1、数学复习总纲 .21. 【分享】数学运算的大致常考类型，大家复习可以参照！ .32. 【分享】数学公式终极总结 .43. 【分享】排列组合基础知识及习题分析 .84. 【分享】排列组合新讲义 .145. 【分享】无私奉献天字一号的排列组合题（系列之二） .216. 【分享】“插板法”的条件模式隐藏运用分析 247. 【纠错】两个相同的正方体的六个面上分别标有数字的排列组合问题 .268. 【讨论】裴波纳契数列的另类运用 .279. 【经验分享】关于临界点类型算数问题的分析 .2810. 【经验总结】关于比例法中变量守恒与变化的思路分析 .3011. 【讨论】“五个人的体重之和是 423 斤,他
2、们的体重都是整数”一题 .3312. 【经验分享】浅谈 mn/(m+n)公式的由来（盐水交换问题） .3413. 【周末练习】4 道经典习题（已公布解析 DONE） .3714. 【分享】关于相遇问题和追击问题的综合题目的分析 .4015. 【分享】“牛吃草”的问题的模式化解题方式总结 4116. 【纠错】关于计算某个数字在页码中出现的次数问题的公式怀疑！ .4317. 【总结】关于页码和页数的题目（刚看到的一个题目顺便做个分析） .4318. 【开会时间分针时针互换问题】新题型的 2 道问题的解析 4519. 【分享】（绝对经典）20 道比列及列式计算 4620. 【分享】60 道数学题的解
3、析 51声明： 本文所收集内容来自 QZZN 论坛 http:/作者： 徐克猛 （天字 1 号）飞风舞蝶 （绝对经典）20 道比列及列式计算白狐 数学公式终极总结版权所有 严禁用于商业用途数学复习总纲【分享】公考中数学知识部分如何学习的计划安排和心得！分配学习时间 我做了这样一个假设， 假如你是一张白纸（对于公务员考试而言） 我建议大家遵循这样的学习时间安排。比较合适。 这是我个人的经验和看法。 仅以参考！1、数字推理（每天必须练习） 开始的前 3 周， 每周 1.5 小时, 主要是以看和归纳为主。 3 周之后要能丢开资料自己可以回忆出数字推理的若干种类型。特别是经典的 7 大类型 3 周之后
4、 看是 1 周（每天半小时的计时练习。每道题目不得超过 53 秒），从第 5 周直到考试， 每天都要用 10 分钟15 分钟的时间不停的巩固和练习这数字推理。主要是保持和培养数字敏感性和了解一些新的题型（新的题型以了解为主，不要强求） 2、数学运算。（我建议集中时间整理和复习 准备时间应该是在 2 个月以上） 首先，先对国考，或者你所参加的地方考试的题型和命题风格做一个了解。 看看这些数学运算试题的难度系数如何。 总结归纳常见的考试类型。如果你觉得你有足够的能力，你还可以归纳考察的思维方向是来自哪几点（这个比较重要。如果不能达到这一点，可以借鉴老师，或者网络，借鉴别人的与此相关的总结） 其次是
5、平时的练习。应该划分专项来练习。专项的划分就是根据第一步你对考试类型的划分。 学会总结方法（方法不是公式，只记住公式那是没用的，必须去掌握公式的由来） 。练习的题源应当以 国家（03至今），北京（05至今），山东（04至今），浙江（05至今），江苏（04至今），辅助于 福建（06 08 年）等地的真题为主。 最后通过练习，必须学会做总结归纳，做好笔记。 对每种类型都要学会用一句话或者一段简洁的话写出你的感受和观点。 1. 【分享】数学运算的大致常考类型，大家复习可以参照！（一） 数字推理（1）数字性质：奇偶数，质数合数，同余，特定组合表现的特定含义 如 3.1415926，阶乘数列。 （2）等
6、差、等比数列, 间隔差、间隔比数列。（3）分组及双数列规律（4）移动求运算数列（5）次方数列（1 、基于平方立方的数列 2、基于 2n 次方数列 ，3 幂的 2，3 次方交替数列等为主体架构的数列）（6）周期对称数列（7）分数与根号数列（8）裂变数列（9）四则组合运算数列（10）图形数列（二） 数学运算（1）数理性质基础知识。（2）代数基础知识。（3）抛物线及多项式的灵活运用（4）连续自然数求和和及变式运用（5）木桶（短板）效应（6）消去法运用（7）十字交叉法运用（特殊类型）（8）最小公倍数法的运用（与剩余定理的关系）（9）鸡兔同笼运用（10）容斥原理的运用（11）抽屉原理运用（12）排列组合
7、与概率：（重点含特殊元素的排列组合，插板法已经变式， 静止概率以及先【后】验概率）（13）年龄问题 （14）几何图形求解思路 （求阴影部分面积 割补法为主）（15）方阵方体与队列问题（16）植树问题（直线和环形）（17）统筹与优化问题（18）牛吃草问题（19）周期与日期问题（20）页码问题（21）兑换酒瓶的问题（22）青蛙跳井（寻找临界点）问题（23）行程问题（相遇与追击，水流行程，环形追击相遇： 变速行程，曲线（折返，高山，缓行）行程，多次相遇行程， 多模型行程对比）2. 【分享】数学公式终极总结容斥原理涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算： 一的个数+二的个
8、数都含有的个数总数都不含有的个数【例 3】某大学某班学生总数为 32 人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24 人及格，若两次考试中，都及格的有 22 人，那么两次考试都没有及格的人数是多少【国2004B-46】 A.10 B.4 C.6 D.8 应用公式 26+24-22=32-XX=4 所以答案选 B【例 9】某单位有青年员工 85 人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12 人，则既会骑车又会游泳的有多少人。 【山东 2004-13】 A.57 B.73 C.130 D.69 应用公式： 68+62-X=85-12X=57 人抽屉原理：
