1、第七章 应力应变分析 强度理论,Mechanics of Materials,Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria,材料力学,第七章 应力和应变分析 强度理论Chapter7 Analysis of Stress and Strain Strength Theories,7-1 应力状态概述 (Concepts of stress-state),7-2 平面应力状态分析-解析法 (Analysis of plane stress-state),7-3 平面应力状态分析-图解法 (Analysis of plane str
2、ess-state),7-4 三向应力状态分析 (Analysis of three-dimensional stress-state),7-6 广义虎克定律 (Generalized Hooks law),7-7 复杂应力状态的变形比能 (Strain-energy density in general stress-state ),7-8 强度理论 ( Failure criteria),7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state),7-9 莫尔强度理论(Mohrs failure criterion),7-1 应力状态概述(Introduct
3、ion of stress-state),一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state),请看下面几段动画,1、低碳钢和铸铁的拉伸实验 (A tensile test of low-carbon steel and cast iron),2、低碳钢和铸铁的扭转实验 (A torsional test of low-carbon steel and cast iron),低碳钢 (low- carbon steel),?,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁 (cast-iron),低碳钢和铸铁的拉伸,?,为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,低碳钢和铸铁的扭
4、转,低碳钢 (low- carbon steel),铸铁 (cast-iron),(1) 拉中有剪，剪中有拉;(2) 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力;(3) 同一面上不同点的应力各不相同;(4) 同一点不同方向面上的应力也是各不相同,3、重要结论（Important conclusions),哪一点？ 哪个方向面？,哪一个面上？ 哪一点？,4、一点的应力状态（state of stresses of a given point),过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应力状态（state of stresses of a given point)，亦指该点的应力全貌.,二、应力
5、状态的研究方法 (The method for investigating the state of stress),1、单元体（Element body）,2、单元体特征 (Element characteristic),3、主单元体(Principal body)各侧面上切应力均为零的单元体,4、主平面(Principal plane)切应力为零的截面,5、主应力(Principal stress)主面上的正应力,说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数值大小的顺序来排列, 即,三、应力状态的分类(
6、The classification of stresses-state),1、空间应力状态(triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ) 三个主应力1 、2 、3 均不等于零,2、平面应力状态(biaxial stress-state or plane stress-state) 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零,3、单向应力状态(uniaxial stress-state or simple stress-state ) 三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零,例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单
7、元体.,S平面,例题 2 画出如图所示梁危险截面危险点的应状态单元体,y,x,z,例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态,薄壁圆筒的横截面面积,(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F,(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象,平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx,7-2 平面应力状态分析-解析法 (Analysis of plane stress-state),一、斜截面上的应力(Stresses on an oblique section),1、截面法 (Section method)假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体
8、元 eaf 作为研究对象,(1) 由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正,（2)正应力仍规定拉应力为正,（3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正,2、符号的确定 (Sign convention),设斜截面的面积为 dA , ae的面积为 dAcos ,af 的面积为 dAsin,3、任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane),对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得,化简以上两个平衡方程最后得,不难看出,即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数,二、最大正应力及方位 (Maximum normal stress and its
9、direction),1、最大正应力的方位(The direction of maximum normal stress ),令,0 和 0+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.,2、最大正应力(Maximum normal stress ),将 0和 0+90代入公式,得到 max 和 min (主应力）,下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角,(1)当x y 时 ， 0 是x与max之间的夹角,(2)当xy 时 ， 0 是x与min之间的夹角,(3)当x=y 时 ，0 =45，主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来,则确定
10、主应力方向的具体规则如下,若约定 | 0 | 45即0 取值在45范围内,二、最大切应力及方位 (Maximum shearing stress and its direction),1、最大切应力的方位(The direction of maximum shearing stress ),令,1 和 1+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.,2、最大切应力(Maximum shearing stress ),将 1和 1+90代入公式,得到 max和min,可见,例题4 简支梁如图所示.已知 mm 截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为 =-7
11、0MPa， =50MPa .确定A点的主应力及主平面的方位.,解：,把从A点处截取的单元体放大如图,因为 x y ，所以 0= 27.5 与 min 对应,例题5 图示单元体，已知 x =-40MPa， y =60MPa，xy=-50MPa.试求 ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.,(1) 求 ef 截面上的应力,(2) 求主应力和主单元体的方位,x = -40MPa y =60 MPa x = -50MPa=-30,因为 x y ，所以 0= -22.5 与 min 对应,解 （1）求主平面方位,因为 x = y ，且 x 0,例题6 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.
