1、本科毕业生学士学位论文题目：利用特殊函数求解氢原子The Solution of Hydrogen Atom by Special Functions利用特殊函数求解氢原子毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解*学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向
2、相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名： 日期： 日期： 利用特殊函数求解氢原子注 意 事 项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300 字左右） 、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论） 、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不
3、少于 1 万字（不包括图纸、程序清单等） ，文科类论文正文字数不少于 1.2 万字。3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件） 。4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用 A4 单面打印，论文 50 页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开
4、题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它利用特殊函数求解氢原子摘 要本论文是利用特殊函数来求解氢原子的薛定谔方程，采用分离变量法,将其化为一元微分方程，对分解后的一元微分方程求解，得出氢原子的能级和波函数形式，从而讨论出氢原子的能级分立，不等间距和核外电子在空间的分布情况。关键词：氢原子、薛定谔方程、氢原子能级和波函数、特殊函数。利用特殊函数求解氢原子AbstractIn this paper， we introduce the Schrdinger equation of hydrogen atom and transform it into ordinary different
5、ial equation by variable separation method.Solving the latter,we get energy levels and wave function of Hydrogen atom directly. By discussing about energy levels and wave function, we can find eigenenergies are discrete, inequally spaced, and we obtain spatial distribution of electron.Keywords：Hydro
6、gen atom，Schrdinger Equation ，energy levels and wave function of Hydrogen atom，special function.利用特殊函数求解氢原子目 录1 引言 .12 氢原子的薛定谔方程 .12.1 自然坐标下的薛定谔方程 .12.2 以相对坐标和质心坐标表示的薛定谔方程 .12.3 时间函数 tf.22.4 质心运动状态 .33 电子相对核的运动状态 .33.1 波函数在球坐标下的表示 .33.2 求解球函数 .43.2.1 对球函数分离变量 .43.2.2 求解 .53.2.3 求解 H.53.2.4 球函数的解 .63
7、.3 求解径向方程 .74 氢原子的波函数、能级形式 .105 讨论 .105.1 对能级的讨论 .105.2 对波函数形式的讨论 .115.2.1 径向分布函 .115.2.2 角分布函数 .136 小结 .147 附录 .15参考文献 .19致谢 .20利用特殊函数求解氢原子11 引言巴耳末公式可以成功地计算氢原子跃迁的一些问题，却未能给出合理的解释，在氢原子一些问题的处理中，玻尔曾应用经典理论和量子化条件导出氢原子的能级公式，但是量子化条件的引进没有适当的理论解释.随量子力学的发展，我们知道微观粒子具有波粒二象性，其微观体系的状态可以用波函数 (r,t)描述,且波为一种几率波,波函数在空