9、【例 1】在一个口袋里有 10 个黑球，6 个白球，4 个红球，至少取出几个球才能保证其中有白球？【北京应届 2007-15】 A.14 B.15 C.17 D.1849. 采取总不利原则 10+4+1=15 这个没什么好说的剪绳问题核心公式 一根绳连续对折 N 次，从中 M 刀，则被剪成了(2NM+1)段 【例 5】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪 6 刀。问这样操作后，原来的绳子被剪成了几段？【浙江 2006-38】 A.18 段 B.49 段 C.42 段 D.52 段 23*6+1=49 方阵终极公式假设方阵最外层一边人数为 N，则一、实心方阵人数=NN 二、最外层
10、人数=（N 1 ）4 【例 1】某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是 60 人，问这个方阵共有学生多少人？【国 2002A-9】 【国 2002B-18】 A.256 人 B.250 人 C.225 人 D.196 人 （N-1）4=60 N=16 16*16=256 所以选 A【例 3】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是 96 人，问这个学校共有学生：【浙江 2003-18】 A.600 人 B.615 人 C.625 人 D.640 人 （N-1）4=96 N=25 N*N=625过河问题：来回数=（总量 -每次渡过去的） /（每次实际渡的）*2+1次数=（总量 -每次渡过去的）
11、/ （每次实际渡的）+1【例 1】有 37 名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5 人，需要几次才能渡完？【广东 2005 上-10 】 A.7 次 B.8 次 C.9 次 D.10 次 （37-5/4）+1 所以是 9 次 【例 2】49 名探险队员过一条小河，只有一条可乘 7 人的橡皮船，过一次河需 3 分钟。全体队员渡到河对岸需要多少分钟？（ ） 【北京应届 2006-24】 A.54 B.48 C.45 D.39 【（49-7）/6】2+1=15 15*3=45【例 4】有一只青蛙掉入一口深 10 米的井中。每天白天这只青蛙跳上 4 米晚上又滑下 3 米，则这只青蛙经过多少天可
12、以从井中跳出? A.7 B.8 C.9 D.10 【（10-4）/1】+1=7核心提示 三角形内角和 180 N 边形内角和为（ N-2）180【例 1】三角形的内角和为 180 度，问六边形的内角和是多少度？【国家2002B-12】 A.720 度 B.600 度 C.480 度 D.360 度 （6-2 ） 180=720盈亏问题：（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）（两次每人分配数的差）= 人数（2）两次都有盈： （大盈- 小盈）（两次每人分配数的差）=人数（3）两次都是亏： （大亏- 小亏）（两次每人分配数的差）=人数（4）一次亏，一次刚好：亏（两次每人分配数的差）=人数（5）一次盈，一次
13、刚好：盈（两次每人分配数的差）=人数例：“小朋友分桃子，每人 10 个少 9 个，每人 8 个多 7 个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？” 解（7+9）（ 10-8）=162=8（个）人数 108-9=80-9=71（个）桃子还有那个排方阵，一排加三个人，剩 29 人的题，也可用盈亏公式解答。行程问题模块平均速度问题 V=2V1V2/V1+V2【例 1】有一货车分别以时速 40km 和 60km 往返于两个城市，往返这两个城市一次的平均时速为多少？【国家 1999-39】 A.55km B.50km C.48km D.45km 2*40*60/100=48【例 2】一辆汽车从 A 地到 B
14、地的速度为每小时 30 千米，返回时速度为每小时 20 千米，则它的平均速度为多少千米/时？【浙江 2003-20】 A.24 千米时 B.24.5 千米时 C.25 千米时 D.25.5 千米/时 2*30*20/30+20=24比例行程问题路程速度时间（ 1 2 1 2 12 S vt = 或 或 或 ）路程比速度比 时间比，S1/S2=V1/V2*T1/T2运动时间相等，运动距离正比与运动速度 运动速度相等，运动距离正比与运动时间 运动距离相等，运动速度反比与运动时间 【例 2】 A、B 两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在 A 站和 B 站，甲火车 4 分钟走的路、程等于乙火车
15、5 分钟走的路程，乙火车上午 8 时整从 B 站开往 A 站，开出一段时间后，甲火车从 A 站出发开往 B 站，上午 9 时整两列火车相遇，相遇地点离 A、B 两站的距离比是 1516，那么，甲火车在什么时刻从 A 站出发开往 B 站。 【国 2007-53】 A.8 时 12 分 B.8 时 15 分 C.8 时 24 分 D.8 时 30 分 速度比是 4：5路程比是 15：1615S：16S5V : 4V 所以 T1:T2=3:4 也就是 45 分钟 60-45=15 所以答案是 B在相遇追及问题中： 凡有益于相对运动的用“加” ，速度取“和” ，包括相遇、背离等问题。 凡阻碍 相对运动
16、的用“减” ，速度取“差” ，包括追及等问题。 从队尾到对头的时间=队伍长度/ 速度差从对头到队尾的时间=队伍长度/ 速度和【例 2】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分钟步行 150 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？（ ）【北京社招 2005-20】 A.630 米 B.750 米 C.900 米 D.1500 米X/90+X/210=10 X=630某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120 秒，整列火车完全在桥上的时间 80 秒，则火车速度是？【北京社招 2007-21】