12、,xy,所以0= -45与 max 对应,（2）求主应力,1 = ， 2 = 0 ， 3 = - ,7-3 平面应力状态分析-图解法(Analysis of plane stress-state with graphical means),一、莫尔圆(Mohrs circle),将斜截面应力计算公式改写为,把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得,因为x ，y ，xy 皆为已知量，所以上式是一个以，为 变量的圆周方程。当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 .,1、圆心的坐标 (Coordinate of circle center),2、圆的半径（
13、Radius of circle),此圆习惯上称为 应力圆( plane stress circle) , 或称为莫尔圆(Mohrs circle),(1) 建 - 坐标系 ,选定比例尺,二、应力圆作法（The method for drawing a stress circle),1、步骤（Steps),o,(2) 量取,OA= x,AD = xy,得 D 点,OB= y,(3) 量取,BD= yx,得 D 点,(4) 连接 DD两点的直线与 轴相交于 C 点,(5)以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆,(1)该圆的圆心 C 点到 坐标 原点的 距离为,(2)该圆半
14、径为,2、证明(Prove),三、应力圆的应用（Application of stress-circle),1、求单元体上任一 截面上的应力(Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circle),从应力圆的半径 CD 按方位角 的转向 转动 2 得到半径 CE.圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力 。,证明,2、求主应力数值和主平面位置(Determine principle stress and the direction of principle plane by using stress
15、 circle),(1)主应力数值,A1 和 B1 两点为与主平面对应的点，其横坐标 为主应力 1 ，2,（2）主平面方位,由 CD顺时针转 20 到CA1,所以单元体上从 x 轴顺时 针转 0 （负值）即到 1 对应的主平面的外法线,0 确定后， 1 对应的主平面方位即确定,3、求最大切应力(Determine maximum shearing stress by using stress circle),G1 和 G 两点的纵坐标分别代表 最大和最小切应力,因为最大最小切应力 等于应力圆的半径,例题7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x = - 1MPa , y = - 0.4MPa
16、 , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa ,(1)绘出相应的应力圆,(2)确定此单元体在 =30和 = - 40两斜面上的应力。,解: (1) 画应力圆,量取OA= x= - 1 , AD = XY= - 0.2,定出 D点;,OB =y= - 0.4和， BD = yx= 0.2 , 定出 D点 .,以 DD 为直径绘出的圆即为应力圆。,将 半径 CD 逆时针转动 2 = 60到半径 CE, E 点的坐标就代表 = 30斜截面上的应力。,(2) 确定 = 30斜截面上的应力,(3) 确定 = - 40斜截面上的应力,将 半径 CD顺时针转 2 = 80到半径 CF, F 点
17、的坐标就代表 = - 40 斜截面上的应力。,例题8 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横 截面尺寸示于图中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处的应力圆，并 用应力圆求出这两点处的主应力。,解: (1) 首先计算支反力, 并作出梁的剪力图和弯矩图,Mmax = MC = 80 kNm,FSmax =FC左 = 200 kN,(2)横截面 C上a 点的应力为,a点的单元体如图所示,由 x ， xy 定出 D 点,由 y ， yx 定出 D 点,以 DD为直径作应力圆,O,(3)做应力圆,x =122.5MPa， xy =64.6MPa,y=0， xy =-64.6MPa,A1，A2
18、 两点的横坐标分别代 表 a 点的两个主应力 1 和 3,A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面,(4)横截面 C上b点的应力,b点的单元体如图所示,b 点的三个主应力为,1所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C,已知受力物体内某一点处三个主应力 1、2、3,利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。,一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力 (the maximum normal stress and shear stress in three-dimensional stress-state),7-4 三向应力状态分析 (analysis of three-dimensi
