9 应力状态及应变状态分析.doc

1、9 应力状态及应变状态分析通过对前几章的讨论，我们已经了解了杆件在基本变形时横截面上的应力情况。实际上一点的应力情况除与点的位置有关以外，还与通过该点所截取的截面方位有关。为了讨论一点在不同截面上的应力情况，为讨论组合变形打下一定的理论基础，本章介绍：应力状态、应变状态的概念；应力状态、应变状态分析；复杂应力状态下一点的应力与应变的关系广义虎克定律，复杂应力状态下的变形比能。在此基础上介绍强度理论的概念及常用的四种强度理论。9.1 应力状态的概念9.1.1 一点处的应力状态受力构件内任意一点、在不同方位各个截面上的应力情况，称为该点处的应力状态。判断一个受力构件的强度，必须了解这个构件内各点处

2、的应力状态，即了解各个点处不同截面的应力情况，从而找出哪个点、哪个面上正应力最大，或剪应力最大。据此建立构件的强度条件，这就是研究应力状态的目的。9.1.2 通过单元体分析一点的应力状态如上所述，应力随点的位置和截面方位不同而改变，若围绕所研究的点取出一个单元体（如微小正六面体） ，因单元体三个方向的尺寸均为无穷小，所以可以认为：单元体每个面上的应力都是均匀分布的，且单元体相互平行的面上的应力都是相等的，它们就是该点在这个方位截面上的应力。所以，可通过单元体来分析一点的应力状态。9.1.3 主应力及应力状态的分类包括受力构件内的某点，所截取出的单元体，一般来说，各个面上既有正应力，又有剪应力（

3、图 9.1a） 。以下根据单元体各面上的应力情况，介绍应力状态的几个基本概念。 主平面 如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。 主应力 主平面上的正应力称为主应力。 主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。可以证明：从受力构件某点处，以不同方位截取的诸单元体中，必有一个单元体为主单元体。主单元体在主平面上的主应力按代数值的大小排列，分别用 1， 2和 3表示，即 321（图 9.1b） 。 应力状态的类型 若在一个点的三个主应力中，只有一个主应力不等于零，则这样的应力状态称为单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，则称为二向应力状

4、态或平面应力状态。若三个主应力皆不为零，则称为三向应力状态或空间应力状态。单向应力状态也称为简单应力状态。二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。关于单向应力状态，已于第二章中进行过讨论，本章将重点讨论二向应力状态。图 9.1 应力状态的一般情况和已知三个主应力的应力状态9.2 应力状态的实例9.2.1 直杆轴向拉伸时的应力状态直杆轴向拉伸时（图 9.2a） ， 围绕杆内任一点 A 点以纵横六个截面取出单元体（图 9.2b） ，其平面图则表示在图 9.2c 中，单元体的左右两侧面是杆件横截面的一部分，其面上的应力皆为 P。单元体的上、中、前、后四个面都是平行于轴线的纵向面，面上皆无任何应力。根据

5、主单元体的定义，知此单元体为主单元体，且三个垂直面上的主应力分别为 0,0, 321 AP围绕 A 点也可用与杆轴线成 45的截面和纵向面截取单元体（图 9.2d） ，前、后面为纵向面，面上无任何应力，而在单元体的外法线与杆轴线成 45的斜面上既有正应力又有剪应力（见第二章） 。因此，这样截取的单元体不是主单元体。由此可见，描述一点的应力状态按不同的方位截取的单元体，单元体各面上的应力也就不同，但它们均可表示同一点的应力状态。9.2.2 圆轴扭转时，轴的表面上任一点 A 的应力状态围绕圆轴上 A 点（图 9.3a）仍以纵横六个截面截取单元体（图 9.3b） 。单图9.2 直杆轴向拉伸时杆内任一

6、点的应力状态图9.3受扭圆轴表面点 A的应力状态元体的左、右两侧面为横截面的一部分，正应力为零，而剪应力为 tWT由剪应力互等定理，知在单元体的上、下两上，有 。因为单元体的前面为圆轴的自由面，故单元体的前、后面上无任何应力。单元体面受力如图9.3（c）所示。由此可见，圆轴受扭时，A 点的应力状态为纯剪切应力状态。进一步的分析表明（见本章例 9.1）若围绕着 A 点沿与轴线成 45的截面截取一单元体（图 9.3d） ，则其 45斜截面上的剪应力皆为零。在外法线与轴线成 45的截面上，有压应力，其值为 。在外法线与轴线成 的截面上有拉应力，其值为 。考虑到前、后面两侧面无任何应力，故图 9.3（

