1、1,第2章 连续时间信号与系统的时域分析,2.1 系统微分方程的建立及算子表示 2.2 零输入响应 2.3 零状态响应 2.4 卷积积分 2.5 LTI连续时间系统时域分析举例,1,2,2,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。,3,2.1系统微分方程的建立及算子表示,2.1.1系统方程的算子表示法 如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数间关系的微分方程形式看起来很复杂，为了方便起见，把微分算子用符号p来代表，如令 ，通过引入算子符号，可以把微积
2、分方程在形式上变成代数方程。它的优点一是简化方程的列写(特别是联立方程消元)，一是通过引入系统转移算子H(p)的概念，便于形成系统分析的统一的方法。 先引入算子的定义，再由定义导出其“运算”规则，最后介绍如何用算子法列写微分方程。,3,积分算子,微分算子,算子符号,4,5,2.1系统微分方程的建立及算子表示,例 用算子法表示下面的微分方程。解:根据微分算子与积分算子的定义，上式可表示为,5,还可以将上式改写为,6,2.1系统微分方程的建立及算子表示,例 利用广义微分算子与广义积分算子来表示下面的微分方程。解：由广义微分算子与广义积分算子可写微分方程的算子方程如下其中,6,微分方程的算子形式,算
3、子方程,7,系统的传输算子,8,9,2.1系统微分方程的建立及算子表示,例2-3 求下面微分方程的转移算子H(p)解：可将上述方程改写为根据转移算子的定义，上式可进一步表示为,9,也即,10,2.1系统微分方程的建立及算子表示,2.算子的运算规则（1）由P的多项式所组成的运算符号可以像代数式那样相乘和因式分解。 特殊情况：,10,11,2.1系统微分方程的建立及算子表示,特殊一：这里也像代数式中一样，分子分母中的p可以消去。但是这里除非x(-) = 0，否则分母和分子中的p就不能消去。这表明在一般情况下，有,11,12,2.1系统微分方程的建立及算子表示,特殊二： 若将式两边积分，可得 （ c
4、为积分常数） 对于等式px =py，双方的算子p一般也不好消去。 以上讨论说明，代数量的运算规则对于算子符号一般也可以用，只是在分子分母中或在等式两边中的算子符号不能随便消去。,12,13,2.1系统微分方程的建立及算子表示,3.算子方程组的消元 为了要从一个n阶电路的n元一次算子方程组得到一个形式为的一元n阶算子方程，必须将原方程组中除响应变量.y(t)以外的其他未知量系统消去。在掌握了算子的运算规则之后，就可以较为方便地做到这一点。,13,电感和电容的算子表示,电感算子符号，理解为电感的感抗值,电容算子符号，理解为电容的容抗值,14,电 感,电 容,15,16,利用克莱姆法则， 解出:,系
5、统函数为：,微分方程为：,17,18,2.2 零输入响应yx(t),2.2.1 yx(t)的定义 2.2.2 yx(t)的求法 2.2.3 系统的自然模式,返回首页,18,19,系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始状态所引起的响应称为系统的零输入响应，记为yx(t)。系统的零输入响应完全由系统的结构与状态决定，而与激励信号无关。在式(2-8)中令f (t) = 0，得到齐次方程yx(t)就是齐次方程(2-11)的解。,2.2.1 yx(t)的定义,19,20,其中，D(p)称为系统的特征多项式，方程D(p) =0叫做系统的特征方程，特征方程的根称系统的特征根。 先来讨论比较简单的一阶、二阶齐
6、次方程的情况，然后推广至n阶方程。,20,21,一阶与二阶齐次方程的解 一阶齐次方程的一般形式为即通过分离变量，上式可改写为,21,22,对两边积分得其中，k是积分常数。从而可得其中，C=ek是待定系数，由系统的初始条件决定。例如，将初始状态yx(o)代入式(2-14)即可得,22,23,从而得到一阶齐次方程的解为二阶齐次方程的一般形式为其中，a,b是常数。其算子方程为,23,24,将上式中的D(p)作因式分解从而将式(2-16)改写为不难看出，1与2是特征方程D(p)=0的两个特征根 由此可以得到满足上述方程的两个一阶方程,24,25,它们的解分别为其中，C1,C2为待定系数。显然，yx1(
