1、求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值1、已知三角形 ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，P 是三角形 ABC 内一点，求 PA+PB+PC 的最小值.解：由题意三角形 ABC 为直角三角形，以直角顶点 C 为原点，CB 为 x 轴，CA 为 y 轴建立坐标系（如图）则 C（0，0）A（0，3 ）B（4，0）以 B 为旋转中心，将BPC 绕点 B 逆时钟旋转 60至BPC，连接 PP、CC、AC则BPP，BCC均为等边三角形所以 PB=PP，PC=PC所以 PA+PB+PC=AP+PP+PCAC而 C（2，-23 ）所以 AC=（0-2）+（3+23）=（25+123）.即 PA+PB
2、+PC 的最小值等于 AC的长（25+123）.2、已知三角形 ABC 中，AB=10 ，AC=17，BC=21，P是三角形 ABC 内一点，求 PA+PB+PC 的最小值.解：过 A 作 ADBC 于 D，设 BC=x，则 CD=21-x 由勾股定理得 AD=10-x=17-(21-x），解得x=6，AD=8，DC=15以 D 为坐标原点，BC 为 x 轴，DA 为 y 轴建立坐标系（如图）则 A（0，8 ）B（-6，0）C （15，0）以 C 为旋转中心，将CPB 绕点 C 逆时钟旋转 60至CPB，连接 PP、BB 、AB则CPP ，CBB均为等边三角形所以 PC=PP，PB=PB所以
3、PA+PB+PC=AP+PP+PBAB而 B（9/2，-213/2）所以 AB=（0-9/2 ）+ （8+213/2）=（415+1683）.即 PA+PB+PC 的最小值等于 AB的长（415+1683）.【 补充说明】（1 ）如图，以ABC 的三边为边，分别向外作等边三角形 BCD、ACE、ABF，连接 AD、BE、CF，则（1）AD 、BE、CF 交于一点 P，且APB=APC= BPC=120，（2）P 到 A、B、C 三顶点距离的和最小，且 PA+PB+PC=AD=BE=CF。证明：AF=AB ， FAC= BAE，AC=AEAFCABECF=BE同理可证BCFBDA，CF=ADAD
4、=BE=CF. AFCABEAFC= ABEBPF= BAF=60，BPC=120 同理可证APB=APC=120 APB=APC=BPC=120至于 P 到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。（2）给出三个点，怎样用尺规作图，使某一点 P 到这三点的距离之和最短解：如果三个点在同一直线上，P 点为居中的那个点如果三个点能组成三角形，这里的点 P 就是著名的“费马点”这时的一般结论是：当三角形有一个内角大于或等于 120 度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都小于 120 度，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为 120 度的点。作法：设三点为 A、B 、C1、作等边三角形 ABD、等边三角形 ACE2、作上述两个三角形的外接圆，两圆交于点 P则 P 即为拟求作的点
