1、动物集群运动行为模型1动物集群行为运动模型摘要在动物界，存在着大量的集群行为，这种现象在食草动物、鸟、鱼和昆虫中都存在。令人惊奇的是这些动物群在运动过程中具有很明显的凝聚性，方向性和一致性。近一些年，研究动物集群行为已经成为科学界的一项热门课题。通过数学模型来模拟动物群的集群运动行为以及探索动物群中的信息传递机制一直是仿生学领域的重要内容。形成相应的新算法，是有效研究动物间传递信息、抵御天敌、物种迁徙的重要方法，同时对于科学技术的进步、研究信息交换和网络技术、无人机系统（UAV）有着十分深远的影响。对于问题一，为了模拟动物的集群运动。我们引入了 Boid 模型。通过个体间的距离划分出了排斥区域
2、、一致区域和吸引区域。当相邻个体处于排斥去则保持足够的距离，尽量避免碰撞，当处于一致区域则尽量保持速度矢量的相同，当处于吸引区域则要缩小之间的距离，以免被孤立。通过以上原则确定个体下一时刻的速度方向，从而通过 确定下一时刻的位置，()()iiicttvdtt通过迭代，模拟出集合 任意一个体 的运动方程。最终得到通过一定时间，N集群内各个体沿着相同方向运动。对于问题二，为了刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为，我们引入了排斥/吸引相互影响作用模型。在不含外界影响的情况下，确立了集群个体间的相互作用的函数。在此基础上引入外界条件，通过外界捕食者与集群间的排斥吸引关系对函数进行修改。最终建立了鱼群躲避黑
3、鳍礁鲨鱼的运动方程。通过Matlab 程序的实现，最终刻画了躲避捕食的运动行为。对于问题三，对于分析信息丰富着对整体同步性的影响。我们在 Boid 模型的基础上通过 Agent 算法建立了 Leader-Follower 模型。通过对第一问的模型加入少量领导者，对跟随者的运动规律不受影响，对领导者而言，由于受到周围平均方向 与一优先方向 的共同影响。通过算式()idtg确定领导者的下一步速度方向。进()/|()|iiit dt一步确立领导者和跟随者的运动方程。通过改变相同集群集合的领导者比例和优先方向影响权重 ，发现得到群体体统越大的集群达到同步所需的领导者比w例越小；领导者优先权重越大，系统
4、同步程度越高。关键字：Boid 模型 排斥/吸引相互影响作用模型 Agent 算法 Leader-Follower 模型 动物集群运动行为模型2一 问题重述在动物界，大量集结成群进行移动或者觅食的例子并不少见，这种现象在食草动物、鸟、鱼和昆虫中都存在。这些动物群在运动过程中具有很明显的特征：群中的个体聚集性很强，运动方向、速度具有一致性。通过数学模型来模拟动物群的集群运动行为以及探索动物群中的信息传递机制一直是仿生学领域的一项重要内容。请观察下面附件中给出的图片和视频资料，或者在网上搜索相关资料观察，思考动物集群运动的机理，建立数学模型刻画动物集群运动、躲避威胁等行为，考虑以下问题的分析建模：
5、1. 建立数学模型模拟动物的集群运动。 2. 建立数学模型刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为。3. 假定动物群中有一部分个体是信息丰富者(如掌握食物源位置信息，掌握迁徙路线信息)，请建模分析它们对于群运动行为的影响，解释群运动方向决策如何达成。二 模型假设1. 假设不考虑动物集群中个体的大小。2. 假设动物集群中个体的速度大小相等。3. 假设不考虑除热噪音以外的其他环境因素的影响。4. 假设集群中个体运动同步且无时间延迟。5. 假设群体中至少存在两个个体，且每个个体的运动受所有其它所有个体运动的影响。6. 假设集群中个体的视野角相同且为常数。三 符号说明动物集群运动行为模型3：集群中个体 的位置
6、矢量；ici：集群中个体 的速度矢量；iv：集群中个体运动速度的大小；：集群中个体的视野角；：集群中个体 在第 时刻的预期运动方向；()idtit：集群中个体运动的同步性系数；aV：集群中个体数；N：表示个体间的吸引 /排斥函数；()g：目标个体对群内个体的排斥函数；1f：目标个体对群内个体的吸引函数2()：集群中个体 之间的作用强度或权值；ijW,ij：优先方向的影响权重；， ：集群中个体间相互作用势函数；aVr：集群中领导者个体的优先方向；g：集群中跟从者 在时刻 的预期运动方向；Fidit：集群中领导者 在时刻 的预期运动方向；()Lit四 问题分析关于问题一，为了模拟出动物如何进行集群