7、t)与yx2(t)都是解，且彼此线性无关，因此零输入响应的计算通式为如果给定初始状态为,25,26,将这些条件代入式(2-19)及其微分式可得解之，可得Cl与C2的具体数值，从而最后确定yx(t)。 例2-5 某系统输入/输出微分算子方程为己知初始条件yx(0)= 3，yx(0)= 6，求系统的零输入响应yx(t)。,26,27,解：由题意知因为所以 把yx(0)= 3，yx(0)= 6，代入上式可得所以系统的零输入响应为,27,28,n阶齐次方程的解 上述二阶方程的解，可以推广至n阶方程即首先求出特征方程的n个根1，2 ，n 。然后将式(2-20)改写为,2.2.2 yx(t)的求法,28,
8、29,29,30,2.1是一个k重根，即其中，待定系数可由初始状态,30,31,例2-6 己知系统的方程为初始状态为， ，求系统的零输入响应yx(t)。,31,32,解:令f (t) = 0，得齐次方程将D(p)作因式分解得,32,33,可见，系统的特征根1=-1是单根，而2=-3是一个二重根，据此可写出yx(t)为将初始状态代入上式得解之得 因此，系统的零输入响应为,33,34,2.2.3由转移算子H(p)求系统的零输入响应 从以上的讨论可以看出，只要己知系统的特征多项式D(p)及初始状态，就可以求出系统的零输入响应。因此，知道系统的转移算子H(p)和初始状态，也就可以直接求出yx(t) 前
9、面己指出，转移算子是一种把输入与响应联系起来的系统数学模型的简洁表示，即,34,35,因此，只要知道H(p)，就可以从它的分母D(p)求出系统的特征根，亦即H(p)的极点1，n ，从而写出系统的零输入响应的一般式再根据初始状态，求出待定系数Cj,j=1n，最后确定yx(t).,35,36,例2-7 己知系统微分方程为初始状态 , 计算零输入响应。 解:用算子表示原微分方程，得转移算子容易看出，转移算子的极点为1=-2, 2=-3。从而可以直接写出y(t)的零输入响应为,36,37,将初始状态 代入上式得解之得将C1与C2代入yx(t)得,37,38,2.2.4 算子法求解yx(t)的步骤 第一
10、步，将D(p)进行因式分解，即其中， i和ri分别是系统特征方程的第i个根及其相应的重根阶数。 第二步，求出第i个根i对应的零输入响应yxi(t) ，即,38,39,第四步，根据给定的零输入响应初始条件 确定常数 （i=1,2，.l),第三步，将所有yxi(t) （i=1,2，.l)相加，得到系统的零输入响应，即,39,40,2.2.3 系统的自然模式,1.系统零输入响应是由指数函数项组成 i 是系统特征方程D(P)=0的特征根。每一个特征根i在响应中对应的指数项称为响应的一个模式或自然模式。 2.系统零输入响应中各项的模式，定义为系统的自然模式。系统的自然模式由系统唯一确定。 3.如果H(P
11、)有n个特征根，零输入响应yx(t)中就有n个模式。对于同一个系统，不同的响应信号与激励f(t)之间的转移算子一般具有相同的分母，即D(P)。因此，同一系统中不同响应变量的零输入响应具有相同的模式，不同的只是各指数项的系统。,40,41,2.3 零状态响应yf(t),2.3.1 零状态响应的定义 2.3.2 系统的单位冲激响应 2.3.3 系统的单位阶跃响应 2.3.4 yf(t)的求法,返回首页,41,42,2.3.1 零状态响应的定义,系统在输入信号的单独作用下（初始状态为零）产生的响应分量，称为系统的零状态响应分量，记为yf(t)。是方程yf(t)=H(p)f(t)在初始状态为零时的解。
12、,42,43,2.3.2 系统的单位冲激响应,1、定义：输入为单位冲激信号(t)的零状态响应分量，称为系统的单位冲激响应，简称冲激响应，记为：h(t)。是方程h(t)=H(p) (t)在初始状态为零时的解。 h(t)由系统唯一确定,43,44,图2-1 冲激响应示意图,44,45,冲激响应的求法 转移算子法 直接求解法,45,46,2、一些简单系统的h(t),46,冲激响应 转移算子求解法,47,简单系统1,47,两边从0- 到t 取定积分：,冲激响应 转移算子求解法,48,简单系统 2,系统冲激响应h(t)满足的算子方程为,两边同乘以 并取积分 得,48,冲激响应 转移算子求解法,49,将上
13、面的结果推广到特征方程A(p)=0在p=处有r 重根的情况,简单系统3,49,冲激响应 转移算子求解法,50,3、已知系统计算h(t) 当H(p)为有理真分式时，将H(p)部分分式展开 H(p)= H1(p)+ H2(p)+ 则： h(t)= H(p)(t) = H1(p) (t) + H2(p) (t)+ = h1(t)+ h2(t) 若H(p)为假分式，先长除再将真分式部分部分分式展开。,50,冲激响应 转移算子求解法,51,综上所述，可以得到计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是：,第一步，确定系统得传输算子H(p),第三步，求各分式对应的冲激响应分量hi(t),第四步，各部分求和,第二步
