1、1储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，建立了油量容积与油高的函数关系 。考虑到算法的实现性，本文把对体积的多重积分通过)(hV降维，转化为单重积分，从而避免多重积分边界难确定问题。问题一：通过 MATLAB 编程得到油量容积与油高的数值关系，讨论实验数据与理论数据之间的误差，最后得到结果变位后罐容表标定的油量容积大于实际油量容积。通过建立的罐容模型得出了变位后的罐容表。问题二，对于实际的油罐，采用分割法降低模型建立的难度和编程的难度，把油罐分成三段，利用问题一中的积分方法，分别建立油的体积 与 h 的函数)(V，相加既得 。从附件 2
2、的数据表中可以得到出油量和显示油高),(),(321hV)(hV的数据，由出油量的数值逐步累加可以得到累加出油量的值 ，h v（ 表示油罐内原有的油量）-)(v初初将油位高度为 时的理论值 与实际值 进行逐差比较，方差取得最小值时，h)(hV)(hv即可确定 和 的值。问题转化为以方差最小为目标函数， 和 为自变量的最优规 划问题。得到 。18.4,2.模型的合理性分析：把附录中显示油高与显示油量的数据看做是纵向倾斜角度 和横向偏转角度 值都为 0 时的实验值。然后用建好的模型对此数据进行求解，如果得到的结果非常接近 0 则可以充分证明模型的准确性和可靠性。否则模型不可靠不准确缺乏说服力。最后
3、求解的结果为 从而模型的准确性和可靠性得证。0,61e最后建立了基于数据特征求变位参数模型。随着有高的上升，液面面积有一最大值，利用附表的数据得到最大面积和对应的高度，进而求出 4796.,0.2同时求解过程对误差进行了分析与检验，说明结果可靠性很高。结果与上个模型的差异可能主要来源于系统误差，如油罐参数偏差，油罐形变，罐内油管的体积及残留油垢等。关键词：变为识别 罐容表标定 优化问题 数值积分 特征分析2一.问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高
4、度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.10的纵向变位两种情
5、况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。附件 1：小椭圆储油罐的实验数据附件 2：实际储油罐的检测数据二.问题分析本问题的关键是找到油
6、罐储油量与油位高度的对应关系。对于问题一，首先无变位时容易根据立体几何的知识得到储油体积与油位高度的函数关系，并且可以得到无变位时的理论罐容表，与给出的无变位时的数据比较，作误差分析；倾斜角为 的纵向变位后，由于随着油位高度的取值不同，储油体积的1.4计算不同，于是分段计算得到储油体积与油位高度的函数关系，同样也可以得到变位后的理论罐容表，与所给数据比较，计算误差。问题二，由于实际油罐形状复杂，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型需要一定的处理技巧。为了减小算法实现的难度，计算体积时把对体积的多重积分通过降维，转化为单重积分，从而避免多重积分边界难确定问题。根据附表的数据，利用最小二乘发求解。使
7、当纵向倾斜角度 和横向偏转角度 值时理论值与所给数据规律方差最小。利用求解出来的模型求出。纵向倾斜角度 和横向偏转角度 值都是未知数即使求解出来，由于没有与真实值对比没法说明其正确合理性和可靠性。为此可以把显示油高与3显示油量的数据看做是来源一另一种变位情况，只是纵向倾斜角度 和横向偏转角度 值都为 0。然后用建好的模型进行求解如果得到的结果非常接近 0 则可以充分证明模型的准确性和可靠性。前面的模型都是建立油量体积与液位高度的函数关系，建立模型。同理我们亦可以通过建立油罐内液面面积与液位高度的函数关系，通过这个关系的特征对部分问题题求解，如求解纵向倾斜角度 和横向偏转角度 值。三.模型假设1
8、.实验数据真实可靠。2.油罐的参数准确，偏差可忽略。3.不考虑外界因素的干扰。四.主要符号说明h油面高度油位高度S油体截面积V油的体积1l椭圆油罐的长度)(x油截面与 轴成的角随着 值的变化的函数yxR球冠体的半径n油罐中间圆柱体截面半径注：用到的局部变量在文中直接注释。五.模型的建立与求解5.1 问题一为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 的纵向变位两种情况做了实验。由1.4于小 椭圆型储油罐各参数已经确定，于是可以通过各参数计算得到油罐储油量与油位高度的函数关系，以此得到一个理论罐容表。4为此这里先分别对罐体无变位和
9、倾斜角为 的纵向变位两种情况建立理论模1.4型，再利用理论模型计算得到的理论值与实际给的数据比较，作误差分析。(b) 小 椭 圆 油 罐 截 面 示 意 图油油 浮 子出 油 管油 位探 针 注 油 口水 平 线2.05m0.4m1.2m1.2m1.78m(a) 小 椭 圆 油 罐 正 面 示 意 图图 4 小 椭 圆 型 油 罐 形 状 及 尺 寸 示 意 图5.1.1 无变位的情况时罐容表理论模型如图建立直角坐标系，椭圆柱体截面方程为，其中 =0.89m， =0.6m。12bzay2/78.1a2/.1b令 ， , sincoz则油面高度 ： hsinbyb无变位时油位高度 等于油面高度
10、，所以 hsinb5计算油体截面积)2sin1(co21 abdydzSbh所以，油的体积为，其中 为椭圆油罐的长度。 1lSV1l代入数值计算得到油的容积 与油位高度的关系：)2(1(arcsin23.5 bhbhV5.1.2 倾斜角为 的纵向变位情况时罐容表理论模型1.4（1）如图所示建立直角坐标系计算油截面面积 S截面的参数方程 sincobzay油位高度 t)4.0(xh表示油截面与 轴成的角随着 值的变化的函数)(xyx因此，截面积 可以表示为：)(xS6)2(sin21)()(cosc)( xxabxdbSx（2）这里我们采用油罐逐步移动法来进行分析求解油的体积。假设有一高度与题目
11、所给的小椭圆油罐相等，以 的倾角斜放在水平地面上，对1.4角线代表油面且与水平地面平齐的长油罐。如图所示建立坐标系，将原点 定义在长油罐的右下端， 轴沿油罐方向向左。ox保持长油罐固定不变，用椭圆柱油罐从右到左逐步移动移动来模拟往油罐中注入油的情况，从而求出在不同情况下小椭圆油罐中油的体积。我们将这种方法称为油罐逐步移动法。如图所示， 表示小椭圆油罐最右端油面到罐底的高度。h表示小椭圆油罐最左端到原点 的距离。xo为长油罐的长度，ml mblm74.16tan2由几何关系可知：)(sintaxbhx)tanrcsi()(bxx由于当 的取值不同时，油体积的计算不同，所以得分别计算，如图所示，共
