1、1,第七章应力状态分析 强度理论,2,低碳钢,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸 铁,1、问题的提出,71 应力状态的概念,3,脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？,低碳钢,铸 铁,71 应力状态的概念,4,71 应力状态的概念,2、受力构件内应力特征：,（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的； （2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的； （3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。,1、一点处的应力状态: 受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合, 称为一点处的应力状态。,5,3、单元体法,（1）单元体截取方法: 围绕该点取出一个单元体。,例如 图 9-1
2、a 所示矩形截面悬臂梁内A点的应力状态,6,71 应力状态的概念,7,目录,71 应力状态的概念,8,单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用 表示，并且 该单元体称为主应力单元。,71 应力状态的概念,9,空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零,平面（二向）应力状态：一个主应力为零,单向应力状态：两个主应力为零,71 应力状态的概念,10,11,1.斜截面上的应力,7-2 解析法分析二向应力状态,12,列平衡方程,7-2 解析法分析二向应力状态,13,利用三角函数公式,并注意到 化简得,7-2 解析法分析二向应力状态,14,2.正负号规则,正应力：拉为正；反之
3、为负,切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。,角：由x 轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,7-2 解析法分析二向应力状态,15,确定正应力极值,设0 时，上式值为零，即,3. 正应力极值和方向,即0 时，切应力为零,7-2 解析法分析二向应力状态,16,由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,所以，最大和最小正应力分别为：,主应力按代数值排序：1 2 3,7-2 解析法分析二向应力状态,17,试求（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,例题1：一点处的平面应力状态如图所示。,已知,7-2 解析法分析二向应力状
4、态,18,解：,（1） 斜面上的应力,7-2 解析法分析二向应力状态,19,（2）主应力、主平面,7-2 解析法分析二向应力状态,20,主平面的方位：,代入 表达式可知,主应力 方向：,主应力 方向：,7-2 解析法分析二向应力状态,21,（3）主应力单元体：,7-2 解析法分析二向应力状态,22,例2 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原始单元体,求极值应力,7-2 解析法分析二向应力状态,23,7-2 解析法分析二向应力状态,24,铸铁,25,破坏分析,铸铁,7-2 解析法分析二向应力状态,26,这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆,7-3 图解法分析二向应力状态,27,1
5、. 应力圆：,7-3 图解法分析二向应力状态,28,2.应力圆的画法,7-3 图解法分析二向应力状态,29,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力,3、几种对应关系,7-3 图解法分析二向应力状态,30,31,例 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：主应力坐标系如图,AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,s1,s2,在坐标系内画出点,32,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,33,解法2解析法：分析建立坐标系如图,34,图为承受均布载荷作用的简支梁。 截面距离左端支座为 。指出 横截面1至5
6、点沿纵横截面截取的单元体各面上的应力方向。 若2点的横截面上的正应力为 ，剪应力为 ，试确定2点的主应力及主平面的方位。,例题,35,解：（1）,则m-m截面上的剪力和弯矩均为正,由此可得各点的应力状态图如下,梁的内力图如图所示,36,单元体的应力状态：,主应力的计算：,纯剪切应力状态,37,（2）点2的主应力及主平面的方位,围绕点2截取的单元体及各面上的应力情况如图。因上、下面上等于零的正应力是代数较大的应力，故选定轴 的方向垂直向上，这样，根据已知条件，单元体侧面上的应力为,则,或,38,从 x 轴按反时针方向的角度27.5度，确定最大正应力所在的主平面，以同一方向的角度117.5度，确定
7、最小正应力所在的另一主平面。这两个主应力大小为,按照主应力的记号规定,39,（3）最大剪应力及所在平面的方位,将两个 分别代入,得出,当然，也可由如下公式计算剪应力的极值,40,（4）梁的主应力迹线,1,s1,s3,s3,s1,s3,4,s1,s1,s3,5,a0,45,a0,s,t,A1,A2,D2,D1,C,O,s,t,D2,D1,C,D1,O,2a0= 90,s,D2,A1,O,t,2a0,C,D1,A2,s,t,A2,D2,D1,C,A1,O,s,A2,D2,D1,C,A1,O,t,2a0,41,在求出梁横截面上一点主应力的方向后，把其中一个主应力的方向延长与相邻横截面相交，求出交点处
8、的主应力方向，再将其延长得到一条折线，它的极限是一条曲线。在这样的曲线上，任一点的切线即代表该点主方向。这种曲线称为主应力迹线。经过每一点有两条相互垂直的主应力迹线。,x,y,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,42,图中表示梁内的两组主应力迹线，虚线为主压应力迹线，实线为主拉应力迹线。在钢筋混凝土梁中，钢筋的作用是抵抗拉伸，所以，应使钢筋尽可能地沿着主拉应力迹线的方向放置。,43,主应力迹线（Stress Trajectories)：主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。,实线表示拉主应力迹线；
