1、1,第三章 扭 转,2,一、概述,传动轴,3-1、概述,3,汽车方向盘,3-1、概述,4,丝锥攻丝,3-1、概述,5,3-1、概述,6,圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 杆表面上的纵向线变成螺旋线。,受力特点：,圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用,变形特点：,实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形。,3-1、概述,7,直接计算,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,1.外力偶矩,二、外力偶矩 扭矩和扭矩图,8,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶每秒作功：,已知 轴转速n 转/分钟 输出功率P 千瓦 求：力偶矩Me,3-2、外力
2、偶矩 扭矩和扭矩图,9,圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。,扭矩大小可利用截面法来确定。,2.扭矩和扭矩图,10,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-),3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,11,当只在轴的两个端截面上作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在轴上的外力偶矩；当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。扭矩图：扭矩沿杆轴线方向变化的图形。,12,例3-1,如图所示，圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩大小和方
3、向均示于图中，单位为N.m，轴的尺寸单位为mm。试画出圆轴的扭矩图。,13,解： 1. 确定控制面 从圆轴所受的外加力偶分布可用确定出A、B、C、D均为控制面。 在AB、BC、CD段内任意选取一横截面，如1-1，2-2，3-3截面。,14,2. 应用截面法确定各段圆轴内的扭矩 用1-1，2-2，3-3截面将圆轴断开，作出断开横截面上的扭矩，假设扭矩为正方向，分别如图b、c、d所示。,由平衡方程：M=0 得：T1+315=0 T1=-315N.m,T1,15,由平衡方程：M=0 得：T2+315+315=0 T2=-630N.m,由平衡方程：M=0 得：T3-486=0 T3=486N.m,16
4、,3. 建立T-x坐标系，画出扭矩图，如图e。,T1=-315N.m,T2=-630N.m,T3=486N.m,315,630,480,_,+,T/(N.m),x,17,解:,(1)计算外力偶矩,例题3-2,18,(2)计算扭矩,(3) 扭矩图,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,19,练习,如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图。,解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m； MD=446N.m
5、,2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图a)、b)、c);均有Mx=0 得： T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m MD-T3=0 T3=MD=446N.m,3)画出扭矩图如 d),20,3.3 纯剪切,一、 薄壁圆筒扭转时的切应力,通常指 的圆筒，可假定其应力沿壁厚方向均匀分布,内力偶矩扭矩T,薄壁圆筒,21,圆周扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线。,横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。,横截面绕轴线发
6、生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。,各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直。,推断结论：,22,圆筒两端截面之间相对转过的圆心角,相对扭转角,表面正方格子倾斜的角度直角的改变量,切应变,即,薄壁圆筒受扭时变形情况：,23,1、横截面上无正应力； 2、只有与圆轴相切的切应力，且沿圆筒切向均匀分布；,薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：,3、对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚也均匀分布。,24,薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：,静力学条件,因薄壁圆环横截面上各点处的切应力相等,得,25,二、剪应力互等定理,圆轴扭转时，横截面上存在剪应力，通过轴线的纵截面上也存在剪应力。,微元上
7、与横截面对应的一对面上存在的剪应力与其作用面的面积相乘后组成一绕z轴的力偶，其力偶矩为(dydz)dx。 为了保持微元平衡，与纵截面对应的一对面上必然存在剪应力也组成一个力偶矩为( dxdz) dy的力偶。 这两个力偶矩大小相等、方向相反，微元才能平衡。,剪应力互等定理（成对定理）,26,三、 剪切胡克定律,由前述推导可知,薄壁圆筒的扭转实验曲线,27,钢材的切变模量值约为：,这就是剪切胡克定律,其中：G材料的切变模量,t p剪切比例极限,对各向同性材料，可以证明：,28,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,应用平衡方法可确定横截面上的扭矩，但不能确定横截面上各点剪应力的大小。 必须知道横截面
8、上剪应力的分布情况。,变形,应变分布,应力分布,应力公式,平面假定,物性关系,静力方程,应力分析方法与过程,圆轴扭转的平面假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并且绕圆轴的轴线刚性地转过一角度。,29,1. 变形协调方程,T,说明：在dx长度上，所有圆柱的两端面均转过相同的角度 ；半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小。,设到轴线任意远处的剪应变为()，则变形协调方程为：,对应两个相邻的横截面，该值为常量。 故：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截面中心之间的距离成正比。,称为单位长度相对扭转角,30,若在弹性范围内加载，即剪应力小于某一极限值时，对于
9、大多数各向同性材料，剪应力与剪应变之间存在线性关系。,2. 物理关系,31,将变形协调方程 带入剪切胡克定律 得到：对于确定的横截面是一个不变的量。 上式表明：横截面上各点的剪应力与点到横截面中心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性分布。方向如图所示。,3. 静力学方程,32,作用在横截面上的剪应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化结果为一力偶，其力偶距即为该截面上的扭矩。于是有：即静力学方程。,33,将代入积分后得到：GIp 称为圆轴的扭转刚度。,34,4、 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式将代入得到：这就是圆轴扭转时横截面上任意点的剪应力表达式。,35,对于 T由平衡条件确定。I