7、d）所示的单元体为主单元体。其主应力分别为 321,0,可见，纯剪切应力状态为二向应力状态。9.2.3 圆筒形容器承受内压作用时任一点的应力状态当圆筒形容器（图 9.4a）的壁厚 t 远小于它的直径 D 时（例如， 20t） ，称为薄壁圆筒。若封闭的薄壁圆筒承受的内压力为 p，则沿圆筒轴线方向作用于筒底的总压力为 P（图 9.4b） ，且 42P薄壁圆筒的横截面积为 Dt，因此圆筒横截面上的正应力 为 tptAP42（9.1）用相距为 l 的两个横截面和通过直径的纵向平面，从圆筒中截取一部分图9.4薄壁圆筒承受内压时，壁上任一点A的应力状态分析（图 9.4c） 。设圆筒纵向截面上的内力为 N，

8、正应力为 ，则tlN取圆筒内壁上的微面积 2lDdA。内压 p 在微面积上的压力为2/plDd。它在 y方向的投影为 sinp。通过积分求出上述投影的总和为pllsin0积分结果表明：截取部分在纵向平面上的投影面积 lD与 p 的乘积，就等于内压力在 y方向投影的合力。考虑截取部分在 y方向的平衡（图 9.4d）02,plDN2plN将 N 代入 表达式中，得 tDl（9.2）从公式（9.1）和（9.2）看出，纵向截面上的应力 是横截面上应力 的两倍。由于内压力是轴对称载荷，所以在纵向截面上没有剪应力。又由剪应力互等定理，知在横截面上也没有剪应力。围绕薄壁圆筒任一点 A，沿纵、横截面截取的单元

9、体为主平面。此外，在单元体 ABCD 面上，有作用于内壁的内压力p 或作用于外壁的大气压力，它们都远小于 和 ，可以认为等于零（见式9.1 和 9.2，考虑到 Dt，易得上述结论） 。由此可见，A 点的应力状态为二向应力状态，其三个主应力分别为9.2.4 在车轮压力作用下，车轮与钢轨接触点 A 处的应力状态围绕着车轮与钢轨接触点（图 9.5a） ，以垂直和平行于压力 P 的平面截取单元体，如图 9.5（b）所示。在车轮与钢轨的接触面上，有接触应力 3。由于3的作用，单元体将向四周膨胀，于是引起周围材料对它的约束压应力 1和图9.5车轮钢轨接触点 A的应力状态2（理论计算表明，周围材料对单元体的

10、约束应力的绝对值小于由 P 引起的应力绝对值 3，因为是压应力，故用 1和 2表示） 。所取单元体的三个相互垂直的面皆为主平面，且三个主应力皆不等于零，因此，A 点的应力状态为三向应力状态。9.3 二向应力状态分析解析法9.3.1 二向应力状态下斜截面上的应力二向应力状态分析，就是在二向应力状态下，通过一点的某些截面上的应力，确定通过这一点的其他截面上的应力，从而进一步确定该点的主平面、主应力和最大剪应力。从构件内某点截取的单元体如图 9.6（a）所示。单元体前、后两个面上无任何应力，故前、后两个面为主平面，且这个面上的主应力为零，所以，它是二向应力状态。 在图 9.6（a）所示的单元体的各面

11、上，设应力分量 x、 y、 x和 y皆为已知。关于应力的符号规定为：正应力以拉应力为正，而压应力为负；剪应力以对单元体内任意点的矩为顺时针时，规定为正，反之为负。现研究单元体任意斜截面 ef 上的应力（图 9.6b） 。该截面外法线 n 与 x 轴的夹角为 。且规定：由 x 轴转到外法线 n 为逆时针时，则 为正。以斜截面ef 把单元体假想截开，考虑任一部分的平衡，根据平衡方程 0F和0tF，则 cossicoxxy dAdAinsinyxxy0siiy考虑到剪应力互等定理， xy与 在数值上相等，以 xy代替 yx，简化以上平图9.6 二向应力状态分析衡方程最后得出：2sinco2xyyxy

