平移 3 个单位，解析式变为 3A（3）函数 的最小正周期 .tan()yT74、正弦定理：在一个三角形中，各边与对应角正弦的
25、比相等。(R 是三角形外接圆半径)RCcBbAa2sinisin75、余弦定理：推论 .cos2,222abcb .2cos,s22abcCBabA76、三角形的面积公式： .sin1iin21SABC Aab77、三角函数的图象与性质和性质三角函数 xysixycoxytan图象定义域 ),(),()2,(k值域 -1，1 -1，1 最大值 ，kx21maxy，k21maxy最小值，miny，in周期 22奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数在 ,k上是增函数在 ,k上是增函数在 )2,(k上都是增函数单调性 Zk在 23,2上是减函数在 2,上是减函数78、向量的三角形法则： 79、向量的平行四
26、边形法则：80、平面向量的坐标运算:设向量 a= ,向量 b=1()xy2(,)xy（1）加法 a+b= .（2）减法 a-b= .12(,x12)yx0 21-1-y x0 21-1-xy0 3-aa+bbabb-aab a+b6（3）数乘 a=),(),(11yxy（4）数量积 ab=|a|b|cos= ，其中 是这两个向量的夹角2（5）已知两点 A ，B ，则向量 .1(,)xy2(,) 21(,)ABOxy81、向量 a= 的模：|a|= ，即, 2yxa|a82、两向量的夹角公式 122cosb83、向量的平行与垂直 （b 0） a= ,b=1()xy2()(1)a|b b=a .
27、(2)a b ab=0 . 12120xy必修公式表84、数列前 项和与通项公式的关系:n( 数列 的前 n 项的和为 ).2 ; 1nSan， ， a12nnsa85、等差、等比数列公式对比 Nn等差数列 等比数列定义式 dan1 ( )qan10通项公式及推广公式m mn1中项公式 若 成等差，则,aAb2ba若 成等比，则,Gb2ab运算性质若 ，则npqrmra若 ，则pqr2nmra前 项和公式ndnS21 .1 1, 1qqSnnn，一个性质 成等差数列23,mm 成等比数列232,mmS86、 ； ； 0ab0ab0ab比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法
28、等等。87、不等式的性质： ； ； ；,cabc ， ； ；,0abcabc,0acb,cdacbd ； ；dd1nn ,1nn88、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式 24bac000二次函数 yx的图象0一元二次方程 20axbc的根0有两个相异实数根 1,2bxa有两个相等实数根 12bxa没有实数根2a12或 R一元二次不等式的解集 0xbc12x89、线性约束条件：由 ， 的不等式（或方程）组成的不等式组，是 ， 的线性约束条件yxy目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量 ， 的解析式y线性目标函数：目标函数为 ， 的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解 可行域：所有可行解组成的集合,xy最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解90、设 、 是两个正数，则 称为正数 、 的算术平均数， 称为正数 、 的几何平均数ab2abbabb91、均值不等式定理： 若 ， ，则 ，即 02a92、常用的基本不等式： ； ；2,abaR,bR ； 20,b 22,aab93、极值定理：设 、 都为正数，则有xy若 （和为定值） ，则当 时，积 取得最大值 sxy24s若 （积为定值） ，则当 时，和 取得最小值 pp
