1、第七章 应力与应变分析,材料力学,7-1 一点的应力状态,三、应力状态的分类,二、研究应力状态的方法,一、一点的应力状态,第七章 应力与应变分析,一、一点的应力状态,杆件受力后，其内任一点在各个截面上的应力状况的集合，称为该点的应力状态,7-1 一点的应力状态,二、研究应力状态的方法,1单元体,单元体,围绕构件内一点所截取的微小正六面体。,7-1 一点的应力状态,应力分量的角标规定,第一角标表示应力作用面,面的方位用其法线方向表示,第二角标表示应力平行的轴两角标相同时，只用一个角标来表示。,九个,二、研究应力状态的方法,切应力互等定理,独立分量有六个,7-1 一点的应力状态,二、研究应力状态的
2、方法,7-1 一点的应力状态,二、研究应力状态的方法,3截取单元体的方法、原则：,1)用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体,2)单元体各个面上的应力已知或可求,7-1 一点的应力状态,二、研究应力状态的方法,7-1 一点的应力状态,一对横截面，两对纵截面,二、研究应力状态的方法,横截面、周向面、直径面各一对,7-1 一点的应力状态,二、研究应力状态的方法,横截面、周向面、直径面各一对，从上表面截取,7-1 一点的应力状态,三、应力状态的分类,1主应力、主单元体、主平面的概念,主平面：,单元体上切应力为零的平面,主单元体：,各面均为主
3、平面的单元体，主单元体上有三对主平面,主应力：,主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，有s1s2s3,4)围绕一点至少存在一个主单元体，应力分析的主要目的就是寻找主单元体和主应力,7-1 一点的应力状态,三、应力状态的分类,2应力状态按主应力分类：,1)单向应力状态：,只有一个主应力不为零的应力状态,2)平面应力状态：,只有一个主应力为零的应力状态，也称二向应力状态,3)空间应力状态：,三个主应力均不为零的应力状态，也称三向应力状态；,4)单向应力状态又称简单应力状态；平面和空间应力状态又称复杂应力状态。,7-1 一点的应力状态,二向和三向应力状态的实例,1、二向应力状态实例,2、三向应力
4、状态实例,2)从扭转和弯曲看，最大应力往往发生在构件的表层,构件的表面为自由表面，应力为零,为一主平面,从表层取出的单元体为二向应力状态,1)简单拉压、扭转、弯曲,单向应力状态或二向应力状态,7-1 一点的应力状态,载荷的接触点为三向应力状态,7-1 一点的应力状态,7-2 平面应力状态分析,第七章 应力与应变分析,一、解析法,7-2 平面应力状态分析,一）任一斜截面上的应力,一、解析法,7-2 平面应力状态分析,一）任一斜截面上的应力,7-2 平面应力状态分析,一）任一斜截面上的应力,7-2 平面应力状态分析,一）任一斜截面上的应力,a ：以x轴正向为起线，逆时针转至x正向者为正，反之为负,
5、7-2 平面应力状态分析,二）主平面与主应力,1.极值正应力的条件,2.主平面的方位,(3),主应力就是极值正应力,主应力(即主平面)是相互垂直的,和 都是解,(1),7-2 平面应力状态分析,二）主平面与主应力,3.主应力的大小,(3),(1),(4),7-2 平面应力状态分析,二）主平面与主应力,4.主应力与主平面的对应关系的确定,(3),(4),有一值：,方法1,反知,方法2,与切应力的交点同像限的,7-2 平面应力状态分析,三）极值切应力,1.切应力发生极值的条件,2.极值切应力的方位,极值切应力所在平面与主平面的夹角为45,7-2 平面应力状态分析,三）极值切应力,3.极值切应力的大