9、虚线表示压主应力迹线。,44,1、 空间应力状态的概念,X 平面：法线与X轴平行的平面。y , z平面的定义类似。,7-4 三向应力状态,45,表示x平面沿y方向的剪应力,第一下标表示剪应力所在的平面。,第二下标表示剪应力的方向。,46,因而独立的应力分量是6个,空间应力状态的最普遍情况如 图 9 - 9 所示 。,根据剪应力互等定理，在数值上有,47,2、 应力状态的分类,48,受力物体内某一点处三个主应力 1、2、3 均为已知 ( 图 9-11a ),利用 应力圆 确定该点的最大正应力和最大剪应力, 。,3 、 空间应力状态下的最大正应力和最大剪应力,49,首先研究与其中一个主平面 (例如
10、主应力3 所在的平面)垂直的斜截面上的应力。,50,用截面法，沿求应力的截 面将单元体截为两部分， 取左下部分为研究对象。,51,与3垂直的斜截面上的应力可由 1 ,2作出的应力圆上的点来表示。,主应力 3 所在的两平面上是一对自相平衡的力， 因而该斜面上的应力, 与 3无关, 只由主应力 1 , 2 决定。,52,与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可用由1 ,3作出的应力圆上的点来表示。,53,与主应力所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可用由2 ,3作出的应力圆上的点来表示。,54,该截面上应力和 对应的D点必位于上述三个应力圆所围成 的阴影内。,abc 截面表示与三个主平面斜交的
11、任意斜截面,55,结论,三个应力圆周上的 点及由它们围成的 阴影部分上的点的 坐标代表了空间应 力状态下所有截面 上的应力。,56,57,该点处的最大正应力 (指代数值)应等于最大 应力圆上A点的横坐标1,A,58,最大剪应力则等于最大的应力圆上B点的纵坐标(图9-11c),A,59,A,最大剪应力所在的截面与2 所在平面垂直, 并与1与3所在的主平面各成45角。,60,上述两 公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态,只需将具体问题的主应力求出,并按代数值1 2 3 的顺序排列。,空间应力圆画法,61,例题 9-3 单元体的应力如图 a 所示 ,作应力圆, 并求出主应力和最大剪应力值及其作用
12、面方位。,62,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z无关, 依据 x 截面和 y 截面上的应力画出应力圆.,解: 该单元体有一个已知主应力,63,46MP,-26MP,量得另外两个主应力为,64,该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为,65,o,c,根据上述主应力，作出三个应力圆。,66,从应力圆上量得,据此可确定1所在的主平面方位和主单元体各面间的相互位置.,67,其中最大剪应力所在截面与2垂直,与1和3所在的主平面各成45 夹角。,68,max,69,解析法 由单元体图知：y z面为主面,MPa,由计算公式,所以：,MPa,例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa
13、）,70,1. 基本变形时的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,7-5 广义胡克定律,71,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,7-5 广义胡克定律,72,7-5 广义胡克定律,73,3、广义胡克定律的一般形式,7-5 广义胡克定律,74,7-5 广义胡克定律,二、体积应变及应力的关系,1体积应变,变形前单元体的体积为,变形后，三个棱边的长度变为,75,由于是主单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为,于是，单元体单位体积的改变,76,例题,7-13 在一体积较大的钢块上开一贯穿槽，其宽度和深度均为10mm，在槽内紧密无隙地嵌入一尺寸为10mm*10m
14、m*10mm 的铝质立方块。当铝块受到合力为F=6kN的均布压力作用时，假设钢块不变形，铝的弹性模量E=70GPa，泊松比为0.33。试求铝块的三个主应力及相应的变形。,77,由：,所以：,1求主应力,例题,78,2求主应变,例题,79,7-15 从钢构件内某点周围取出的单元体如图所示。已知， ，钢的弹性模量 ，泊松比 。试求对角线AC的长度改变。,例题,80,例题,1、对角线方向及其垂直方向的应力,2 对角线方向的长度改变,81,2体积应变与应力的关系,称为体积弹性模量,体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与平均应力成正比，称为体积虎
15、克定律。,是三个主应力的平均值,82,7-6 复杂应力状态的应变比能,在轴向拉伸或压缩时，根据外力功和应变能在数值上相等的关系，导出比能的计算公式为,本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能,一、应变比能,83,在此情况下，弹性体储存的应变能在数值上仍与外力所作的功相等。但在计算复杂应力状态的应变能时，需要注意以下两点。,（1）应变能的大小只决定于外力和变形的最终数值，而与加力次序无关。这是因为若应变能与加力次序有关，那么，按一个储存能量较多的次序加力，而按另一个储存能量较小的次序卸载，完成一个循环后，弹性体内将增加能量，显然，这与能量守恒原理相矛盾。 （2）应变能的计算不能采用叠加原理 这
16、是因为应变能与载荷不是线性关系，而是载荷的二次函数。从而不满足叠加原理的应用条件。,84,假定应力按 ： ： 的比例同时从零增加至最终值，在线弹性情况下，每一主应力与相应的主应变仍保持线性关系，因而与每一主应力相应的比能仍可按 计算，于是，复杂应力状态下的比能是,85,二、体积改变比能和形状改变比能,对于单元体的应变能 也可认为是由以下两部分组成：因体积改变而储存的比能 。称作体积改变比能。体积不变，只因形状改变而储存的比能 。称作形状改变比能（或歪形能）,86,对于图所示的应力状态（只发生体积改变），将平均应力 代入公式，得到单元体的体积改变比能为,87,根据,88,纯剪切应力状态以剪应力表