12、x （9.3）cssinxyyx（9.4）上式表明： 和 都是 的函数，即任意斜截面上的正应力 和剪应力 随截面方位的改变而变化。9.3.2 主应力及主平面的方位9.3.2.1 正应力的极值及其所在平面的方位为求正应力的极值，可将式（9.3）对 取导数，得2d2cossinxyyx若 0时，导数 0，则在 0所确定的截面上，正应力为极值。以 代入上式，并令其等于零 02cos2sinxy0yx 得 yx02tan（9.5）式（9.5）有两个解： 0和 90。因此，由式（9.5）可以求出相差90的两个角度 ，在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。在这两个互相垂直的平面中，一个是最大

13、正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。从式（9.5）求出 02sin和 0cos，代入式（9.3） ，求得最大或最小正应力为 2xyyxyxmina2（9.6）至于 0确定的两个平面中哪一个对应着最大正应力，可按下述方法确定。若 x为两个正应力中代数值较大的一个，则式（9.5 ）确定的两个角度0和 9，绝对值较小的一个对应着最大正应力 max所在的平面；反之，绝对值较大的一个对应着最大正应力 max所在的平面。此结论可由二向应力状态分析的图解法得到验证。9.3.2.2 正应力的极值就是主应力现进一步讨论在正应力取得极值的两个互相垂直的平面上剪应力的情况。为此，将 0代入式（9.4）

14、，求出该面上的剪应力 0，并与 0d0的表达式比较，得 为零。这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。9.3.3 剪应力的极值及其所在平面9.3.3.1 剪应力的极值及其所在平面的方位 为了求得剪应力的极值及其所在平面的方位，将式（9.4）对 取导数2sincosdxyyx若 1时，导数 0，则在 1所确定的截面上，剪应力取得极值。以代入上式且令其等于零，得 0si2cs1xyyx 由此求得 xy12tan（9.7）由式（9.7）也可以解出两个角度值 1和 90，它们相差也为 90，从而可以确定两个相互垂直的平面，在这两个平面上分别作用着最大或最

15、小剪应力。由式（9.7）解出 12sin和 cos，代入式（9.4） ，求得剪应力的最大值和最小值是 2xyyxminax（9.8）与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值于所在两个平面方位的对应关系是：若 0xy，则绝对值较小的 1对应最大剪应力所在的平面。9.3.3.2 主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系 比较式（9.5）和（9.7） ，可以得到 102ctanta所以有4,20101即最大和最小剪应力所在的平面的外法线与主平面的外法线之间的夹角为 45。【例题 9.1】 圆轴受扭如例 9.1（a）图所示，试分析轴表面任一点的应力状态，并讨论试件受扭时的破

16、坏现象。解：根据 9.2的讨论，沿纵横截面截取的单元体为纯剪应力状态(图（b）)，单元体各面上的应力为 tWTyxxyx,0代入式（9.3）和（9.4） ，即可得到纯剪切应力状态任意斜截面上的应力： 2sinsixyco将 xyyx,0代入式（9.6）和式（9.5） ，即可得到主应力的大小和主平面的方位： 2minax2xyyxyyx02tan 90或 7，即 450或 13 以上结果表明以 x 轴量起，由 450所确定的主平面上的主应力为 max,而1350（或 0）所确定的主平面上的主应力为 in，如图（b）所示，考虑到前后面为主平面，且该平面上的主应力为零。故有321,即纯剪切的两个主应

17、力相等，都等于剪应力 ，但一为拉应力，一为压应力。图9.7 圆轴受扭转根据上述讨论，即可说明材料在扭转实验中出现的现象。低碳钢试件扭转时的屈服现象是材料沿横截面产生滑移的结果，最后沿横截面断开，这说明低碳钢扭转破坏是横截面上最大剪应力作用的结果即对于低碳钢这种塑性材料来说，其抗剪能力小于抗拉或抗压能力。铸铁试件扭转时，大约沿与轴线成 45螺旋线断裂（图 c） ，说明是最大拉应力作用的结果。即对于铸铁这种脆性材料，其抗拉能力小于抗剪和抗压能力。【例题 9.2】如例 9.2 图（a）所示，简支梁在跨中受集中力作用，m-m 截面点 1 至点 5 沿纵横截面截取的单元体各面上的应力方向如图（b）所示，