6、小,7-2 平面应力状态分析,总结：,任一斜截面上的应力：,主应力，主平面方位：,极值切应力，极值切应力的方位：,7-2 平面应力状态分析,例1 已知应力状态如图所示（图中应力单位皆为MPa），试用解析法求（1） 图示斜截面上的应力： （2） 主应力大小和主平面位置； （3） 在单元体上绘出主平面位置和主应力方向；,解：,7-2 平面应力状态分析,解：,与剪应力的交点同像限的,例1 已知应力状态如图所示（图中应力单位皆为MPa），试用解析法求（1） 图示斜截面上的应力： （2） 主应力大小和主平面位置； （3） 在单元体上绘出主平面位置和主应力方向；,7-2 平面应力状态分析,例2 讨论圆轴扭
7、转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏原因。,解：,7-2 平面应力状态分析,二、图解法,7-2 平面应力状态分析,一）原理,圆心：,半径：,应力圆圆周上的点与单元体的斜截面上的应力有一一对应的关系,（a）,（b）,7-2 平面应力状态分析,二）作法,按照下列步骤作图,3.连接D和D1两点之间的直线，交轴于C点,4.以C点为圆心，以CD或CD1为半径作圆，即得所要的应力圆,1.选取平面直角坐标系,2.按比例标出 和 两点,7-2 平面应力状态分析,三）应力圆的应用,1)点面对应关系：,2)角度对应关系：,应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力,应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a,
8、3)旋向对应关系：,应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同,求外法线与x轴夹角为a 斜截面上的应力,7-2 平面应力状态分析,三）应力圆的应用,应力圆确定主平面、主应力,确定极值切应力及其作用面,7-2 平面应力状态分析,7-3 三向应力状态下的最大应力,第七章 应力与应变分析,一、三向应力状态下的应力圆,1三向应力状态下的应力圆：,2三向应力状态下的最大切应力：,7-3 三向应力状态下的最大应力,当max0、min0时，两者相同,三向应力状态,平面应力状态,7-3 三向应力状态下的最大应力,A视,解：1)已知一个主应力：sz=90MPa。,2)将单元体沿z方向投影，得到平面应力状态：,7-
9、3 三向应力状态下的最大应力,7-5 平面应变状态分析,第七章 应力与应变分析,一、概述,分析方法：,已知：O点的,求： O点的,1.解析法,2.图解法,逆时针为正，顺时针为负,a：,7-5 平面应变状态分析,二、解析法,1.线应变,7-5 平面应变状态分析,1.线应变,二、解析法,7-5 平面应变状态分析,顺时针为正,2.切应变,二、解析法,7-5 平面应变状态分析,2.切应变,增大为正,二、解析法,7-5 平面应变状态分析,二、解析法,7-5 平面应变状态分析,三、主应变及其方向,(一点的最大和最小线应变),主应变方向,主应变,一点的两个相互垂直方向的切应变为零时，沿这两个方向的线应变,主
10、应变方向即主应力方向,7-5 平面应变状态分析,四、最大、最小切应变及其方向,最大、最小切应变方向与主应变方向成45,最大、最小切应变,7-5 平面应变状态分析,五、由一点的任意三个方向线应变求主应变,7-5 平面应变状态分析,六、由一点的任意三个方向线应变求主应变,7-5 平面应变状态分析,解：1)求ex、ey、gxy：,令a1=0o，a245o，a3=90o：,2)求主应变及方向：,因exey，故最大线应变在105o30方向上。,7-5 平面应变状态分析,7-6 广义胡克定律,第七章 应力与应变分析,一、广义虎克定律,1.简单应力状态下的虎克定律,(1) 轴向拉伸(压缩)时,(2) 扭转时