10、p 由 积分求得。对于直径为d的实心截面圆轴：对于内、外直径分别为d和D的空心截面圆轴，极惯性矩为：,36,最大剪应力： 发生在横截面边沿上各点，其值为：其中，称为圆截面的扭转截面系数。 对于直径为d的实心圆截面，对于内外直径分别为d和D的空心截面圆轴，,37,实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,38,变形协调方程,物理关系,静力学方程,推导过程,1,2,3,39,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。,应力分布情况,40,讨论题,两根长度相等，直径
11、不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上最大切应力分别为1max和2max ，材料的切变模量分别为G1和G2。关于1max 和2max的大小，请判断哪一个是正确的。 A 1max 2max B 1max G2，则有1max 2max D 若G1G2，则有1max 2max,41,讨论题,由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中ABCD四种结论，请判断哪一个是正确的。,42,例题3-3,实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并
12、传递功率，如图所示，已知轴的转速n=100r/min，传递的功率P=7.5kW。实心圆轴直径d1=45mm；空心圆轴内、外直径之比（d2/D2）=a=0.5，D2=46mm。试确定实心轴与空心圆轴横截面上的最大剪应力。,解：由题知二传动轴转速与功率相等，故承受的外加扭转力偶距也相等，横截面上的扭矩因而也相等。,扭矩T=Me=（9549*7.5/100）=716.2N.m,43,实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图所示，已知轴的转速n=100r/min，传递的功率P=7.5kW。实心圆轴直径d1=45mm；空心圆轴内、外直径之比（d2/D2）=a=0.5，D2=46mm。试确
13、定实心轴与空心圆轴横截面上的最大切应力。,实心圆轴横截面上最大切应力：,44,实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图所示，已知轴的转速n=100r/min，传递的功率P=7.5kW。实心圆轴直径d1=45mm；空心圆轴内、外直径之比（d2/D2）=a=0.5，D2=46mm。试确定实心轴与空心圆轴横截面上的最大剪应力。,空心圆轴横截面上最大切应力：,比较发现：实心与空心轴最大切应力相等，但面积不等，A1：A2=1.28。,45,例题3-4 在图示传动机构中，功率从B轮输入，再通过锥齿轮将一半传递给铅垂轴C，另一半传递给水平轴H。若已知输入功率P1=14kW，水平轴E和H的转速
14、n1=n2=120r/min，锥齿轮A和D的齿数分别为z1=36，z2=12，图中d1=70mm, d2=50mm, d3=35mm。求各轴横截面上的最大切应力。,分析：,此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横截面上的剪应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。,46,解：由题意知，E、H、C轴所传递的功率分别为:P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW。E、H轴转速为120r/min,由传动比可计算出C轴的转速为：n3=(z1/z3)n1 =3n1=360r/min。,再通过公式：,可求得各轴受到的扭矩：,E轴：,H轴：,C轴：,47,求各轴横截面上
15、的最大切应力：,E轴：,H轴：,C轴：,48,课堂练习： 图示实心圆轴承受外加扭转力偶作用，其力偶矩Me=3kN.m。试求：1. 轴横截面上的最大切应力；2. 轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；3. 去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。,49,作业： P102 题3.1（c） P103 题3.5,50,5. 强度条件,等直圆轴,材料的许用切应力,思考： 对变截面杆，max 是否发生在扭矩 Tmax 的截面上？,51,例3-5 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN
16、m， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力t = 80MPa ，试校核该轴的强度。,解： 1、求内力，作出轴的扭矩图,T图 kNm）,52,BC段,AB段,2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度,即该轴满足强度条件。,T图（kNm）,A B C,53,相对扭转角,抗扭刚度,四、圆轴扭转时的变形计算,3-5、圆轴扭转时的变形,一、相对扭转角,54,例3-6 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592Nm, M2=955 Nm，M3=637 Nm， d =70mm， lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相对于B的扭转角jCB。,
17、解： 1、 先用截面法求各段轴的扭矩：,BA段,AC段,55,2、 各段两端相对扭转角：,56,3、 横截面C相对于B的扭转角：,57,二、刚度条件,3-5、圆轴扭转时的变形,单位长度扭转角,扭转刚度条件,许用单位扭转角,对于精密机器的轴,对于一般的传动轴,58,扭转强度条件,扭转刚度条件,已知T 、D 和，校核强度,已知T 和， 设计截面,已知D 和，确定许可载荷,已知T 、D 和，校核刚度,已知T 和，设计截面,已知D 和，确定许可载荷,3-5、圆轴扭转时的变形,59,例题3-7,60,例题3-8,61,2.扭矩图,按刚度条件,3.直径d1的选取,按强度条件,62,按刚度条件,4.直径d2
18、的选取,按强度条件,5.选同一直径时,63,6.将主动轮按装在两从动轮之间,受力合理,64,作业：P104 题3.8,65,3-7、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果,一、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点,横向线变成曲线,横截面发生翘曲不再保持为平面,平面假设不再成立，可能产生附加正应力,66,67,非圆杆两种类型的扭转,自由扭转(纯扭转),此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加正应力产生,此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有附加正应力产生,1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时,2、非等直杆扭转、扭矩沿杆长变化、或端面有约束不能自由翘曲时,约束扭转,68,自由扭转,约束扭转,截面翘曲不受约束,各截面翘曲不同,69,3-7、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果,参考表3.2,70,狭长矩形截面杆自由扭转,特点： 1、沿长边各点的切应力值除靠角点附近外，均接近相等； 2、离短边稍远处，可认为切应力沿厚度d 按直线规律变化。,71,本章小结,1、受扭物体的受力和变形特点,2、外力偶矩、扭矩计算，扭矩图绘制,3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算,4、圆轴扭转时的变形及刚度计算,