8、间某一点的强度(几率振幅的模的平方)和在该点找到粒子的几率成正比,且波函数随时间变化遵从薛定谔方程, 利用薛定谔方程我们可以精确求解氢原子的的能级和波函数形式，有了能级和波函数，我们不需要假设更不需要人为的规定就可以成功地解释氢原子的光谱，得出能级分立，最可然半径，跃迁公式等。本文利用特殊函数求解氢原子的薛定谔方程，采用分离变量法，将特殊函数化为一元微分方程，从而得出氢原子的的能级和波函数形式。2 氢原子的薛定谔方程 2.1 自然坐标下的薛定谔方程在氢原子问题中，严格说来，我们应当考虑核的运动，也就是说应当考虑两个粒子（电子与核）在库仑相互作用下的运动；这是一个两体问题 1，在经典力学中，我们
9、知道两体问题可以归结为一个粒子在场中的运动；我们将看到，在量子力学中，情况也是这样，下面将给出其解析解，并根据所得出的能级和能量本征函数，对氢原子光谱线的规律及一些重要性质给予定量说明。氢原子包含原子核及核外电子，是个二体问题，由多粒子体系的薛定谔方程 2，我们可以写出氢原子的薛定谔方程：（1）);,;,()(2)(2;,;, 212212121 tzyxUzyxzyxtti 式中 分别是电子和核的坐标； 分别是电子和核的质量。21,zzyx和 21和2.2 以相对坐标和质心坐标表示的薛定谔方程前面已说过，为简化问题，量子力学与经典力学一样，可以把二体问题化为单体问题。由质心坐标公式，我们可以
10、得出质心坐标 ， ZYX,MzZyYMx 212121 , （2）利用特殊函数求解氢原子2式中 = 是体系的总质量。由于 为核坐标， 为自然坐标下电子坐M212,zyx1,zyx标，以（ ）表示电子相对核的坐标，则有：zyx, 212121 zy（3）把对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商，直接通过微商运算 3有：（4）,2, ,2, ,2, ,2, ,2, ,2, 2222 2121112 222221 2121112 1 2222 2121112 zZMzZMzzzZ zZzzZMzZ yYMyYyyxY yYyMyyYY xXMxXxxMX xxxxX 将（2） （3）
11、（4）式子代入（1）式后，得到以相对对坐标和质心坐标表示的薛定谔方程：（5） yxUzyxYXti ,)()(2 2222式中 称为约化质量。21利用特殊函数求解氢原子32.3 时间函数 tf设 可以表示为三个函数 的乘积，其中 仅是 的函tfZYXzyx,zyx,zyx,数，其中 仅是 的函数，其中 仅是 的函数 4,以ZYX,（6）tfzyx将（6）式代入方程（5） ，用 除方程两边，则左边仅与时间有关而与坐标无关，右边仅与坐标有关而与时间无关，所以两边应等于同一个常数。以 表示这常数，则由左边有总Edtfi总E它的解是（7）tEiCetf总2.4 质心运动状态将（6）式代入方程（5） ，
12、用 除方程两边，右边为：f总EzyxUzyxZYXM ,)(12)(12 2222 这方程左边第一项仅与 有关，第二项和第三项仅与 有关，所以它们应分别YX, ,等于常数，两常数之和是 ，以 表示左边第二，第三两项之和；则总E（8）zyxUzyx,)(22（9）EZYXM总)(22方程（9）是描写质心运动状态的波函数 5 所满足的方程，很容易看出这是能量为的自由粒子的定态薛定谔方程。由此可见，质心相当于质量为 的自由粒子运动，E总 M相应的能量为 ，相应的波函数 是平面波。总 ZYX,3 电子相对核的运动状态在氢原子问题中，我们特别感兴趣的是原子的内部状态，即电子相对核的运动状态。因此对于两体
13、问题，关键是求解相对运动方程（8）式，对氢原子，原子核 远大于核外电子2质量 ，质心位置就在核上，从而有 ，方程（8）正是描写电子相对于核运动1 12,M波函数 所满足的方程，相对运动的能量 E 就是电子的能级。可以看出，方程（ 8）所描写的运动正好是一个折合质量 的粒子在势能 力场中运动。zyxU,利用特殊函数求解氢原子43.1 波函数在球坐标下的表示在式（8）中，我们取球坐标系，势场为吸引库仑势，于是我们得到在球坐标系下的波函数 6 。= （10）zyxU,res2与 无关，在球坐标下（8）式为：，（11） ErUrr )(sinsiin12 22因为 分别为三个独立变量，故可分离变量，记,（12）),(,YrRr将（12）式代入（11）式，则（11）式变为：（13） 2222 sin1siin11 YYreEdrRs这方程的左边仅与 有关，右边仅与 有关，而 都是独立变量，所以只有当等式两,r边都等于同一个常数时，等式才能成立，以 表示这个常数，则（13）式可以分离为两个方程: （14）02122 RreEdrRrs= （15）2sin1siinY通常 （ ）1l3,0l（14）式称为径向方程， （15）式为球函数方程。3.2 求解球函数3.2.1 对球函数分离变量接下来，我们对球函数进行分离变量 7： 令 （16）HY,代入球函数方程（15） ，得