11、,单向应力状态：,纯剪切应力状态：,7-6 广义胡克定律,一、广义虎克定律,2.复杂应力状态下的虎克定律(广义虎克定律),(1).主应力和主应变的关系,应用叠加原理,单独作用,单独作用,单独作用,沿 主应变,沿 主应变,沿 主应变,= + +,= + +,= + +,7-6 广义胡克定律,一、广义虎克定律,2.复杂应力状态下的虎克定律(广义虎克定律),(1).主应力和主应变的关系,7-6 广义胡克定律,一、广义虎克定律,2.复杂应力状态下的虎克定律(广义虎克定律),(2).一般应力情况,线应变只与正应力有关，而与切应力无关,切应变只与切应力有关，而与正应力无关,7-6 广义胡克定律,一、广义虎
12、克定律,2.复杂应力状态下的虎克定律(广义虎克定律),(3) 用应变表示应力：,7-6 广义胡克定律,一、广义虎克定律,3.平面应力状态下的虎克定律,7-6 广义胡克定律,讨论：,平面应力状态是否对应平面应变状态？,平面应力状态：,平面应变状态：,7-6 广义胡克定律,一、广义虎克定律,方法一：,方法二：,7-6 广义胡克定律,7-6 广义胡克定律,解：,1.取单元体,2.按照胡克定律计算,7-6 广义胡克定律,解：,3.计算,7-6 广义胡克定律,例7 边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大，变形可,解,略去不计的钢凹槽中。已知铜的弹性模量E=100MPa,泊松比当受到F=300k
13、N的均布压力作用时，求该铜块的主应力。,7-6 广义胡克定律,二、体积应变,1.体积应变单位体积的体积改变,考虑主应力单元体,变形后：各边长分别为,体积应变等于三个主应变之和,变形前：各边长分别为 、 、,7-6 广义胡克定律,二、体积应变,体积应变单位体积的体积改变, 体积弹性模量, 平均主应力,体积胡克定律,7-6 广义胡克定律,7-7 复杂应力状态下的应变比能,构件在弹性变形过程中所储存的能量,单位体积内所储存的弹性应变能,弹性应变比能(弹性变形比能)u,弹性应变能(弹性变形能)U,构件在变形过程中所储存的能量,应变能(变形能),第七章 应力与应变分析,弹性应变能只与外力和变形的最终值有
14、关,与加力次序无关,克拉贝依隆原理：,该原理只在线弹性条件下成立,广义力,与广义力相对应的广义位移,7-7 复杂应力状态下的应变比能,复杂应力状态下的弹性应变比能,1.总比能,7-7 复杂应力状态下的应变比能,复杂应力状态下的弹性应变比能,2、体积改变比能uv与形状改变比能uf,单元体的变形：,(1)有关概念：,体积改变和形状改变；,体积改变,形状改变,7-7 复杂应力状态下的应变比能,复杂应力状态下的弹性应变比能,(2)uv、 uf公式：,体积改变比能：,形状改变比能：,一般情况下：,2、体积改变比能uv与形状改变比能uf,7-7 复杂应力状态下的应变比能,例8 导出各向同性体线弹性材料弹性
15、常数E、G、n之间的关系。,解：取纯剪切应力状态研究：,7-7 复杂应力状态下的应变比能,小 结,一、本章重点,应力状态的若干概念及其研究方法，截取原始单元体方法，主单元体、主平面、主应力，按主应力单元体的分类； 平面应力状态分析的解析法和应力圆法； 简单三向应力状态的求解及一点的最大应力； 平面应变状态分析的解析法 广义胡克定律及其应用；,小 结,二、思考题,包围一点一定有一个单元体，该单元体各面只有正应力无切应力 单元体最大切应力作用面上必无正应力 一点沿某一方向的正应力为零，则沿该方向的线应变也为零 纯剪切应力状态是二向应力状态 二向应力状态叠加仍然是一个二向应力状态,小 结,二、思考题,试证明围绕一点的任意平面应力状态单元体相垂直面上的正应力之和为常数；,低碳钢和铸铁扭转破坏断面有什么不同，为什么？,小 结,二、思考题,单向拉伸(压缩)的应力圆形状？纯剪切应力状态的应力圆形状？二向、三向均拉(压)应力状态的应力圆形状？,