19、onal stress-state),首先研究与其中一个主平面 (例如主应力3 所在的平面)垂 直的斜截面上的应力,1,2,2,用截面法，沿求应力的 截面将单元体截为两部分， 取左下部分为研究对象,主应力 3 所在的两平面上是一对 自相平衡的力， 因而该斜面上的 应力 , 与 3 无关, 只由主应力 1 , 2 决定,与 3 垂直的斜截面上的应力可由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表示,该应力圆上的点对应 于与3 垂直的所有斜 截面上的应力,O,与主应力 2 所在主平面垂 直的斜截面上的应力, 可 用由 1 ,3 作出的应力圆 上的点来表示,与主应力 所在主平面垂 直的斜截面上的应力 , 可
20、用 由 2 ,3作出的应力圆上的点 来表示,该截面上应力 和 对应的 D 点必位于上述三个应力圆所围成 的阴影内,abc 截面表示与三个主平 面斜交的任意斜截面,1,2,1,2,3,结论,三个应力圆圆周上的点 及由它们围成的阴影部分 上的点的坐标代表了空间 应力状态下所有截面上的 应力,该点处的最大正应力 (指代数值)应等于最大应 力圆上A点的横坐标 1,最大切应力则等于最大的应力圆的半径,最大切应力所在的截 面与 2 所在的主平 面垂直，并与1和 3 所在的主平面成 450角。,例题9 单元体的应力如图所示 ,作应力圆, 并求出主应力和最大 切应力值及其作用面方位.,解: 该单元体有一个已知
21、主应力,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z 无关, 依据 x 截面和 y 截面上的应力画出应力圆. 求另外两个主应力,由 x ， xy 定出 D 点,由 y ， yx 定出 D 点,以 DD为直径作应力圆,A1，A2 两点的横坐标分别代 表另外两个主应力 1 和 3, 1 =46MPa, 3 =-26MPa,该单元体的三个主应力, 1 =46MPa, 2 =20MPa, 3 =-26MPa,根据上述主应力，作出三个应力圆, 7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state),平面应力状态下，已知一点的应变分量x 、y 、 xy ，欲求方向 上
22、的线应变和切应变 ,可根据弹性小变形的几何条件，分别找 出微单元体（长方形）由于已知应变分量x 、y 、 xy在此方向上 引起的线应变及切应变，再利用叠加原理.,一、任意方向的应变(The strain of any direction),在所研究的 O 点处, Oxy 坐标系 内的线应变 x , y , xy 为已知. 求该点沿任意方向的线应变 .,将Oxy 坐标绕O点旋转一个 角，得到一个新 Ox y坐标系.,并规定 角以逆时针转动时 为正值，反之为负值., 为 O 点沿 x方向的线变, 为直角 xOy的改变量 ，即切应变.,假设:,（1）O点处沿任意方向的微段内, 应变是均匀的;,（2）
23、变形在线弹性范围内都是微小的, 叠加原理成立;,分别计算 x ,y ,xy 单独存在时的线应变 和切应变 ，然 后叠加得这些应变分量同时存在时的 和 .,1、推导线应变 ( Derive the linear strain),从O点沿 x方向取出一微 段 OP = dx, 并以它作为 矩形 OAPB 的对角线.,该矩形的两边长分别为 dx 和 dy,x,（1）只有正值 x 存在,y,x,假设 OB 边不动，矩形 OAPB 变形后成为 OAPB,O点沿 x方向的线应变 1 为,（2）只有正值 y存在,y,x,P,假设 OA 边不动,矩形 OAPB 变形后为 OAP“B,的伸长量为,O点沿 x方向
24、的线应变 2 为,（3）只有正值 切应变xy存在,A,B,dx,dy,x,y,O,y,x,P,使直角减小的 为正,假设 OA 边不动,矩形 OAPB 变形后为 OAP“B“,xy,的伸长为,O 点沿 x方向的线应变为,根据叠加原理，x , y 和 xy 同时存在时，O点沿 x方向的线应 变为,2、切应变 (Shearing stress),以上两式利用三角函数化简得到,应力状态与应变状态,二、主应变数值及其方位 (The principal strains and its direction),一、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hookes law for isotro
25、pic materials),（1） 正应力：拉应力为正, 压应力为负,1、符号规定 (Sign convention),（2） 切应力：对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针，则为正；反之为负,（3） 线应变：以伸长为正, 缩短为负；（4） 切应变：使直角减者为正, 增大者为负.,7-6 广义虎克定律(Generalized Hookes law ),x 方向的线应变,用叠加原理，分别计算出 x , y , z 分别单独存在时, x ，y， z方向的线应变 x , y， z，然后代数相加.,2、各向同性材料的广义胡克定律 (Generalized Hookes law for isotro
26、pic materials),单独存在时,单独存在时,单独存在时,在 x 、y 、 z同时存在时, x 方向的线应变x为,同理，在 x 、y 、z同时存在时, y , z 方向的线应变为,在 xy，yz，zx 三个面内的切应变为,上式称为广义胡克定律(Generalized Hookes law）, 沿x、y、z轴的线应变 在xy、yz、zx面上的角应变,对于平面应力状态（In plane stress-state） (假设 z = 0，xz= 0，yz= 0 ),3、主应力-主应变的关系(Principal stress-principal strain relation）,二向应力状态下(