17、A.10 米/秒 B.10.7 米/秒 C.12.5 米/秒 D.500 米/分 核心提示 列车完全在桥上的时间=（桥长-车长）/列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）/ 列车速度1000+X=120V1000-X=80V解得 10 米/秒为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨 2.5 元，超过标准的部分加倍收费。某用户某月用水 15 吨，交水费 62.5 元，若该用户下个月用水 12 吨，则应交水费多少钱？15 顿和 12 顿都是超额的，所以 62.5（3X5）例 1某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距 100 千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人
18、步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已经步行速度为 8 千米/小时，汽车速度为 40 千米/ 小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？A.5.5 小时 B.5 小时 C.4.5 小时 D.4 小时假设有 m 个人（或者 m 组人） ，速度 v1，一个车，速度 v2。车只能坐一个/组人，来回接人，最短时间内同时到达终点。总距离为 S。T=(S/v2)*(2m-1)v2+v1/v2+(2m-1)v13. 【分享】排列组合基础知识及习题分析在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！ C5 取 3（543）/（321） C6 取 2（65 ）/（21）
19、 通过这 2 个例子 看出 CM 取 N 公式 是种子数 M 开始与自身连续的 N 个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N 的阶层作为分母 P53543 P66654321 通过这 2 个例子 PMN从 M 开始与自身连续 N 个自然数的降序乘积 当 NM 时 即 M 的阶层 排列、组合的本质是研究“从 n 个不同的元素中，任取 m (mn)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序” 与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列” ，无序用 “组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法” ，分步用 “乘法
20、”. 分 类：“做一件事，完成它可以有 n 类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成 n 个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成 n 个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这 n 个步骤后，这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完
21、成一件事有 n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成 n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在 ” “邻”与“不邻 ” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： “相邻” 问题在解题时常用“ 合并元素法” ，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. “不邻” 问题
22、在解题时最常用的是“插空排列法”. “在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. 元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含 ” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法 ”或“间接法”. 3 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. * 提供 10 道习题供大家练习 1、三边长均为整数，且最大边长为 11 的三角形
23、的个数为（ C ） (A)25 个 (B)26 个 (C)36 个 (D)37 个 -【解析】 根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 可见最大的边是 11 则两外两边之和不能超过 22 因为当三边都为 11 时 是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开始分析 如果为 11，则另外一个边的长度是 11，10，9，8，7 ，6， 。 。 。 。 。 。1 如果为 10 则另外一个边的长度是 10，9，8。 。 。 。 。 。2 ， （不能为 1 否则两者之和会小于 11，不能为 11，因为第一种情况包含了 11，10 的组合）如果为 9 则另外一个边的长度是 9，8 ，