18、若已知点 2 各面的应力情况如图（c）所示。试求点 2 的主应力的大小及主平面的方位。解：由于垂直方向等于零的正应力是代数值较大的正应力，所以选定 x 轴的方向垂直向上。此时： MPa50,Pa70,xyyx 由式（9.5）得： 429.1722tanyx055.7或由于 yx，所以绝对值较小的角度 .0的主平面上有最大的主应力，而 5.17的主平面上有最小的主应力，它们可由式（9.6）求得： MPa96250220minax所以有： Pa96,MP26321 主应力及主平面位置如图（c）所示。图9.8 简支梁受力分析9.4 二向应力状态分析图解法9.4.1 应力圆方程及其作法由前节二向应力状

19、态分析的解析法可知，二向应力状态下，斜截面上的应力由式（9.3）和式（9.4）来确定。它们皆为 的函数，把 看作参数，为消去，将两式改写成2cossin2inxyyx将两式等号两边平方，然后再相加，得2xyyx2yx 上式中， x、 和 y皆为已知量，若建立一个坐标系：横坐标为 轴，纵坐标为 轴，则上式是一个以 和 为变量的圆周方程。圆心的横坐标为2yx，纵坐标为零，圆周的半径为2xyyx。这个圆称作应力圆，亦称莫尔（Mohr）圆。因为应力圆方程是从式（9.3）和（9.4）导出的，所以，单元体某斜截面上的应力 和 对应着应力圆圆周上的一个点。反之，应力圆周上的任一点也对应着单元体某一斜截面的应

20、力 和 。即它们之间有着一一对应的关系。但是，从应力圆方程中，这种对应关系并不能直接找出。以下介绍的应力圆作法，可以解决这一问题。以图 9.7（a）所示的二向应力状态为例来说明应力圆的作法。单元体各面上应力正负号的规定与解析法一致。按一定的比例尺量取横坐标 xOA，纵坐标 xyAD，确定 D 点。D 点的坐标代表单元体以 x 为法线的面上的应力。量取 yx,BO，确定 点。因 yx为负，故 D点在横坐标轴 轴的下方。 点的坐标代表以 y 为法线的面上的应力。连接 ，与横坐标轴交于 C图9.9 二向应力状态分析图解法点。由于 xy= ，所以三角形 CAD 全等于三角形 DCB，从而 等于 DC。

21、以 C 点为圆心，以 D（或 C）为半径作圆，如图 9.7（b）所示。此圆的圆心横坐标和半径分别为 yx2121OA2xy所以，这一圆即为应力圆。若确定图 9.7（a）所示斜截面上的应力，则在应力圆上，从 D 点（代表以x 轴为法线的面上的应力）也按逆时针方向沿应力圆周移到 E 点，且使 DE 弧所对的圆心角为实际单元体转过的 角的两倍，则 E 点的坐标就代表了以 n 为法线的斜截面上的应力（图 9.7b） 。现证明如下：E 点的横、纵坐标分别为)2cos(0COF2sini2cos00CCEOin0i2sin00因为 和 D同为圆周的半径，可以互相代替，故有2coscos yx00 CACE

22、xy002in2in将以上结果代入 OF和 E的表达式中，并注意到 yx21OC，得2sinco2xyyxyx FsixyyxE与式（9.3）和（9.4）比较，可见 OF= ， E= 。即 E 点的坐标代表法线倾角为 的斜截面上的应力。9.4.2 利用应力圆确定主应力、主平面和最大剪应力在应力圆中，正应力的极点为 1BA和 两点（图 9.7b） ，而 1BA和 点的纵坐标皆为零，因此，正应力的极值即为主应力。 弧对应的圆心角为 80，因此，它们所对应单元体的两个主平面互相垂直。从应力圆上不难看出11211, CBOCAO因为 OC 为圆心至原点的距离，而 CA1 和 CB1 皆为应力圆半径，故

23、有2xyyxyx21 从 D 点顺时针转 02角至 A1 点，故 0就是单元体从 x 轴向主平面转过的角度。因为 D 点向 A1 点是顺时针转动，因此 tg为负值yx022tanCAB于是，再次得到公式（9.5）和（9.6） 。从应力圆不难看出，若 yx，则 D 点（对应以 x 为法线的面上的应力）在应力圆的右半个圆周上，所以和 A1 点构成的圆心角的绝对值小于 D 点和 B1点构成的圆心角的绝对值，因此，公式（9.5）中，绝对值较小的 0对应着最大的正应力。应力圆上 G1 和 G2 两点的纵坐标分别为最大值和最小值。它们分别代表单元体与 x 轴平行的一组截面中的最大和最小剪应力。因为 1CG

