1、用样本估计总体的方法与对策山东省济宁一中高三数学组 贾广素（邮编：272100）电话：13053744397统计学是应用数学的重要组成部分，是研究、调查其他问题乃至其他学科的“开路先锋” ，具有极高的基础性和应用价值，其基本思想方法是用样本估计总体。本文从几个方面出发，谈一谈用样本估计总体基本题型及其解决策略。一图形信息题例 1有一个容量为 100 的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如下：起始月薪（百元）13,14) 14,15) 15,16) 16,17) 17,18) 18,19) 19,20) 20,21)频数 7 11 26 23 15 8 4 6（1）列出样本的频率分
2、布表（含累积频率） ；（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图；（3）根据累积频率分布估计该校毕业生起始月薪低于 2000 元的概率；解：（1）样本的频率分布表为：（2）频率分布直方图和累积频率分布图如下：（3）起始月薪低于 2000 元的频率为 0.94，故起始月薪低于 2000 元的概率为 0.94。注：正确理解题设条件中所给出的各个量的意义，读表与识图掌握信息是解决这类问题的关键。频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占的比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率。特别说明：（1）频率分布直方图中的纵轴表示 ，频率 ；（2）频率分布率样 本 容 量频 数直方图中，各小长方形的面积
3、之和等于 1，因此在频率分布直方图中，组距是一个固定值，所以长方形高的比就是频率之比；（3）频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，而后者直观；（4）众数是最高距形的中点；（5 ）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横坐标的直线与横轴的交点。二用样本频率分布估计总体分布例 2下表给出了某校 120 名 12 岁男孩的身高资料.（单位：cm）区间界限122，126）126，130）130，134）134，138）138，142）人数 5 8 10 22 33区间界限142，146）146，150）150，154）154，158）人数 20 11 6 5（1）.列出样本
4、的频率分布表（含累计频率） ；（2）.画出频率分布直方图和累计频率分布图；（3）.根据样本的频率分布图，估计身高小于 134 cm 的人数约占总人数的百分比.分析：题目要求列出样本的频率分布表和画出频率分布直方图，应注意到已知中虽未提供原始数据，但组距、组数及频数都已给出.同时题目要求将累计频率及累计频率分布图一并给出.解：（1）.频率分布表如下.区间人数 人 数 频 率 累计频率122，126） 5 241241126，130） 8 503130，134） 10 1212134，138） 22 6083138，142） 33 41201142，146） 20 6649146，150） 11
5、120120150，154） 6 43154，158） 5 2411（2）频率分布直方图和累计频率分布如图12 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身 高 (厘 米 )频 率组 距（图 1）12 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身 高 (cm)109/12049/6013/203/823/12013/1201/24累 计 频 率（图 2）（3）由图（2）估计，身高小于 134 cm 的学生数约占总数的 19%.注：总体分布反映了总体在各个范围内取值的概率，利用样本的频率分布，可以近似地估计总体分布，利用样本在某一范围的
6、频率，可近似地估计总体在这一范围内的概率（一般说来，样本容量越大，这种估计就会越精确） 。对于每一组样本取其一代表值（一般取其中值） ，近似地看作离散型的随机变量，可以近似地估计出其总体均值（事实上，很多情况下总体的平均值、期望、方差都不容易获得，所以我们也常常利用样本的平均值近似地估计总体平均值，利用样本的方差近似地估计总体的方差） 。特别说明：解决总体分布的一般程序为：当总体中所取不同的数值较少时，常利用条形图表示相应样本的频率分布，否则，常用频率分布直方图表示相应样本的频率分布。具体步骤为：（1）先确定分组的组距（最大数据与最小数据之差除以组距得组数） ；（2）分别计算各组的频数及频率；
7、（3）画出频率分布直方图并作出相应的估计。例 3。对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下.寿命（h） 100200 200300 300400 400500 500600个 数 20 30 80 40 30（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在 100400 h 以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在 400 h 以上的在总体中占的比例.解：（1）样本频率分布表如下.寿命（h） 频 数 频 率100200 20 0.10200300 30 0.15300400 80 0.40400500 40 0.20500600 30 0.15合 计 200 1（2）
8、频率分布直方图如下.0.050.040.030.020.01010 2020 3030 4040 5050 60频 率 组 距寿 命 (h)图 2212（3）元件寿命在 100 h400 h 以内的在总体中占的比例为 0.65.（4）估计电子元件寿命在 400 h 以上的在总体中占的比例为 0.35.三用样本的数字特征估计总体的数字特征例 4某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下：甲的得分：15，21，25，31，36，39，31，45，36，48，24，50，37；乙的得分：13，16，23，25，28，33，38，14，8，39，51.（1）用茎叶图表示上面的样本数据，并求出样本数
9、据的中位数；（2）根据（1）中所求的数据分析甲、乙两名篮球运动员哪一位发挥得更加稳定。解：上述的数据可以用下图来表示，中间数字表示得分的十位数，两边数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数. 甲 乙0 85 1 3 6 44 5 1 2 3 5 87 6 9 1 6 1 3 3 8 98 5 40 5 1从这个茎叶图上可以看出，甲运动员的得分情况是大致对称的，中位数是 36；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是 25.因此甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好.注:中位数、平均数和方差都是重要的数学特征数，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，所以不
10、仅需要掌握其计算公式和方法，还要通过这些数据分析其含义，从而为正确决策提供依据。当两组数据的平均数相同或相近时，用方差或标准差比较它们的大小，样本的方差或标准差越大，则说明样本数据波动越大，稳定性就越差；反之，样本数据波动性小，稳定性好。如下例：例 5甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下. 甲 乙5 67 9 5 6 1 8 6388 4 9 1 6 5 1 9 3 3 9 887 100 1 41图 2211（1）求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差；（2）比较两名同学的成绩，谈谈看法.分析：首先由茎叶图读出数据，再利用科学计算器求出平均数、标准差，依据结果进行比较，并与茎叶图比较统计作用.解
11、：（1）用科学计算器得 甲 =87，s 甲 =12.7， 乙 =95，s 乙 =9.7.xx（2）由 甲 =87 乙 =95，且 s 甲 =12.7s 乙 =9.7，故甲的数学学习状况不如乙的数学x学习状况.注：此题也可根据例 4 中所给出的方法的 “从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是 99；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是 89.因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好” 。用茎叶图表示有两个突出的优点:其一，从统计图上没有信息的损失，所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；其二，茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示.但茎叶图只能表示两位的整数，虽然可以表示两个人以上的比赛结果（或两个以上的记录） ，但没有两个记录表示得那么直观，清晰.