24、7， 。 。 。 。 。 。 。3 （理由同上 ，可见规律出现） 规律出现 总数是 1197 。 。 。 。1 （111）6236 2、 （1）将 4 封信投入 3 个邮筒，有多少种不同的投法？ -【解析】 每封信都有 3 个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第 1 封信，有 3种可能性。接着再放第 2 封，也有 3 种可能性，直到第 4 封， 所以分步属于乘法原则 即333334 （2）3 位旅客，到 4 个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ -【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有 4 种选择。彼此之间选择没有关系 不够成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是 4
25、种，再安排第 2 个旅客是 4种选择。知道最后一个旅客也是 4 种可能。根据分步原则属于乘法关系 即 44443 （3）8 本不同的书，任选 3 本分给 3 个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ -【解析】分步来做 第一步：我们先选出 3 本书 即多少种可能性 C8 取 356 种 第二步：分配给 3 个同学。 P336 种 这 里稍微介绍一下为什么是 P33 ，我们来看第一个同学可以有 3 种书选择，选择完成后，第 2 个同学就只剩下 2 种选择的情况，最后一个同学没有选择。即 321 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1，2 ，3，4 四个数字可以组成多少 4 位数？ 也是满足
26、这样的分步原则。 用 P 来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一步的压缩。 所以该题结果是 566336 3、 七个同学排成一横排照相. （1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ （3600） -【解析】 这个题目我们分 2 步完成 第一步： 先给甲排 应该排在中间的 5 个位置中的一个 即 C5 取 15 第二步： 剩下的 6 个人即满足 P 原则 P66720 所以 总数是 72053600 （2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？ （1440） -【解析】 第一步：确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2 取 12 第二步：剩下的 6 个人满足 P 原
27、则 P66720 则总数是 72021440 （3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ （3120） -【解析】特殊情况先安排特殊 第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况 去除 3 个位置 剩下 4 个位置供甲选择 C4 取 14， 剩下 6 个位置 先安中间位置 即除了甲乙 2 人，其他 5 人都可以 即以 5 开始，剩下的 5 个位置满足 P 原则 即5P555120600 总数是 46002400 第 2 种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置 则 剩下的 6 个位置满足 P66720 因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 24007203120
28、（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ （1440） -【解析】相邻用捆绑原则 2 人变一人，7 个位置变成 6 个位置，即分步讨论 第 1： 选位置 C6 取 16 第 2： 选出来的 2 个位置对甲乙在排 即 P222 则安排甲乙符合情况的种数是 2612 剩下的 5 个人即满足 P55 的规律 120 则 最后结果是 120121440 （5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520） -【解析】 这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 则总数是 P775040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种
29、数是 504022520 4、用数字 0，1 ，2，3，4 ， 5 组成没有重复数字的数. （1）能组成多少个四位数？ （300） -【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排 0。 则只有 5 种可能性 接下来 3 个位置满足 P53 原则 54360 即总数是 605300 （2）能组成多少个自然数？ （1631） -【解析】自然数是从个位数开始所有情况 分情况 1 位数： C6 取 16 2 位数： C5 取 2P22C5 取 1P1125 3 位数： C5 取 3P33C5 取 2P222100 4 位数： C5 取 4P44C5 取 3P333300 5 位数： C5 取
30、5P55C5 取 4P444600 6 位数： 5P555120600 总数是 1631 这里解释一下计算方式 比如说 2 位数： C5 取 2P22 C5 取 1P1125 先从不是 0 的 5 个数字中取 2 个排列 即 C5 取 2P22 还有一种情况是从不是 0 的 5 个数字中选一个和 0 搭配成 2 位数 即 C5 取 1P11 因为 0 不能作为最高位 所以最高位只有1 种可能 （3）能组成多少个六位奇数？ （288） -【解析】高位不能为 0 个位为奇数 1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 34P441224288 （4）能组成多少个能被 25 整除的四位数？ （21）