24、和 2都是应力圆的半径，故有2xyyxminax这就是公式（9.8） ，又因为应力圆的半径也等于 21，故剪应力的极值又可表示为 21minax（9.9）在应力圆周上，由 A1 到 G1 所对的圆心角为逆时针的 90，所以，在单元体内，由 1所在的主平面的法线逆时针旋转 45，即为最大剪应力所在截面的外法线。又若 0xy，则 D 点（以 x 为法向的面上的应力）在 轴上方的应力圆周上，所以，D 点到 G1 点所对圆心角的绝对值小于 D 点到 G2 点所对圆心角的绝对值。因此，若 ，则公式（9.7）所确定的两个中，绝对值较小的 1所确定的平面对应着最大剪应力。【例题 9.3】 已知单元体的应力状

25、态如例 9.10 图（a）所示。MPa40x，6y， Pa50xy试用图解法求主应力，并确定主平面的位置。解： 作应力圆 按选定的比例尺，以 MPa40x， Pa50xy为坐标，确定 D 点。以 MPa60y， 5yx为坐标，确定 D点。连接 D 和点，与横坐标轴交于 C 点。以 C 为圆心，以 CD 为半径作应力圆，如图（b）所示。 求主应力及主平面的位置 在图（b）所示的应力圆上， 1BA和 点的横坐标即为主应力值，按所用比例尺量出 Pa7.80,Pa7.60131 OBOA这里另一个主应力 2。在应力圆上，由 D 点至 A1 点为逆时针方向，且 45201DC，所以，在单元体中，从 x

26、轴以逆时针方向量取 5.20，确定了 所在主平面的法线。而 D 至 B1 点为顺时针方向， 13CB，所以，在单元体中从 x 轴以顺时针方向量取 5.670，从而确定了 所在主平面的法线方向。【例题 9.4】 用图解法定性讨论例 9.11 图（a）所示 3、4、5 点的应力状态。解：例 9.11 图（a）的 3、4、5 点应力状态放大如图所示。点 3 的应力状态是纯剪切应力状态。根据单元体以 x 为法线的截面上的应力情况 0x，xy在坐标系中确定的 D 点在 轴上，而根据以 y 轴为法线的截面上应力0， yx确定的 点也在 轴上，但它为负值。D 与 D的连线与 轴交于原点 O，以 O 为圆心，

27、以 （或 O）为半径，作出应力圆如图所示。比 例 尺图9.10 应力圆图9.11 应力状态的图解法由此可见，该应力圆的特点是应力圆圆心与坐标系原点重合。从图（b）看出： max321 ,0,对于 4 点的应力状态，同样根据 ， xy，在坐标系中确定 D 点，而根据 y， yx确定的 D点在 轴上，连接 D交 轴于 C 点，以 C为圆心，以 CD为半径，做出应力圆如图（ c）所示。可见，该应力圆的特点是应力圆总是与 轴相割，故必然有 01, 0,32。根据解析法，求得三个主应力分别为：22231 5 点的应力状态是单向应力状态， x， 0y， 0yx，作出应力圆如图（d）所示。其特点是该应力圆与

28、 轴相切。 9.5 三向应力状态9.5.1 三向应力圆三向应力状态如图 9.12 所示。在已知主应力 1， 2， 3的条件下，我们讨论单元体的最大正应力和最大剪应力。 如图 9.13（a）第一图所示。设斜截面与 1平行，考虑截出部分三棱柱体的平衡，显然，沿 1方向自然满足平衡条件，故平行于 1诸斜面上的应力不受 1的影响，只与 2， 3有关。由 2， 3确定的应力圆周上的任意一点的纵横坐标表示平行于 1的某个斜面上的正应力和剪应力。同理，由 1， 3确定的应力圆表示平行于 2诸平面上的应力情况。由 1， 2确定的应力圆表示平行于3诸平面上的应力情况。这样做出的三个应力圆（图 9.9（b） ）