7、运动，我们引入了 Boid 模型。通过对鱼的集群的具体分析以定性解决动物集群的运动特点。在问题中，我们通过把动物个体之间的距离远近分排斥区域、一致区域和吸引区域，通过对不同区域个体 根据周围其他个体的个数确定下一步行进的方向的规则确定。最终i在 Matlab 中实现物种集群行动的模拟。关于问题二，为了刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为，我们引入排斥/吸引相互影响作用模型，通过把捕食者与集群相对当作外界影响，对原有模型进行改进，建立有外界影响的集群中个体的运动方程与捕食者的运动方程。分析鱼群如何通过集群行动躲避捕食。关于问题三，是在第一问的基础上关于 Boid 模型的改进，由于每个个体的地位不再是
8、相等的，各个体之间相对的影响也不相同。因此我们引入了Leader-Follower 模型。通过分别对领导者和跟随者关系的分类。通过相应给动物集群运动行为模型4出相互影响的原则分别确定在三个区域中其他个体对该个体下一运动方向的影响。并通过比较不同优先方向影响权重 和（假定相同的跟随者的情况下）不同领导者个数 ，定量的分析信息丰富着对集群运动行为的影响。z五 模型的建立与求解（一） 问题一模型的建立与求解：Boid 模型的简单原则是：(1) 聚集，即尽量与距离间的个体靠的近一些，以避免被孤立；(2) 排斥，即防止与周围距离较近的个体发生碰撞；(3) 速度匹配，即努力与周围的个体速度保持一致。在此原
9、则的基础上，我们对模型进行详细的描述：设系统由 各个体组成，他们的位置和速度矢量分别为 ，每个个体在N,icv三维空间中的速度大小都为 。 为个体 在 时刻的预期方向。在每v1idti1t一步 ，每个个体都能感知到三维空间中其他不同个体的位置和角度，用这些信t息去计算 。把对每一个体按距离远近分为：排斥区域（zone of 1idtrepulsion） ，一致区域（zone of orientation） ，吸引区域（zone of attraction） 。三个区域如图所示：Boid 模型的三个区域示意图，zor 表示排斥区域，zoo 表示一致区域，zoa 表示吸引区域； 为视野盲区， 的取
10、值范围是 ,360a20。360动物集群运动行为模型5个体的运动规则为：首先，每个个体尽量与排斥区域（以该点为圆心，半径为 组成的球形区）r中的其他个体保持最小距离，并计其中的个数为 ，则个体 的预期方向按照rni下面的方向进行调整：， ，()(1)rniji tdt1,2.,0iNt其中 。()ijjirtc其次，如果 ，则个体 的预期方向受一致区域（以个体 为中心，处0rni i于 和 之间的球型区域，去除该个体后面的视角为 的盲区 ）以及吸r0 360引区（以个体 为中心，处于 和 之间的球形区域，去除该个体后面的视角i0ra为 的盲区 ）中的个体数的影响，记相应区域中邻居个体的个数分别
11、为 36，那可定义 ， 如下：0,an0(1)dt()at， ；0()nijvtt()(1)anijartdt如果 ，则0an；0(1)()idtt同样，如果 ，则 0；()()iatt如果两者都不为 0，则定义；01()()(1)2i adttdt如果经过上面的运算后得到的 ，或者在三个区域中都没有个体，则it(1)(iidvt设旋转速率为 ，则每一步个体能转动的最大角度为 ，如果 和 ()ivt之间的角度差小于 ，则 (1)idt动物集群运动行为模型6，(1)()iivtdt否则个体 向期望的方向旋转角度为 ，这样就确定了个体下一步的速度方i 向。 因此我们通过以上原则构建的方程组为： (
12、)ijjirtc(iiictvdtt00 00)1,2;(),;(1)1,2;(),2(raanij rijni rajinij raijnnijijijNtntvttdtriNtntrtvt 0;ratn 对于集群行动的同步性，我们通过 来表示：aV1|Niav其中 表示都有个体速度的模， 代表集群中个体数， 代表集群趋于稳v iv定后个体 的速度矢量。i在外界影响因素恒定, 的情况下得到进群趋于同步的图形10,N36a如下：时间为 1 时的图像 时间为 8 时的图像 时间为 20 时的图像动物集群运动行为模型7时间为 29 时的图像 时间为 40 时的图像 时间为 53 时的图像时间为 6
13、6 时的图像 时间为 84 时的图像 时间为 114 时的图像（此时间集群同步性趋于稳定）对图像结果分析我们可以得出，当时间为 114 时，集群以初步达到集群运动方向性的稳定状态（假设 100 个个体的集群中 的情况为集群行动趋于0.8aV同步） 。具体运动动画已由 Matlab 实现。(程序见附录一)（二）问题二模型的建立与求解：解决个体集群躲避捕食者的集群行为，首先要了解吸引/排斥相互作用模型。吸引/排斥原则是指个体之间的相互作用具有长距离吸引和短距离排斥的性质。在自主车辆和机器人研究领域Khatib提出“人工势场”这种虚拟方法。它的基本思想是将机器人在周围环境中的运动，设计成一种抽象的人
