1、1.5.1 曲边梯形的面积一、教学目标1、知识与技能目标：（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景。（2）理解求曲边梯形面积的“ 四步曲”分割、近似代替、求和、取极限。2、过程与方法目标：（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。3、情感、态度与价值观目标：在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。二、学情分析本节课的教学对象是民语班的学生。学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一
2、是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积；学生在必修 3 的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术 ”求圆面积的方法已经有所了解。二是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。学生在本节课学习中将会面临的难点：一是部分学生汉语程度相对较为薄弱，一些数学名词难以准确理解，因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注，帮助学生准确掌握和学习；此外，学生的汉语表达能力较差，需要即时引导学生进行准确表述和学习。二是本节课的学习过程中如何“以直代曲” ，即学生如何将割圆术中 “以直代曲，无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上具体说来就是：如何选择适当的直边图形（
3、矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。三、重点难点教学重点：探究求曲边梯形面积的方法。教学难点：把“以直代曲” 的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。四、教学过程一、问题情境生活中的数学原型【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片一：图形一：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片二：图形二：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片三：图形三：【思考】 “曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么？【设
4、计意图】1.从生活实际出发，让学生充分感受数学与生活息息相关，生活中处处都能找到数学的原型。2.学生通过分割和补足的方法求解直边图形，回顾“割补思想” ，为接下来探究如何对曲边梯形以直代曲做铺垫。3.对比“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别，为学生准确理解曲边梯形的概念做铺垫。4.通过设立问题引发学生思考，从而引出本节课题。二、概念辨析“连续函数”与“曲边梯形”的概念【学生活动】翻开课本 38 页，仔细研读书中“连续函数 ”与“曲边梯形”的概念。【设计意图】让学生回归课本进行自主学习，并发现概念中的关键内容。三、知识回顾割圆术【讲授】割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内接
5、正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法。【教师提问】1.你能否总结出割圆术求圆面积的思想方法？2.将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼，能否应用到求曲边梯形的面积中？【解答】割圆术求圆面积的思想方法：1.将圆等分成 n 个小扇形。2.用小三角形面积近似代替小扇形面积。3.求小三角形面积之和。4.随着 n 的增大，小三角形面积之和不断逼近圆面积。将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼1.分割2.近似代替3.求和4.取极限【设计意图】回顾割圆术中正多边形逼近圆的方法，引发学生思考：这种“以直代曲”的思想启发我们，是否也能用直边形逼近曲边梯形的方法，求曲边梯形的面积。同时，通过在提炼思想方
6、法的过程中，培养学生分析、归纳的习惯。四、特例探究类比割圆术的思想方法，求特殊的曲边梯形的面积【思考】如何求由直线 x=0,x=1,y=0 和曲线 y=x所围成的曲边梯形的面积 S？（一）分割【自主探究】思考：应采用什么样的方式分割下面的曲边梯形才能有利于“以直代曲”？【学生活动】1.分小组讨论，并在纸上做出方案。2.通过对比各组方案，选出最佳方案。【教师展示】方案一：方案二：【教师提问】选取方案一进行探究。1.如何将大曲边梯形等分成 n 个小曲边梯形？2.将区间0,1等分成 n 个小区间，这 n 个小区间分别是什么？3.单独研究第 i 个小区间，则第 i 个小区间是什么？【解答】1.在区间0