14、，将H(p)进行部分分式展开,51,冲激响应 转移算子求解法,52,52,例：已知系统的微分方程为,试求其冲激响应h(t)。,解：先求出方程的特征根：,转移算子为,故，系统的冲激响应为,冲激响应 转移算子求解法,53,53,冲激响应 转移算子求解法,54,54,解： 由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为,其H(p)可表示为,55,56,57,57,冲激响应与零输入响应的比较,冲激响应与零输入响应的形式相似，只不过零输入响应中没有冲激函数项，另外零输入响应的系数 c 由初始条件求得，而冲激响应的系数 k 是转移函数展开为部分分式时的各系数。 相似原因: 零状态的系统输入是冲激函数时，该输入
15、信号只在t =0时存在。那时，系统在一瞬间输入了若干能量，储存在系统的储能元件里，这就相当于系统在 t =0+ 时具有某种初始状态。等到 t 0 时，系统已不再有输入信号，所以响应就由上述储能的状态惟一地确定。,58,2.3.3 系统的单位阶跃响应,输入为单位阶跃信号(t) 的零状态响应分量，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。记为g(t)。 阶跃响应与冲激响应的关系为：,58,59,证明：,59,60,图2-2 阶跃响应示意图,60,61,2.3.4 系统的零状态响应yf(t)的求法,系统的零状态响应等于输入信号与系统的单位冲击响应之间的卷积积分 yf(t)=f(t) * h(t),61,卷积法
16、分析思路,（1）将激励信号分解为单位冲激信号的线性组合 ； （2）求出单位冲激信号作用在系统上的响应 冲激响应 ； （3）利用线性时不变系统的特性，即可求出激励信号作用下系统的零状态响应 。,62,为了叙述方便，我们采用如下简化符号：,62,63,2.4 卷积积分,2.4.1 卷积积分的定义 2.4.2 卷积的图解法 2.4.3 卷积的性质 2.4.4 卷积计算小结,63,64,2.4.1 卷积积分的定义,具相同自变量的二函数f1(t)， f2(t)的积分：,称为该二函数的卷积积分，简称卷积，记为：,64,例求卷积：,解：,66,例：解：,66,67,卷积过程可分解为四步：（1）换元： t换为
17、得f1 （） ， f2（）（2）反转平移：由f2（）反转 f2（）平移t f2（t-）（3）乘积： f1（） f2（t-）（4）积分： 从到对乘积项积分。,2.4.2 卷积的图解法,67,68,68,卷积积分的图解计算 步骤,计算,扫描,69,69,例,计算,70,70,例,计算,71,71,例,计算,72,72,已知线性非时变系统的冲激响应 ，激励信号为 试求系统的零状态响应。,解：系统零状态响应为：,将f(t)反折，再扫描可 确定积分上下限。,73,73,卷积积分的解析法求解,74,1、卷积的代数运算性质 （1）交换律 f1(t)* f2(t)= f2(t) * f1(t) （2）分配律
18、f1(t)* f2(t) +f3(t) = f1(t) * f2(t)+ f1(t) * f3(t) （3）结合律 f1(t)* f2(t) *f3(t) = f1(t)* f2(t) *f3(t) ,2.4.3 卷积的性质,74,75,2、(n)(t)与任意信号的卷积,例如，n=0时,n=1时，微分器,n=1时，积分器,75,76,3、卷积的时移特性 若f1(t)* f2(t)= y(t)， 则： f1(t-t1)* f2(t-t2)=y(t- t1-t2 ),76,77,4、卷积的微分与积分,77,78,5、时限信号间的卷积积分仍为时限信号。若f1(t)， f2(t)占有的时间范围分别为l
19、1， l2 ，则y(t)= f1(t)* f2(t)占有的时间范围l=l1 +l2 结论：时限信号与任意信号的卷积，必定存在。,78,79,6.用算子法计算卷积 条件：参与卷积的函数必须是因果信号。 若因果信号因果信号 则：,79,80,一些简单系统的h(t),80,冲激响应 转移算子求解法,81,1/p,1/(p-),81,82,82,解：,83,83,例,与冲激函数的卷积,*,=,*,=,*,=,84,84,冲激响应为,解：将转移算子按部分分式展开有：,系统的转移算子为 , 已知 ，试求全响应。,零输入响应：,零状态响应：,代入初始条件得到C1=4，C2=-3,85,85,已知某线性系统单