31、 -【解析】 能被 25 整除的 4 位数有 2 种可能 后 2 位是 25： 339 后 2 位是 50： P424312 共计 91221 （5）能组成多少个比 201345 大的数？ （479） -【解析】 从数字 201345 这个 6 位数看 是最高位为 2 的最小 6 位数 所以我们看最高位大于等于 2的 6 位数是多少？4P554120480 去掉 201345 这个数 即比 201345 大的有 4801479 （6）求所有组成三位数的总和. （32640） -【解析】每个位置都来分析一下 百位上的和：M1=100P52(5+4+3+2+1) 十位上的和：M2=4410(5+4
32、+3+2+1) 个位上的和：M3=44(5+4+3+2+1) 总和 MM1+M2+M3=32640 5、生产某种产品 100 件，其中有 2 件是次品，现在抽取 5 件进行检查. （1） “其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096） 【解析】 也就是说被抽查的 5 件中有 3 件合格的 ，即是从 98 件合格的取出来的 所以 即 C2 取 2C98 取 3152096 （2） “其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ （7224560） 【解析】同上述分析，先从 2 件次品中挑 1 个次品，再从 98 件合格的产品中挑 4 个 C2 取 1C98 取 47224560 （3） “其中没有
33、次品”的抽法有多少种？ （67910864） 【解析】则即在 98 个合格的中抽取 5 个 C98 取 567910864 （4） “其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ （7376656） 【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有 1 种的 C100 取 5C98 取 57376656 （5） “其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ （75135424） 【解析】所有的排列情况中去掉有 2 件次品的情况即是至多一件次品情况的 C100 取 5C98 取 375135424 6、从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型和乙型电视机各 1台，则不同的
34、取法共有（ ） (A)140 种 (B)84 种 (C)70 种 (D)35 种 -【解析】根据条件我们可以分 2 种情况 第一种情况：2 台甲1 台乙 即 C4 取 2C5 取 16530 第二种情况：1 台甲2 台乙 即 C4 取 1C5 取 241040 所以总数是 304070 种 7、在 50 件产品中有 4 件是次品，从中任抽 5 件，至少有 3 件是次品的抽法有_种. -【解析】至少有 3 件 则说明是 3 件或 4 件 3 件：C4 取 3C46 取 24140 4 件：C4 取 4C46 取 146 共计是 4140464186 8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需 2 人承担,
35、 乙、丙各需 1 人承担.从 10 人中选派 4 人承担这三项任务, 不同的选法共有（ C ） (A)1260 种 (B)2025 种 (C)2520 种 (D)5040 种 【解析】分步完成 第一步：先从 10 人中挑选 4 人的方法有：C10 取 4210 第二步：分配给甲乙并的工作是 C4 取 2C2 取 1C1 取 162112 种情况 则根据分步原则 乘法关系 210122520 9、12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有_ C(4,12)C(4,8)C(4,4) _种 【解析】每个路口都按次序考虑 第一个路口是 C12 取 4 第
36、二个路口是 C8 取 4 第三个路口是 C4 取 4 则结果是 C12 取 4C8 取 4C4 取 4 可能到了这里有人会说 三条不同的路不是需要 P33 吗 其实不是这样的 在我们从 12 人中任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。 如果再P33 则是重复考虑了 如果这里不考虑路口的不同 即都是相同路口 则情况又不一样 因为我们在分配人数的时候考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况 所以在上述结果的情况下要P33 10、在一张节目表中原有 8 个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？ 990 【解析】这是排列组合的一种
37、方法 叫做 2 次插空法 直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插 9 个空位，有 P(9,1)种方法；再用另一个节目去插 10 个空位，有 P(10,1)种方法；用最后一个节目去插 11 个空位，有 P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为 P(9,1)P(10,1)P(11,1)=990 种。 另解：先在 11 个位置中排上新添的三个节目有 P(11,3)种，再在余下的 8 个位置补上原有的 8 个节目，只有一解，所以所有方法有 P3111=990 种。4. 【分享】排列组合新讲义作者：徐克猛（天字 1 号 ） 2009-2-19一、 排列组合定义1、什么是 C公 式 C 是