17、示的比能为,对于纯剪应力状态，单元体的三个主应力分别为：,可算出比能为,按两种方式算出的比能同为纯剪切应力状态的比能,例题：导出各向同性材料在线弹性范围内时的弹性常数 、 、 之间的关系。,89,（拉压）,（弯曲）,（弯曲）,（扭转）,（切应力强度条件）,1. 杆件基本变形下的强度条件,7-10、强度理论概述,90,7-10、强度理论概述,91,强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,7
18、-10、强度理论概述,92,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论,(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,7-10、强度理论概述,93,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单拉实验测得
19、,7-11、经典强度理论,94,断裂条件,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,铸铁拉伸,铸铁扭转,7-11、经典强度理论,95,2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,7-11、经典强度理论,96,实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆 性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论 更接近实际情况。,2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）,断裂条件,即,7-11、经典强度理论,97,无论材料处于什么应
20、力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。,3. 最大切应力理论（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉伸实验测得,7-11、经典强度理论,98,屈服条件,强度条件,3. 最大切应力理论（第三强度理论）,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,7-11、经典强度理论,99,实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生 断裂的事实。,局限性：,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，,1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。,3. 最大切应力理论（第三强度理论）,7-11、经典强度理论,100,无论材料处于什
21、么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。,4. 形状改变比能理论（第四强度理论）,构件危险点的形状改变比能,形状改变比能的极限值，由单拉实验测得,7-11、经典强度理论,101,屈服条件,强度条件,4. 形状改变比能理论（第四强度理论）,实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理 论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,7-11、经典强度理论,102,强度理论的统一表达式：,相当应力,7-11、经典强度理论,103,7-12 莫尔强度理论,莫尔认为：最大剪应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大剪应力及最大正应力的因素
22、，莫尔得出了他自己的强度理论。,104,近似包络线,极限应力圆的包络线,O,t,s,一、两个概念：,1、极限应力圆：,2、极限曲线：极限应力圆的包络线（envelope）。,105,2、强度准则：,1、破坏判据：,二、莫尔强度理论：任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断。,106,三、相当应力：（强度准则的统一形式）。,其中， *相当应力。,3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。,107,已知： 和 试写出:最大切应力准则和形状改变能密度准则的表达式。,例 题,108,解：首先确定主应力,例 题,10
23、9,例 题,对于最大切应力准则,对于形状改变比能准则,110,根据强度理论 , 可以从材料在单轴拉伸时的 可推知低 C 钢类塑性材料在纯剪切应力状态 下的 ,纯剪切应力状态下 : 1 = , 2 = 0 , 3 = ,为材料在单轴拉伸是的许用拉应力。,第四强度理论：,第三强度理论：,111,8-4 图示为用25b工字钢制成的简支梁，钢的许用正应力，许用切应力 ， 。试对该梁作全面的强度校核。,例题,112,例题,1作内力图，确定危险截面,113,2正应力强度校核,3切应力强度校核,4主应力强度校核在C（D）截面的翼缘与腹板交界处靠腹板一侧处各点的正应力和剪应力均较大，应对该点进行主应力强度校核
24、，其应力状态如图所示。,例题,114,例题,115,按第三强度理论,而按第四强度理论, 此梁满足强度要求。,例题,116, 断裂准则(Criteria of Fracture), 无裂纹体的断裂准则最大拉应力准则 (Maximum Tensile-Stress Criterion),无论材料处于什么应力状态,只要生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到了一个共同的极限值。,7-13 含裂纹时的断裂准则,117, 无裂纹体的断裂准则最大拉应力准则,118, 无裂纹体的断裂准则最大拉应力准则,失效判据,设计准则,119, 带裂纹体的断裂准则线性断裂力学准则, 裂纹尖端的应力集中, 韧性材料脆性断裂,120,应力集中,应力集中因数 K=max/ avg,121,应力集中因数 K,122, 裂纹尖端的应力集中,Singularity,名义应力,123, 线性断裂力学判据KI=KICKI应力强度因子KIC断裂韧性(由实验确定), 经典准则不再适用应力集中区域内材料处于三向拉伸应力状态材料由韧性向脆性转变,