7、，1上等间隔地插入 n-1 个点，过这些点做 x 轴的垂线。2.将区间0,1等分成 n 个小区间，这 n 个小区间分别是：3.单独研究第 i 个小区间，则第 i 个小区间是：【设计意图】学生通过类比割圆术中“将圆等分成 n 个小扇形”这一步骤，经历分割曲边梯形的过程，同时通过对比，选出最佳方案进行进一步探究。在探究的过程中，充分带动学生的自主学习意识，并加强学生对“四步曲”中“分割”的理解和认识。培养学生学习数学的兴趣以及团队协作的精神。（二）近似代替【自主探究】思考：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？（单独研究第 i 个小曲边梯形）【学生活动】1.分小组讨论，并在纸上做出方案。2.通过对比各
8、组方案，选出最佳方案。【教师展示】方案一：方案二：方案三：方案四：【思考】选取方案二进行探究。怎样求出小矩形的面积？【解答】第 i 个区间的长度为：第 i 个小矩形的高为：（即区间左端点的函数值）第 i 个小矩形的面积为：【设计意图】学生通过类比割圆术中“用小三角形面积近似代替小扇形面积”这一步骤，经历将第 i 个小曲边梯形“以直代曲”的过程，同时通过对比，选出最佳方案进行进一步探究，并引导学生带着疑问进入下面的学习。在探究的过程中，培养学生善于思考的习惯，以及自我创新的能力。（三）求和【共同探究】思考：怎样求出 n 个小矩形的面积之和？【师生互动】引导学生分析如何求出 n 个小矩形的面积之和
9、，共同探求解题思路。具体求解过程由学生参与，师生共同补充。【提示】给出公式： 22(1)1()6n【讲授】此处求出的小矩形面积之和称作曲边梯形面积的不足近似值。【解答】小矩形面积之和为：【设计意图】学生通过类比割圆术中“求小三角形面积之和”这一步骤，经历“求和”的过程，加深学生对 符号的理解，同时，让学生更好地掌握求和类型题目的解法，提高学生的计算能力以及数学的逻辑思维能力。【几何画板展示】观察当 n 取不同值时，小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系？【思考】为了更加准确地求出大曲边梯形的面积，n 应该取何值？【设计意图】通过几何画板的演示，更加直观地让学生感受到“无限逼近”的思想，并
10、为第四步“取极限”做出铺垫。（四）取极限【思考】n 趋向于无穷大时，曲边梯形的面积 S 等于多少？【师生互动】引导学生回顾极限的运算，共同计算出曲边梯形的面积 S 的值。【解答】取极限得到曲边梯形的面积为：【设计意图】通过经历“取极限”的过程，进一步加强学生对极限运算的认识。五、类比探究类比“不足近似值”与“过剩近似值”【思考】选取方案三进行探究。怎样求出小矩形的面积？【师生互动】类比方案二中的求解过程，发现求解小矩形的面积时的异同，引导学生正确计算小矩形的面积。【解答】第 i 个区间的长度为：第 i 个小矩形的高为：（即区间右端点的函数值）第 i 个小矩形的面积为：【设计意图】通过方案二和方
11、案三的对比，进一步加强学生对“割补思想” “以直代曲”思想的理解和认识，并使学生逐步掌握运算技巧。【思考】怎样求出 n 个小矩形的面积之和？【提示】给出公式： 22(1)16n【师生互动】引导学生通过类比“不足近似值”的求法，体验“过剩近似值”的求解过程。【解答】小矩形面积之和为：【设计意图】通过类比方案二中的求解过程，学生能很快掌握相应解法，培养学生的解题能力，同时巩固本节所学知识。这样安排，有利于学生循序渐进从多种角度去考虑曲边梯形的面积的求法，激发学生创新能力的同时，培养学生善于思考的习惯。【几何画板展示】观察当 n 取不同值时，小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系？【思考】为了
12、更加准确地求出大曲边梯形的面积，n 应该取何值？【解答】取极限得到曲边梯形的面积为：【设计意图】通过几何画板的演示，更加直观地让学生感受到“无限逼近”的思想，并与之前的案例进行对比。【Excel 展示】【设计意图】利用 Excel 表格进行计算，让学生更直观得观察当 n 趋近于无穷大时，S 的不足近似值与过剩近似值最终都会趋近于 。同时，验证了之前的结论。13六、能力提升【思考】取 f(x)=x在区间 上任意一点 i处的函数值 f(i)作为近似值，求出的 S 也1,in是 吗？13【师生互动】引导学生回答，教师补充完善，并用多媒体进行适当展示。【设计意图】让学生体会，无论用哪个近似值进行近似代
13、替，借助极限运算都可以得到曲边梯形的面积。同时，更直观地感受到从特殊到一般的过程。七、课堂小结【思考】在今天的课程中， 你学到了什么呢？【师生互动】让学生回顾总结本节所学知识，师生共同补充、纠正。【设计意图】让学生养成善于总结的好习惯，并对本节的知识研究线索有一个全面的认识，同时反馈学生对本节课重点内容的把握情况。八、课后作业1. 求由直线 x=0,x=2,y=0 和曲线 y=x所围成的曲边梯形的面积 S？2.思考：“问题情景”中第三幅图的面积怎样求解？【设计意图】让学生体会通过对特例的探究，掌握到了一般的数学方法。同时，巩固知识，发现教学中的不足。数学与实际相结合，培养学生自觉学习的习惯和探索精神，提高综合运用数学知识的能力。九、板书设计
