1、解直角三角形的应用专题复习解直角三角形的应用既是初中数学的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题：一、解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 二、中考导向掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%10%。分值约在 8%12%题
2、型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题，几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。1.解直角三角形有以下类型：已知两边先用勾股定理求出第三边，再求三角函数值，最后求出角已知一边和一锐角先求另一锐角，再由边角关系求其余两边典例分析：例 1 在 中, ,解这个三角形.ABCRt,903,bA解法一 ,30,90AC.2ac设 ,则 由勾股定理,得 .xa.2c 2)(3(xx1x .000691B解法二 .13tan0b 00222 639.)(1Bc说明: 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用本章所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题.巩固训练： 分别由
3、下列条件解直角三角形（ ）.09C（1） （2） ；（3）;45,80Bc 06,Bb ;24,ca（4） .6ba解 （1） 。000459BA 。casin .2sin8si24ab（2） 。000369 . cbBsin .12sini0B .siaA.63i12i0A(3) ,4,inc.24sin .450A.5900B.ab(4) .,6,2,tanb362tanA 30A0009B , .22cba26说明:本题考查直角三角形的解法,解题关键是正确地选用关系式.易错点是选用关系式不当,造成计算错误或增大结果的误差。2. 应用解直角三角形知识解决实际问题：例：直升飞机在跨江大桥 A
4、B 的上方 P 点处，此时飞机离地面的高度 PO=450 米，且 A、B、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为 =30，=45，求大桥的长 AB【分析】如图所示，要求 AB 长，先设法求出边 AO 与 BO 的长，然后相减即可，由条件可得 ， ，又因为30PAO45PBPO=450 米，可选择上述两特殊角正切分别求得 AO 与 BO【解】由题意得，30,45PAOB， ，tantan4503tanOA450tanOB，答：大桥的长 AB 为450(31)ABOm米450(31)（强调解题完整，要写“答”，注意单位，这些都是中考失分的重要因素）PO B A450 米例 1 图变题 1：
5、直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB 的上方 P 点处，且 A、B、 O 三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的 仰角分别为 30和 45 ，求飞机的高度PO请大家自行分析解决，注意方程思想的运用（本题应注意方程思想的运用，可设所求 PO 长为 x，由 45 度角的正切或直接由“等角对等边 ”可求得 OB 也等于 x，然后再由 30度角的正切列出方程，即 ，熟练后也可以直接列340x，所以 ）340x2()xmPO B A45 30400 米变题 1 图变题 2 直升飞机在高为 200 米的大楼 AB 上方 P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30和 45，求飞机的高度 PO
6、将将将问题转化为两个直角三角形组合图形中加以解决，可割可补（本题会出现两种不同解法，割或补，即过 A 作 ACPO，要求 PO长，此时 CO=AB=200，只需求出 PC 即可；或是过 P 作 PC 垂直BA 延长线于点 C，求出 AC。不管哪种方法，必须注意所设未知数是哪条边，如果不是直接设 PO 为未知数，则一定要注意最后的结果必须是 PO 的长，结果为 ）103()m3045 200米PO BA变题 2 图变题 3：直升飞机在高为 200 米的大楼 AB左侧 P 点处，测得大楼的顶部仰角为 45，测得大楼底部俯角为 30，求飞机与大楼之间的水平距离找出等量关系，列方程（列方程关键在于找出
7、等量关系，本题可以以 AB 长为等量关系，充分利用好 45 度角的特点，即 PD=AD，如果设 PD=x，则 AD=x，由 30 度角可表示，从而可以列出方程 ；设3BDx320,310()xxmBD=x，则 AD=PD=200-x， ，得 ，不能忘记求 PD）根据以上解题过程，列举四题中三个示意图，分析归纳这类问题的共同点从而了解数学建模及方程思想，并归纳出这类图形的结构特点规律总结：（将例 1 及 3 个相关变题中的图形加以分析，从每个问题所提供的条件特点，结合图形结构特征，可归纳出这类问题：（1）示意图为有一个公共边的两个直角三角形，分布位置有两种，位于公共边同侧或异侧；（2）所给条件一