14、造引力场中的运动，目标点对移动机器人产生“引力”，障碍物对移动机器人产生“斥力”，趋向目标点同时避开障碍物，最后通过求合力来控制移动机器人的运动。在人工势场中的群体系统动态方程可以表示为： 1,(|)(|)MiijaijrijjxwVxx其中 表示个体 的状态向量， ； 表示个体 之间niXRi1,.iN0ijW,ij的作用强度或权值； 是个体间相互作用势函数； 是梯度算符；,arV。ijij在上式中，权系数 表示个体 之间没有相互作用，通常令 0ijW,ij 0ij。如果 ，则称个体 之间的相互作用是对称的。矩阵 描述ijji , w了群体系统的关联/通信拓扑结构。从而在不含外部作用的吸引/
15、排斥相互作用模型考虑考虑 维欧氏空间中一个有 个个体的群体模型。把每个个体视为一nM动物集群运动行为模型8个点，并且忽略它们的大小。群内个体 的位置记为 。假设同步运动且iinxR无时间延迟，所有个体同时运动且确切知道群内所有其他个体的状态。个体的运动方程为：i 1,(),Miijjixgx12.,M其中 表示个体间的吸引 /排斥函数， 每个个体的运动方向是由群内所有其他()g个体作用在这个个体上的吸引力/排斥力的总和决定的。吸引力 /排斥力函数为： 2|()exp()0ygyabc其中 为正常量，满足 ， 。,abc|T函数 表示的是群集内个体间的吸引 /排斥函数，参数 表示吸引项，而()g
16、 a代表排斥项。该函数表示在群集内，个体距离较远情况下，个2exp|/yc体间的关系表示为相互吸引，即作用系数 占主导地位；在个体距离较近的情a况下，个体间的关系表示为相互排斥，即作用系数 占主导地位。2exp(|/)byc当 时集群内个体不会产生相互的作用力，使得2|()exp()0ygyabc群集会向一个固定方向和目标运动。定义群体中心为 ，由于1(/)Mixx的对称性，中心 对应的所有时刻 都是静止的。换言之，由于 是关于()gxt ()g原点对称的，个体 向个体 运动正如个体 向个体 运动。ijji当群内成员在其排斥范围内没有任何相邻个体时，称这样的个体成员为自由个体。即成员 在时刻
17、满足 ，其中it|()|,ijxtjsi是群内成员的集合。1,2.sM由于所有的其他成员与自由个体间的距离远远大于0 ，因此，施加在个体上的总的作用力为群内所有其他个体对其吸引力的总和，这个力是指向群体中心 的，即群内个体将向中心运动。x对于每个个体 ，定义 。若个体 在时刻 是自由个1,2.i,iiexit体，它与群体中心 之间的距离大于 ，即 ，则在时x|()|ittx刻 ，它将沿 减少的方向运动（即向着中心 运动）。随着时间的推t|()|iet移，所有群内成员将会收敛于一个封闭球内： 。其中:|B动物集群运动行为模型9，而且，收敛时间是有限的，界限为/(2)exp(1/)bac。2mln
18、0iist V下面我们通过排斥/吸引相互作用模型，建立躲避/追捕模型来模拟刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为。考虑 维欧式空间中运动的一个含有 个个12,dM体的集群和一个目标个体（捕食者）之间的躲避和追捕行为。将每个个体视为空间中点且忽略它们的大小，假设群体中至少存在两个个体，且每个个体的运动受所有其它所有个体运动的影响，假设个体运动同步且无时间延迟。群体内个体 的运动方程和捕食者 的运动方程为：i 1M1,()(),1,2Miikikixgxfxi 1121(),MiMnif R其中 表示群体内个体 的位置向量。 表示群体内个体之间的吸引/排inxR(g斥函数， 表示目标个体对群内个体的排斥
19、函数，反映目标个体对群内个体1()f的排斥力； 表示目标个体对群内个体的吸引函数，反映目标个体对群内个2体的吸引力； 表示目标个体的位置向量。1Mx选取群内个体之间的吸引/排斥函数为： 1(),ngyabyR其中 为正常数， 为常数， 。 为个体之间的吸引函数，表,ab1T示个体之间的吸引力， 为个体之间的排斥函数，表示个体之间的排斥力。by选取目标个体对群内个体的排斥函数为： 1(),nfhdhR选取目标个体对群内个体的吸引函数为： 22(),nfh其中， 为常数， 均为正常数， 。112,dT由 的定义可知：2(),()gf动物集群运动行为模型101()(),ikikikgxxabx111(),iMiMfd112(),iixfx代入群体内个体 的运动方程和捕食者 的运动方程得：i 111,() ,2,iMMiikikk xxxabdix 121.iMix我们取 ， ， ，群内个体个数为100个，捕食者1,ab12,d.5个数1个，各个体位置随机确定，捕食者沿着对角线方向进行捕食的躲避捕食模型的程序动画截图如下：黑圈代表捕食者，红叉代表群内个体
