1、课题：12.4 椭圆的基本性质（二课时）教学目标：1、掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质.2、能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形3、学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等.4、在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 教学重点：椭圆的几何性质及初步运用教学难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题教学过程：一课前准备：1、 知识回忆（1） 椭圆和圆的概念（2） 椭圆的标准方程2、课前练习1) 圆的定义： 到一定
2、点的距离等于_的图形的轨迹。椭圆的定义： _的图形的轨迹。2) 椭圆的标准方程： 1。焦点在 轴上_（ ）x2。焦点在 轴上_（ ）y若 ，则椭圆的长轴长_短半轴长_，焦点为2516yx_，顶点坐标为_，焦距为_二教学过程设计一、引入课题“曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论.二、讲授新课（一） 对称性问题 1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？代
3、 后方程不变，说明椭圆关于 轴对称；xy代 后方程不变，说明椭圆曲线关于 轴对称；y x、 代 ， 后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；y问题 2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？以把 x 换成 x 为例，如图在曲线的方程中，把 x 换成 x 方程不变，相当于点 P（ x， y）在曲线上，点 P 点关于 y 轴的对称点 Q（ x， y）也在曲线上，所以曲线关于 y 轴对称其它同理.相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.（二） 顶点问题 1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？在椭圆的标准方程中，令 ，得
4、， ，得0xby0ax顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.顶点坐标； ， .),(,(21aA),(),(21B相关概念：线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 ，B ba2,和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.ab在椭圆的定义中， 表示焦距，这样，椭圆方程中的 就有了明显的几何意义.c2cba，,问题 2：在椭圆标准方程的推导过程中令 能使方程简单整齐，其几何意义是2ca什么？表示半焦距， 表示短半轴长，因此，联结顶点 和焦点 ，可以构造一个直角cbB2F三角形，在直角三角形内， ，即 .22OFObca（三） 范围问题 1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的
5、范围？即确定两个变量的允许值范围变形为：2byax axaxxaby 2201，这就得到了椭圆在标准方程下 的范围：同理，我们也可以得到 的范围：yby问题 2：思考是否还有其他方法？方法一：可以把 看成 ，利用三角函数的有界性来考虑12bax1cossin22的范围；byax,方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为 1，那么这两个数都不大于 1，所以，同理可以得到 的范围12y由椭圆方程中 的范围得到椭圆位于直线 和 所围成的矩形里.yx, axby三、例题解析例 1 已知椭圆的方程为 .36492y（1） 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标;（2） 写出与椭圆 有相同焦点的至少两
6、个不同的椭圆方程.2x解：解答见书本 P48说明 这是本节课重点安排的基础性例题，是椭圆的几何性质的简单应用.例 2（1）求以原点为中心，一个焦点为 且长轴长是短轴长的 倍的椭圆方程;),10(2（2）过点（2，0） ，且长轴长是短轴长的 2 倍的椭圆方程.解：（1）由题意可知： ，由 ，有 ， ，bac,22c12b;a椭圆的标准方程为： .12yx（2） 或 .142yx46说明 此题利用椭圆标准方程中 的关系来解题，要注意焦点在 轴上或 轴上cba, xy的椭圆标准方程.例 3 已知直线 与椭圆 ，当 在何范围取值时，03ykx1462yxk（1） 直线与椭圆有两个公共点；（2） 直线与
7、椭圆有一个公共点；（3） 直线与椭圆无公共点.解：由 可得 ；14632yxk 024)(2kxk )516(2k（1）当 时，直线 与椭圆450)5(2 或即 03yx有两个公共点；462yx（2）当 时，直线 与椭圆450)516(2 kk或即 03ykx有一个公共点；1462yx（3）当 时，直线 与椭圆450)56(2kk即 03ykx无公共点.1462yx说明 由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接说明两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去 或 得到关于 或 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交yxy