27、In plane stress-state)设 3 = 0,已知 1、 2、 3；1、2 、3 为主应变,二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strainfor isotropic materials),构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用表示.,各向同性材料在三向应力状态下的体应变,如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3,变形后的边长分别为,变形后单元体的体积为,a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3,V1=a1(1+ a2(1+2 a3(1+3,体积应变（Volumetric strain）为,1、纯剪切应力状态下的体积应变（ Volumetr
28、ic strain for pure shearing stress-state),即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变.,2、三向等值应力单元体的体积应变(The volumetric strain of triaxial-equal stress element body),三个主应力为,单元体的体积应变,这两个单元体的体积应变相同,单元体的三个主应变为,如果变形前单元体的三个棱边成某种比例，由于三个棱边 应变相同，则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例. 所以 在三向等值应力m的作用下，单元体变形后的形状和变形前 的相似，称这样的单元体是形状不变的.,在最一般的空间应力状态下
29、，材料的体积应变只与三 个线应变 x ，y， z 有关，仿照上述推导有,在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体 积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之 和成正比, 而与切应力无关.,例题10 边长 a = 0.1m 的铜立方块，无间隙地放入体积较大， 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图所示. 已知铜的弹性模量 E=100GPa，泊松比 =0.34，当受到F=300kN 的均布压力作用时，求该铜块的主应力、体积应变以及最大切应力.,解：铜块横截面上的压应力,铜块受力如图所示变形条件为,解得,铜块的主应力为,最大切应力,体积应变为,例题11 一直径 d =20mm的实心圆轴
30、，在轴的的两端加扭矩 m=126Nm. 在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成 -45方向的应变 =5.010-4 ,试求此圆轴材料的剪切弹性模 量 G.,m,m,A,45,x,解：围绕A点取一单元体,例题12 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点与其轴线成 45和135角，即 x, y 两方向分别贴上应变片，然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶，如图所示，已知圆筒材料的弹性常数为 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内，且 max = 100MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度.,解: 从圆筒
31、表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图 所示可求得,k点处的线应变 x , y 为,（压应变）,（拉应变）,圆筒表面上k点处沿径向 (z轴) 的应变和圆筒中任一点 ( 该点到 圆筒横截面中心的距离为 )处的径向应变为,因此，该圆筒变形后的厚度并无变化，仍然为 t =10mm .,b,h,z,b=50mm,h=100mm,例题13 已知矩形外伸梁受力F1，F2作用. 弹性模量 E=200GPa，泊松比 = 0.3 , F1=100KN ， F2=100KN。,求：（1）A点处的主应变 1， 2 ， 3,（2）A点处的线应变 x ， y ， z,a,F1,F2,F2,l,解：梁为拉伸与
32、弯曲的组合变形. A点有拉伸引起的正应力 和弯曲引起的切应力.,（拉伸）,（负）,（1）A点处的主应变 1， 2 ， 3,（2）A点处的线应变 x， y， z,例题14 简支梁由18号工字钢制成. 其上作用有力F= 15kN ， 已知 E=200GPa , = 0.3.,0.5,0.5,0.25,F,求：A 点沿 00 ，450，900 方向的线应变,h/4,解：,yA ，Iz ，d 查表得出,为图示面积对中性轴z的静矩,z,7-7 复杂应力状态的应变能密度 (Strain-energy density in general stress-state),一、应变能密度的定义 (Definiti
33、on of Strain-energy density ),二、应变能密度的计算公式 (Calculation formula for Strain-energy density),1、单向应力状态下, 物体内所积蓄的应变能密度为 (Strain-energy density for simple stress-state ),物体在单位体积内所积蓄的应变能.,将广义胡克定律代入上式, 经整理得,用 vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度, 称为畸变能密度（The strain-energy density correspondingto the distortion.）,用 vV