8、般为两角一边，且边一般为已知角的邻边或对边（非直角三角形斜边） ，此时选用的三角函数关系多为正切） 4530PABDO200米变题 3 图变题 4：（2008 桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B 两个村庄抢险，飞机在距地面 450 米上空的 P 点，测得 A 村的俯角为 ，B 村的俯角为 （如图） 求 A、B 两个村庄间的3060距离 总结：通过以上题目，重点是让大家掌握如何把 实际问题转化为数学问题，数学建模思想必不可少，具体操作方法就是抽象出几何图形，就本课 而言是主要是两个三角形的两种不同组合图形。此外在解直角三角形中也渗透了方程思想。（1）数学建模及方程思想从实际问题抽象出
9、数学模型，将实际问题转化为数学问题求解；解直角三角形常结合用方程。QB CPA4506030PO B A450米 例 1图PO B A4530400米变题1 图4530PABDO200米变题3 图3045200米PO BA变题2图（2）解题方法小结A把实际问题转化为数学问题的两个方面；（图形转化，条件转化）B把数学问题转化为解直角三角形的处理方法 （构造直角三角形）（将实际问题转化为数学问题，关键要画好示意图，从实际问题抽象出数学模型，如果是单个直角三角形，则直接解直角三角形，如果是一般三角形，甚至是梯形或组合图形，则通过作高将其转化为直角形再求解，而解直角三角形的常用方法是结合方程进行计算）
10、联系实际，对问题情境的理解需要具有一定的空间想象能力，逐步从实际问题中，抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题来解决。变题 1 与例 1 是交换题目条件与结论，情境不变，分别求桥长与飞机高。变题 2-3 情境有所变化，由测桥变为测 楼，所求问题是飞机高及飞机到楼房距离。以上问题的解题关键在于转化实际问题为数学问题，着重是示意图的画法（包括已知什么和求什么），进而利用解直角三角形知识解决问题，并在解题后及时加以归纳，挖掘图形结构及条件的特点。 例 3 已知如图在直角梯形 ABCD 中，分别为FEBCDAB、,cm10,6,/AD、BC 的中点， cm，求两底4AB、 CD 的长 .解：过 C
11、作 于 G 交 EF 于 H.ABE、 F 分别是 AD、BC 的中点， .GBHFAE/,/在 Rt 中， . cm10,60C cosBCG)(52HF 为 的中位线， )cm(5.16. ,24 ).c(5.1GBDCABHFECHF答：AB 的长是 16.5cm，CD 的长是 11.5cm.说明：本题使用“转化思想” ，把分散的元素，通过添加辅助线，集中到一个三角形中，然后再解此三角形。一种重要的方法与途径是使用割补法，将图形分割或拼补成一些直角三角形，再注意寻找公共边与公共角进行过渡例 3 在 中， ，求 AB 边上ABC60,45,26BA的高 CH.分析 注意到 ，在 中，构造关
12、于 CH 的方程.HCRt解：设 ，在 中，hCAt，于是 ，HA hB)26(所以有关于 h 的方程 ，30tan)26(h解这个方程，得 ，3 .613)2(h说明 这是一个利用三角函数建立方程的例题，是方程思想在解直角三角形中的应用.在解直角三角形中，根式运算起着重要的作用.本例中关于的计算如果是这样：13)26(,623)2(13)(63)(就不是好的计算过程，如果看到 就有简便的算)13(2法.6)13(6)13(2小结：常见的解斜三角形基本图形1当所求的角或线段不在直角三角形中时。应怎样处理?在求线段的长或角的大小时，若所求的元素不在直角三角形中，则应将它转化到直角三角形中去这种方
13、法叫做“化斜为直”法。转化的途径及办法有很多，如可作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形的边(或角)来替代所要求的元素等2利用解直角三角形解决有关问题时。常用的辅助线有哪些?(1)作高线，将斜三角形中有关边角的计算问题转化为直角三角形的问题(2)连接对角线或作垂线，将四边形中有关边角的计算问题转化为解直角三角形的问题巩固训练：1.某船自西向东航行，在 A 处测得某岛在北偏东 60的方向上，前进 8 千米测得某岛在船北偏东 45 的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？8千米ABCD45302 海岸上有 A、B 两点相距 120 米，由 A、B 两点观测海
14、上一轮船 C，得 CAB60 CBA 75 ，求轮船 C 到海岸 AB的距离。3 铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度是 i=2:3,顶宽是3m,路基高是 4m，求路基的下底宽？Ci=2:3BAEE DACDEMH6m23.B4(选做) 如图：是一海堤的横断面为梯形 ABCD，已知堤顶宽BC 为 6m，堤高为 3.2m，为了提高海堤的拦水能力，需要将海堤加高 2m，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡 CD 的坡度 1:2 也不变。但是背水坡的坡度由原来的 i=1:2 改成 i=1:2.5（有关数据在图上已注明） 。(1)求加高后的堤底 HD 的长。 (2)求增加部分的横断面积(3)设大堤长为 1000 米，需多少立方米土加上去？(4)若每方土 300 元，计划准备多少资金付给民工？