29、，称作三向应力圆。可以证明，对于三向应力状态任意斜平面上的正应力和剪应力，必然对应着图 9.9（b）所示三向应力圆之间阴影线部分。对于应力圆中的某一点 D 点来说，该点的纵横坐标即为该斜面上的正应力和剪应力的大小。图9.12 三向应力状态图9.13 三向应力圆9.5.2 三向应力状态的正应力的极值、剪应力的极值从图 9.9（b）看出，画阴影线的部分内，横坐标的极大值为 A1 点，而极小值为 B1 点，因此，单元体正应力的极值为：3minmax,（9.10）图 9.9（b）中画阴影线的部分内，G 1 点为纵坐标的极值，所以最大剪应力为由 1， 3所确定的应力圆半径，即231max（9.11）由于

30、 G1 点在由 1和 3所确定的圆周上，此圆周上各点的纵横坐标就是与 轴平行的一组斜截面上的应力，所以单元体的最大剪应力所在的平面与 2轴平行，且外法线与 轴及 3轴的夹角为 45。二向应力状态是三向应力状态的特殊情况，当 021，而 3时，按照式（9.11）得单元体的最大剪应力为2131max但是若按二向应力状态的最大剪应力公式（9.9） ，则有21max此结果显然小于 1，这是由于在二向应力状态分析中，斜截面的外法线仅限于在 1、 2所在的平面内，在这类平面中，剪应力的最大值是1，但若截面外法线方向是任意的，则单元体最大剪应力所在的平面外法线总是与 2垂直，与 1及 3夹角为 45，其值总

31、是 231。9.6 平面应变状态分析9.6.1 任意方向应变的解析表达式一点处沿不同方向的线应变和剪应变，称为该点的应变状态。分析一点的应力状态是通过单元体进行研究的，同理，分析一点的应变状态也要通过单元体来进行研究。取任一单元体及建立坐标系如图 9.14 所示，设 x 和 y 方向的线应变 x和 y及 xy 轴的剪应变（直角改变量）皆为已知量。这里规定，线应变以伸长为正，压缩为负；剪应变以使直角增大为正，反之为负。将坐标系旋转 角，且规定逆时针的 为正，得到新的坐标系 yxo（图9.10） ，通过几何关系计算，可以证明：单元体 方向的线应变 及 轴的剪应变 可通过下式求得：2sincos2x

32、yyxyx （9.12）cssin2xyyx（9.13）利用公式（9.12）和（9.13）便可求出任意方向的线应变 和剪应变 。9.6.2 主应变及主应变方向将公式（9.12） 、 （9.13）分别与公式（9.3） 、 （9.4）进行比较，可看出这两组公式形式是相同的。在应变状态分析中的 x、 y和 相当于二向应力状态中的 x、 y和 。而应变状态分析中的 2y和，相当于二向应力状态中的y和 。所以，在二向应力中由公式（9.3）和（ 9.4）导出的那些结论，在应变分析中，必然也可以得到。与主应力和主平面相对应，在平面应变状态中，通过一点一定存在两个相互垂直的方向，在这两个方向上，线应变为极值，

33、而剪应变为零。这样的极值应变称作主应变。主应变的方向称作主方向。在公式（9.5）和（9.6）中，以 x、 y和 2x分别取代 x、 y和 x，得到应变状态的主方向和主应变分别为图9.14平面应变状态分析yx02tan（9.14）2xy2yxyxmina2（9.15）可以证明：对于各向同性材料，当变形很小，且在线弹性范围时，主应变的方向与主应力的方向重合。9.6.3 应变圆在二向应力中，我们曾用图解法进行二向应力状态分析。由于上述的相似关系，在应变状态分析中也可采用图解法。作图时，以线应变 为横坐标，以1/2 的剪应变 2为纵坐标，作出的圆称作应变圆。由于问题与二向应力状态的图解法极为相似，所以

34、，对应变圆不再作进一步讨论。图解法的具体应用，可参见例 9.5。最后指出，以上对平面应力状态的应变分析，未曾涉及材料的性质，只是纯几何上的关系。所以，在小变形条件下，无论是对线弹性变形还是非线弹性变形，各向同性材料还是各向异性材料，结论都是正确的。【例题 9.5】 已知构件某点处的应变为： 6x10，6y107.2，x。试分别利用解析法和图解法求该点的主应变及主方向。解：解析法求解主应变及主方向 将 x、 y和 x代入公式（9.14） ，得28.107.261012tan 6yx0 求得主应变的方位角为64200或将 x、 y和 x的值及 20代入公式（9.15） ，得图9.15 应变圆比例尺