8、（2）直线与椭圆相切 （3）直线与椭圆相离 ，所以判定直线000与椭圆的位置关系，运用方程及其判别式是最基本的方法.例 4 若直线 与椭圆 恒有公共点，求实数 的取值范围.)(1Rkxy152myxm解法一：由 可得 ， 即152myxk 010)5(2kxk 0152k2k.1且解法二：直线恒过一定点 )1,0(当 时，椭圆焦点在 轴上，短半轴长 ，要使直线与椭圆恒有交点则5mxmb即1当 时，椭圆焦点在 轴上，长半轴长 可保证直线与椭圆恒有交点即y5a 5m综述： 5且解法三：直线恒过一定点 )1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点 在椭圆内部 即)1,0(1502m51m且说明法一
9、转化为 的恒成立问题；法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点k在椭圆内部这一特征：点 在椭圆内部或在椭圆上则 .),(oyxM12byaxo例 5 椭圆中心在原点，长轴长为 10 ，一个焦点 的坐标 ，求经过此椭圆内的一31F)5,0(点 ，且被点 平分的弦所在的直线方程.)21,(解：由已知， ，且焦点在 轴上， ，椭圆方程为5,3cay22cab.设过点 的直线交椭圆于点 、 . 是弦 的中点，15072xyM),(21xA),(2yxBMAB则 ，将 两点的坐标代入椭圆方程， ，两式相1,2121yxB, 150721xy减整理得： ，即 .23121yxxk所求的直线方程为 ，
10、即 .)(y 0546y说明此题因为涉及椭圆的弦中点问题，除通法外，可以优先考虑“点差法”.但需注意两点：1）斜率是否存在？2）应检验直线和椭圆是否相交？即联立直线和椭圆方程，得到关于 x 或 y 的一元二次方程，检验其根的判别式是否大于 0？例 6 求椭圆 中斜率为 1 的平行弦的中点的轨迹.42解：见书本 P50说明 此题因为涉及椭圆的弦中点问题，本题也可使用“点差法”.例 7 已知椭圆 的左右焦点分别为 F1,F2，若过点 P（0，-2 ）及 F1 的直线交椭12yx圆于 A,B 两点，求ABF 2 的面积解法一：由题可知：直线 方程为ABl 0yx由 ,可得 ，12yx492y,910
11、)(212121 122410.9SFy解法二： 到直线 AB 的距离 ,2 5h由 可得 ，又 ,12yx0692x 9210121xkAB.904hABS说明 在利用弦长公式 （k 为直线斜率）应结21221yxk合韦达定理解决问题.例 8 已知直线 交椭圆 于 两点， ， ，求1xy2byaxQP,20OQP椭圆方程.解：为简便运算，设椭圆为 ，12nym),0(nm， ，整理得：12xynm)(2xx（1）0)(2， ，设 、 ， nx21 nmx21 ),(1yxP),(2yxQ， ，即 ，有 .OQPy022nm方程（1）变形为： . .02x 1,211xnx， ，有 ，得： ，
12、20P2510384223mn椭圆的方程为 或 .32yx12x说明 应注意 两点设而不求，善于使用韦达定理.QP,四、巩固练习练习 12.4（1）;练习 12.4（2）五、课堂小结1椭圆的几何性质标准方程 （ a b0）2yax （ a b0）12xay图形范围 axa， b y b bx b，a ya对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点（a，0） 、 （a，0） 、 （0， b） 、（0， b）（0，a） 、 （0，a） 、 （ b，0） 、（ b，0）焦点 F1（ c，0） 、 F2（ c，0） F1（0， c） 、 F2（0， c）两轴 长轴长 2a，短轴长 2b性质焦距 |F
13、1F2|2 c，c 2a 2b 22直线与椭圆位置关系如何判断3弦长问题和弦中点问题4有关弦中点问题， “点差法”的应用六、课后作业练习册、补充作业：1椭圆 与直线 交于 A、B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜21axbyyx率为 ，求 值. 3ab2.椭圆 两点，若 的面积为BAOFyx 、作 直 线 交 椭 圆 于， 过、的 焦 点 为 212045 2AF20，求直线 方程.AB3.已知椭圆 上一点 ， 为椭圆的焦点，且 ，求椭02bayx8,6P21F、 21P圆的方程.F1 F2MyxOyxOF2F1MO xyFBAM N4中心在原点，焦点坐标为(0, 5 )的椭圆被直线
14、3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐标2为 ，求椭圆方程.215.已知椭圆 .12yx（1） 过椭圆的左焦点 引椭圆的割线，求截得的弦的中点 的轨迹方程；FP（2） 求斜率为 2 的平行弦中点 的轨迹方程.Q6 为直线 上的点，过 且以椭圆 的焦点为焦点作椭圆，问P09yxP132yx在何处时所作椭圆的长轴最短？并求出相应椭圆的方程.7已知椭圆 C： ，经过其右焦点 F 且以 为方向向量的直线)(2352m,a交椭圆 C 于 A、B 两点，M 为线段 AB 的中点，设 O 为椭圆的中心，射线 OM 交椭圆 Cl于 N 点（1）证明： （2）求 的值ONBA8已知 A（2，0） 、B（2，0）
15、 ，点 C、点 D 满足 ).(21,| A（1）求点 D 的轨迹方程；（ 2）过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点，线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 ，且直线 l 与点 D 的轨迹相切，求该椭圆的方程.549.设 A，B 分别是直线 和 上的两个动点，并且 ，动点xyx20P 满足 记动点 P 的轨迹为 CO（1） 求轨迹 C 的方程；（ 2）若点 D 的坐标为（0，16） ，M、N 是曲线 C 上的两个动点，且 ，求实数 的NM取值范围10.如图所示，已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心 O，且 ， 0BCAAC2（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上有两点 P、Q ，使PCQ 的平分线垂直于 AO，证明：存在实数 ，使 BPQ AOB C