38、指 组 合 ， 从 N 个 元 素 取 R 个 ， 不 进 行 排 列 （ 即 不 排 序 ） 。例 如 ： 编 号 1 3 的 盒 子 ， 我 们 找 出 2 个 来 使 用 ， 这 里 就 是 运 用 组 合 而 不 是 排 列 ，因 为 题 目 只 是 要 求 找 出 2 个 盒 子 的 组 合 。 即 C（ 3， 2） 32、什么是 P 或 A公 式 P 是 指 排 列 ， 从 N 个 元 素 取 R 个 进 行 排 列 (即 排 序 )。例 如 ： 1 3， 我 们 取 出 2 个 数 字 出 来 组 成 2 位 数 ， 可 以 是 先 取 C（ 3， 2） 后 排P22， 就 构
39、成 了 C（ 3， 2） P（ 2， 2） A（ 3， 2）3、 A 和 C 的关系事实上通过我们上面 2 个对定义的分析，我们可以看出的是，A 比 C 多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。4、计算方式以及技巧要求组合：C（M ，N）M ！ （ N！（MN）！） 条件：N=M排列：A（ M，N）M！ （M N）！ 条件：N=M为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1 7 的阶乘， 当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C（ M，N）当中 N 取值过大，那么我们可以看 MN 的值是否也很大。如果不大。我们可以求 C（ M，M
40、N） ，因为 C（M，N）C（M，M N）二 、 排列组合常见的恒等公式1、C（n ，0 ） C（n，1）C（n，2）C（n，n）2n2、C（m，n ） C（m，n1 ）C （m1 ，n1）针对这 2 组公式我来举例运用(1)有 10 块糖，假设每天至少吃 1 块，问有多少种不同的吃法？解答：C（9 ，0 ）C （9，1 ） C（9，9 ）29=512(2)，公司将 14 副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1 副，且已知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法 之和为 70，求，甲挑选了多少副参加展览？C（ 8，n）70 n4 即得到甲选出了 4 副。三 、 排列组
41、合的基本理论精要部分（分类和分步）(1)、加法原理（实质上就是一种分类原则）：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。排列组合当中，当我们要求某一个事件发成的可能性种类，我们可以将这个事件分成若干个小事件来看待。化整为零，例如：7 个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法。根据分类的方法。我们可以看，第一类情况：甲坐在左边，乙坐在右边，其他人随便坐，A（5，5）第二类情况：甲坐在右边，乙坐在左边，其他人随便坐，A（5，5）我们分别计算出 2 种情况进而求和
42、即得到答案。 这就是分类原则。 这样就是 A（5，5）A（5，5 ）240(2)、乘法原理（实质上就是一种分步原则）：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2m3mn 种不同的方法例如： 7 个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法，按照分步原则，第一步：我们先对甲乙之外的 5 个人先排序座位，把两端的座位空下来， A（5，5）第二步：我们再排甲乙，A（2，2 ）这样就是 A（5，5）A（2，2）240如何区分两个原理：我们知道分类原则也就是加法原则，每一个分
43、类之间没有联系，都是可以单独运算，单独成题的，也就是说，这一类情况的方法是独立的，所以我们采用了加法原理。要做一件事，完成它若是有 n 类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；我们知道分步原则也就是乘法原则。做一件事，需要分 n 个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理说明其每一个步骤之间都是有必然联系的。是相互依靠的关系。所以采用了乘法原则。这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来（3 ）特殊优先，一般次要的原则例题：（1 ）从 1、2、3、20 这二十个数中任取三个不同的
44、数组成等差数列，这样的不同等差数列有_个。第一步构建排列组合的定义模式，如果把数学逻辑转换的问题。（2 ）在一块并排的 10 垄田地中，选择二垄分别种植 A， B 两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求 A，B 两种作物的间隔不少于 6 垄，不同的选法共有_ 种。第一类：A 在第一垄，B 有 3 种选择； 第二类：A 在第二垄，B 有 2 种选择； 第三类：A 在第三垄，B 有一种选择， 同理 A、B 位置互换 ，共 12 种。（3 ）从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的取法有_。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：显然本题应分步解决。 （一）从 6 双中选出一双同色的手套，有 C（6 ，1）种方法； （二）从剩下的 5 双手套中任选 2 双，有 C（5，2 ）种方法。 （三）这 2 双可以任意取出其中每双中的 1 只，保证各不成双；即 C（6，1）*C（5，2）*22=240 （4 ）身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_。 分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有 C（6，2）C（4，2）C（2 ，2）=90种