35、2xy2yxyxmina2 226 167.107.106394两个主应变与两个主方向的对应关系，可直接利用二向应力状态中介绍的判别方法。在本例中，由于 yx，所以绝对值较小的 260的方向对应着6max10394。 图解法求解主应变及主方向 建立坐标系如例 9.15 图所示。D 点横坐标代表 x 方向的线应变 x，纵坐标 2xy是直角 xOy的剪应变 1的。 点的横坐标代表 y 方向的线应变，纵坐标 （在公式（9.13）中，令2，即可证明 2xyyx）代表直角 1的剪应变的 2。以D为直径作圆即为应变圆。在应变圆上， A点的横坐标为 max。由 D 点到1A点所张圆心角为 50，且为顺时针转

36、动，故从 x 方向量起，在60的方向上有 max。9.7 广义虎克定律9.7.1 广义虎克定律在讨论轴向拉伸或压缩时，根据实验结果，曾得到当 p时，应力与应变成正比关系，即 EE1或此即单向应力状态的虎克定律。此外，由于轴向变形还将引起横向变形，根据第二章的讨论，横向应变 可表示为E在纯剪切时，根据实验结果，曾得到当 p，剪应力与剪应变成正比，图9.16 三向应力状态的一般情况即 G1或此即剪切虎克定律。一般情况下，描述一点处的应力状态需要九个应力分量（图 9.11） 。根据剪应力互等定理， xy和 ， yz和 ， zx和 分别在数值上相等。所以九个应力分量中，只有六个是独立的。对于这样一般情

37、况，可以看作是三组单向应力状态和三组纯剪切状态的组合。可以证明，对于各向同性材料，在小变形及线弹性范围内，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关；剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关，满足应用叠加原理的条件。所以，我们利用单向应力状态和纯剪切应力状态的虎克定律，分别求出各应力分量相对应的应变，然后，再进行叠加。正应力分量分别在 x、 y 和 z 方向对应的应变见表 9.1。表 9.1 正应力分量在不同方向对应的应变 xyzxE1xEyEzy1zxy1z根据此表，得出 x、 y 和 z 方向的线应变表达式为yxzzzyyxx1E（9.16）根据剪切虎克定律，在 xy，yz，zx 三个面内的剪应变分

38、别是zxzxyyxx1G（9.17）公式（9.16）和（9.17）称作广义虎克定律。当单元体为主单元体时，且使 x、y 和 z 的方向分别与 1、 2和 3的方向一致。这时 32y1x, 0,0zxyzxy代入公式（9.16）和（9.17） ，广义虎克定律化为213322311E（9.18） 0,0zxyzxy 上式表明，在三个坐标系平面内的剪应变皆等于零。根据主应变的定义， 1，2和 3就是主应变。即正应力的方向与主应变的方向重合。因为广义虎克定律建立在材料为各向同性、小变形且在线弹性范围的基础上，所以，以上关于正应力的方向与主应变的方向重合这一结论，同样也建立在此基础上。9.7.2 体积应

39、变及与应力的关系图 9.17 所示的主单元体，边长分别是 dx、dy 和 dz。在三个互相垂直的面上有主应力 1、 2和 3。变形前单元体的体积为 zyxVd变形后，三个棱边的长度变为dzxdzx)1(3322由于是主单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为dxyzV)1()1(32将上式展开，略去含二阶以上微量的各项，得)(3211于是，单元体单位体积的改变为图9.17体积应变与应力关系3211V称为体积应变，无量纲。 将广义虎克定律（9.18）代入上式，得到以应力表示的体积应变)(21321321 E（9.19）将上式稍作变化，有KEm321)()(3（9.20）式中 )(3

40、,)21(3321mKK 称为体积弹性模量， 是三个主应力的平均值。由公式（9.20）看出，体积应变 只与平均应力 有关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。公式（9.20）还表明，体积应变 与平均应力 m成正比，称为体积虎克定律。【例题 9.6】 在一体积较大的钢块上开一个贯穿的槽，其宽度和深度都是m10。在槽内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，尺寸是 10。假设钢块不变形，铝的弹性模量 GPa70E， 3.。当铝块受到压力kN6P时（例 9.18 图） ，试求铝块的三个主应力及相应的应变。解：铝块的受力分析 为分析方便，建立坐标系如图所示，在 P 力作用下，铝块内水平面上