34、表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为 体积改变能密度（ The strain-energy density correspondingto the volumetric),2、三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为(Strain-energy density for simple stress-state ),应变能密度 v等于两部分之和,图 a 所示单元体的三个主应力不相等，因而，变形后既发生 体积改变也发生形状改变.,图 b 所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状 与原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变.,图 b 所示单元体的体积改变比能密度,a单元体的比能
35、为,a所示单元体的体积改变比能,空间应力状态下单元体的 畸变能密度,一、强度理论的概念（Concepts of failure criteria),1、引言 (introduction),7-8 强度理论(The failure criteria),轴向拉、压,弯曲,剪切,扭转,弯曲,(2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.,上述强度条件具有如下特点,(1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态；,2、 强度理论的概念(Concepts for fail
36、ure criteria),是关于“构件发生强度失效 起因”的假说.,基本观点,构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何 复杂，其破坏形式总不外乎几种类型，而同一类型的破坏则 可能是某一个共同因素所引起的.,根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行 分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料 在单向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态 下的强度条件.,（1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂.,二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature
37、 and static loads),屈服失效(Yielding failure) 材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.,2. 断裂失效(Fracture failure),（2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.,引起破坏 的某一共同 因素,形状改变 比能,最大切应力,最大线应变,最大正应力,2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；,3、杜奎特(C.Duguet)提出了最大切应力理论；,4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论，这是后来人们在他的书信出版后才知道的.,三、四个强度理论 (Four failure criteria),1、伽利略播下了第一强度理
38、论的种子；,第一类强度理论 以脆断作为破坏的标志,包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,第 二类强度理论以出现屈服现象作为破坏的标志,包括：最大切应力理论和形状改变比能理论,根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏.,1、 最大拉应力理论（第一强度理论）(Maximum-normal-stress criterion ),基本假说：最大拉应力 1 是引起材料脆断破坏的因素.,脆断破坏的条件：1 = u,四、第一类强度理论(The first types of failure criteria),强度条件:,1 ,2、最大伸长线应变理论（第二强度
39、理论)( Maximum-normal-strain criterion),根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏.,基本假说：最大伸长线应变 1 是引起材料脆断破坏的因素.,脆断破坏的条件,最大伸长线应变,强度条件,1、最大切应力理论 (第三强度理论) ( Maximum-shear-stress criterion),基本假说: 最大切应力 max 是引起材料屈服的因素.,根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效.,屈服条件,五、第二类强度理论(The second types of
40、 failure criterion）,在复杂应力状态下一点处的最大切应力为,强度条件,2、畸变能密度理论（第四强度理论） ( Maximum-distortion-energy criterion),基本假说：畸变能密度 vd是引起材料屈服的因素.,单向拉伸下，1= s， 2= 3=0，材料的极限值,强度条件,屈服准则,六、相当应力（Equivalent stress),把各种强度理论的强度条件写成统一形式,r 称为复杂应力状态的相当应力.,莫尔认为：最大切应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律).综合最大切应力及最大正应力的因素，莫尔得出了他自己的强度理论.