12、有五种情况：（1） 当 时， 。但由于确定油位高度的油浮子在距油罐4.0xdxSVx0)(左端 0.4 米处，此时油浮子不能测到油位高度，故不能对罐容进行标定。7（2）当 时， 。45.2.0xxdSV0)(（3）当 时， 。mlx45.2dxSVxl)(1（4）当 时， 。1lxlmxllxmmabddSV1)(（5）当 时， 。1lxm1ablV综上所述8: 11 10.)(45.2.0)(.1 lxabl lxlabdSdxxSxVmmxllxxxm其中 tan)4.0(h5.1.3 模型求解由于上面所建模型的被积函数较复杂，不能直接进行符号积分，在此我们确保精度在 1e-10 内采用数
13、值积分的方法，调用 MATLAB 函数库中的quadl数值积分函数编程求出数值解。 程序见附录 9.3.2。5.1.4 误差分析.无变位时理论计算结果与实验结果对比、理论值与实验值的差值如图：可以看出随着油位高度的增加，油的容积差值基本呈线性增长，可以考虑是由于油罐内进油管道和出油管道的体积占用了油的体积，使得计算的理论值比实际值偏高且线性增长。. 有变位且 时理论计算结果与实验结果对比、理论值与实验值的差值如图：1.49由上面数据可得理论值始终大于实验值，该实验存在系统误差。5.1.5 变位后罐容表标定油位高度（mm）容积(L) 油位高度(mm)容积(L) 油位高度(mm) 容积(L) 油位
14、高度(mm) 容积(L)10 3.531044 310 630.1462 610 1841.797 910 311220 6.26351 320 665.5808 620 1885.131 920 3151.23430 9.974764 330 701.5256 630 1928.513 930 3190.1140 14.75629 340 737.9584 640 1971.931 940 3228.61250 20.69084 350 774.8577 650 2015.372 950 3266.72260 27.85416 360 812.203 660 2058.824 960 330
15、4.42170 36.3163 370 849.9747 670 2102.275 970 3341.69180 46.14242 380 888.1537 680 2145.713 980 3378.51190 57.39353 390 926.7217 690 2189.125 990 3414.861100 70.12695 400 965.6608 700 2232.5 1000 3450.72110 84.39676 410 1004.954 710 2275.824 1010 3486.064120 100.2541 420 1044.584 720 2319.086 1020 3
16、520.87130 117.7475 430 1084.535 730 2362.273 1030 3555.114140 136.923 440 1124.791 740 2405.372 1040 3588.769150 157.8184 450 1165.336 750 2448.372 1050 3621.808160 180.2591 460 1206.155 760 2491.259 1060 3654.2170 203.9994 470 1247.234 770 2534.02 1070 3685.915180 228.9066 480 1288.557 780 2576.643
17、 1080 3716.917190 254.8849 490 1330.111 790 2619.115 1090 3747.171200 281.8577 500 1371.881 800 2661.423 1100 3776.636210 309.7608 510 1413.854 810 2703.552 1110 3805.266220 338.5387 520 1456.015 820 2745.491 1120 3833.01310230 368.1426 530 1498.352 830 2787.225 1130 3859.819240 398.5285 540 1540.85
18、1 840 2828.74 1140 3885.618250 429.6567 550 1583.499 850 2870.022 1150 3910.332260 461.4906 560 1626.283 860 2911.057 1160 3933.858270 493.9967 570 1669.19 870 2951.83 1170 3956.056280 527.1438 580 1712.208 880 2992.326 1180 3976.655290 560.9024 590 1755.323 890 3032.531 1190 3995.537300 595.2452 60
19、0 1798.524 900 3072.427 1200 4012.7455.2 问题二对于图 1 所示的实际储油罐，先建立罐体变位后标定罐容表的理论数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。通过误差修正后得到修正模型，根据附表的数据求解出纵向倾斜角度 和横向偏转角度 值，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2 中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。这里根据附表的数据特征，在没有利用油体积与液位高度的理论模型情况下得出纵向倾斜角度 和横向偏转角度 值 。油油 浮 子出 油 管油 位 探 测 装 置注油口检查口地 平 线2m 6m1m 1m3m油 位高 度图 1 储 油 罐 正 面 示 意 图油 位 探 针5.2.1 实际储油罐变位后罐容表标定理论模型考虑到纵向倾斜角 和横向偏转角 ，将油罐分为三段分别进行容积的计算，这三段分别为中间的圆柱体和两端的两个球冠体。为了方便计算分别建立油的体积 与 h)(V