41、的应力为MPa601601063y AP由于钢块不变形，它阻止了铝块在 x 方向的膨胀，所以， x。铝块外法线为 z 的平面是自由表面，所以 z。若不考虑钢槽与铝块之间的摩擦，从铝块中沿平行于三个坐标平面截取的单元体，各面上没有剪应力。所以，这样截取的单元体是主单元体（图 b） 。 求主应力及主应变 根据上述分析，图（b）所示单元体的已知条件为0,MPa60xzy 图9.18 钢槽与铝块将上述结果及 GPa70E， 3.代入公式（9.16）中601xzyxE联解上述三个方程得 4z4yx 1076.3,105.7,MPa8.9 即MPa,Pa8.9,0y3x2z134 5.,176.3 【例题

42、 9.7】 将例 9.19 图（a）所示的应力状态分解成图（b）和图（c）两种应力状态。图中 m1， m2， m3，)(3132m。试分别计算（b） 、 （c）两种应力状态的体积应变。解：图（b）所示应力状态的体积应变 图（b）中， m1，2， m3，将其代入公式（9.19） ，得)()(132)1 mE03m21所以图（b）所示应力状态，体积应变为零。一般情况下， 321，所以，单元体三个互相垂直方向的线应变也互不相等。这说明此种应力状态的单元体，体积没有发生变化，但单元体的形状发生了变化。 图（c ）所示应力状态的体积应变 图（c）中，三个主应力皆为 m，将其代入公式（9.19）KEEmm

43、)21(3)(21 上式结果即为公式（9.20） ，即图（c）所示的体积应变等于图（a）所示的体积应变。现再考虑图（c ）所示单元体的三个主应变mmm321 )(图9.19 应力状态的分解设变形前，单元体的三个棱边长度之比为 dzyx:，由于三个方向的应变相同，则变形后三个棱边的长度之比保持不变。所以，单元体变形前后的形状不变，只是体积发生改变。9.8 复杂应力状态下的比能9.8.1 复杂应力状态下的比能在轴向拉伸或压缩的单向应力状态下，当应力 与应变 满足线性关系时，不难得到外力功和应变能在数值上相等的关系，导出比能的计算公式为Eu21本节将讨论在复杂应力状态下已知主应力 1、 2和 3的比

44、能。在此情况下，弹性体储存的应变能在数值仍与外力所作的功相等。但在计算应变能时，需要注意以下两点。 应变能的大小只决定于外力和变形的最终数值，而与加力次序无关。这是因为若应变能与加力次序有关，那么，按一个储存能量较多的次序加力，而按另一个储存能量较小的次序卸载，完成一个循环后，弹性体内将增加能量，显然，这与能量守恒原理相矛盾。 应变能的计算不能采用叠加原理。这是因为应变能与载荷不是线性关系，而是载荷的二次函数。从而不满足叠加原理的应用条件。鉴于以上两点，对复杂应力状态的比能计算，我们选择一个便于计算比能的加力次序。为此，假定应力按 321:的比例同时从零增加到最终值，在线弹性情况下，每一主应力

45、与相应的主应变之间仍保持线性关系，因而与每一主应力相应的比能仍可按 u计算，于是，复杂应力状态下的比能是3212u（9.21）在公式（9.21）中， 1（或 2， 3）是在主应力 1、 2和 3共同作用下产生的应变。将广义虎克定律（9.18）式代入上式，经过整理后得出)(21 132123Eu（9.22）9.8.2 体积改变比能和形状改变比能根据上节例 9.7 知道，单元体的变形一方面表现为体积的改变（例 9.7 图c） ，另一方面表现为形状的改变（例 9.7 图 b） 。对于单元体的应变能也可以认为是由以下两部分组成：因体积改变而储存的比能 vu。 称作体积改变比能。体积不变，只因形状改变而储存的比能 fu。 f称作形状改变比能。因此fvu对于例 9.7 图（c ）所示的应力状态（只发生体积改变） ，将平均应力 m代入公式（9.22） ，得到单元体的体积改变比能为2m2m2v 31)3(1EEu（9.23）将 )(321m代入上式231v )(6Eu对于例 9.7 图（b）所示应力状态（只发生形状改变） ，根据 fvu，有f将式（9.22）和式（9.23）代入上式，得)(31 13212321f Eu133221 )()()(6（9.24）考虑特殊情况，在单向应力状态下（例如： 0,0321） ，单元体的形