41、,强度理论,7-9 莫尔强度理论 (Mohrs failure criterion),一、引言（Introduction),二、莫尔强度理论(Mohrs failure criterion) ：任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即 将屈服或剪断.,公式推导,1、适用范围(The appliance range ),(2) 塑性材料选用第三或第四强度理论；,(3) 在二向和三向等拉应力时，无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏，故选用第一或第二强度理论；,三、 各种强度理论的适用范围及其应用（The appliance range and application for all failure
42、 criteria),(1) 一般脆性材料选用第一或第二强度理论；,(4) 在二向和三向等压应力状态时，无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论.,2、强度计算的步骤 (Steps of strength calculation),(1)外力分析：确定所需的外力值；,(2)内力分析：画内力图，确定可能的危险面；,(3)应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力；,(4)强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算.,3、应用举例（Examples）,例题15 一蒸汽锅炉承受最大压强为p , 圆筒部分的内径为D ，厚度为 t , 且 t 远
43、小于D . 试用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度. 已知 p=3.6MPa，t=10mm，D=1m，=160MPa.,内壁的强度校核,所以圆筒内壁的强度合适.,用第四强度理论校核圆筒内壁的强度,例题16 根据强度理论 , 可以从材料在单轴拉伸时的 可推知 低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的 .,纯剪切应力状态下:,1 = , 2 = 0 , 3 = ,按第三强度理论得强度条件为：,另一方面，剪切的强度条件是：,所以, = 0.5 ,为材料在单向拉伸时的许用拉应力.,材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为 .,按第四强度理论得强度条件为：,按第三强度理论得到：,按第四强度理论得到：, = 0.
44、5 , 0.6 ,例题17 对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力.,120 MPa,解：（1）单元体（a）,（2）单元体（b）,（3）单元体（c）,（4）单元体（d）,F,解：危险点A的应力状态如图,例题18 直径为 d=0.1m 的圆杆受力如图, T=7kNm, F=50kN, 材料为铸铁，=40MPa, 试用第一强度理论校核杆的强度.,故安全.,F,T,T,例题19 薄壁圆筒受最大内压时,测得 x=1.8810-4，y=7.3710-4 ，已知钢的 E=210GPa，=170MPa，泊松比=0.3，试用第三 强度理论校核其强度.,解：由广义虎克定律,所以，此容器不
45、满足第三强度理论，不安全.,主应力,相当应力,例题20 两端简支的工字钢梁承受载荷如图所示已知其材料 Q235 钢的许用为 = 170MPa， = 100MPa. 试按强度条件 选择工字钢的型号.,解：作钢梁的内力图.,FSC左 = FSmax = 200kN,MC = Mmax = 84kNm,C , D 为危险截面,（1）按正应力强度条件选择截面,取 C 截面计算,选用 28a 工字钢，其截面的Wz=508cm3.,（2）按切应力强度条件进行校核,对于 28a 工字钢的截面，查表得,最大切应力为,选用 28a 钢能满足切应力的强度要求.,取 A 点分析,（3） 腹板与翼缘交界处的的强度校核,（+）,A点的应力状态如图所示,A点的三个主应力为,由于材料是 Q235 钢，所以在平面应力状态下，应按第四强度 理论来进行强度校核.,应另选较大的工字钢.,若选用 28b号工字钢，算得 r4 = 173.2MPa , 比 大1.88% 可选用 28b 号工字钢.,第七章结束,