20、位阶跃响应为 ,试利用卷 积的性质求如图信号激励下的零状态响应。,解一：利用时不变特性：,解二：利用卷积性质：,86,86,系统的方框图表示,子系统串联：,等效于：,子系统并联：,等效于：,87,87,如图所示系统，它由几个子系统组成。各子系统的冲激响应分别为： ，,试求系统的冲激响应。,解：冲激响应为,88,例 某LTI连续系统N有A、B、C三部分组成。已知 ，gB(t)=(1-e-t)(t)，gC(t)=2e-3t(t)，f(t)=(t)-(t-2)，求系统N的冲激响应、阶跃响应和零状态响应。,88,89,解 (1) 系统N的冲激响应。,89,90,(2) 系统N的阶跃响应。设系统N的阶跃
21、响应为gN(t),方法一 因为已经求得系统的阶跃响应,它是输入为(t)时对应的零状态响应。f(t)=(t)-(t-2),(3) 系统的零状态响应。,90,91,方法二,91,92,2.4.4 卷积计算小结,1、定义、图解； 2、性质和已知卷积结果； 3、因果信号之间的卷积算子法 若因果信号因果信号 则：,92,93,93,卷积表,1、 2、 3、 6、 8、9、,94,2.5 无时限指数信号通过系统,2.5.1 系统响应的分类 2.5.2 系统的时域分析法举例 2.5.3 无时限指数信号通过系统,94,95,2.5.1 系统响应的分类,1全响应分解为零输入响应与零状态响应 2全响应分解为自由响
22、应与强迫响应 3全响应分解为暂态响应与稳态响应,95,96,1全响应分解为零输入响应与零状态响应,全响应可以分解为零输入响应yx(t)与零状态响应 yf(t)之和，即：y(t)= yx(t)+ yf(t),96,97,2全响应分解为自由响应与强迫响应,由系统自然模式组成的响应分量，称为自由响应又称固有响应，自由响应的模式取决于系统的特征根；强迫响应又称强制响应，是与激励相关的响应。,97,98,3全响应分解为暂态响应与稳态响应,全响应y(t)还可以分解为暂态响应 yT(t)与稳态响应 yS(t)之和，即：y(t)= yT(t)+ yS (t)之和， 其中：t , yT(t) 0而yS (t)不
23、趋于零。,98,暂态响应分量：系统响应中随着时间增长而趋于零的部分。 稳态响应分量：随着时间增长而趋于稳定的部分。,99,2.5.3 无时限指数信号通过系统,若LTI系统转移算子有特征根 输入 当满足主导条件否则,99,100,2.6 LTI 连续时间系统时域分析举例,零输入响应 零状态响应 全响应以阶跃函数和冲击函数作为基本信号，将任意输入信号表示为冲击分量的连续和（积分），并用卷积方法求取系统的响应,100,101,求解零输入响应就是解齐次方程 D(p)y(t)=0 ，可根据特征方程D(p)=0根的两种不同情况写出解的一般形式。,1.零输入响应,101,102,例1 如图RLC串联谐振电路
24、，已知 L=1H , C=1F , R=2.5 初始条件为： 1、i(0)=0 A , i(0)=1 A/s 2、i(0)=0 A, uc(0)=10 V 分别求上述两种情况下回路电流的零输入响应。,102,103,解：前面我们已经列出了它的微分方程,写成算子形式：,103,104,1、初始条件为 i(0)=0 A , i(0)=1 A/s时,104,105,2、初始条件为i(0)=0 A , uc(0)=10 V时 初始条件uc(0)=10 V不能直接用于确定常数C1, C2 所以必须转化为i(0)。,105,106,代入零输入响应的一般形式得：,106,107,1、初始条件为i(0)=0
25、A , i(0)=1 A/s时,107,108,2、初始条件为i(0)=0 A , uc(0)=10 V时,108,109,1、由于电容C上的初始电压为10V(i(0)=-10A/s)方向为左正右负，所以电容放电，方向与参考方向相反，曲线在横轴下方，由于电路中存在电阻将损耗能量，最终电流变为零。 2、第一种情况i(0)=1 A/s相当于电容C上的初始电压为-1V方向为右正左负，所以电容放电方向与参考方向相同，曲线在横轴上方。电路的工作过程与第二种情况一样。,109,110,例2 上例中将电阻改为R=2 初始条件仍为：i(0)=0 A , i(0)=1 A/s求回路电流的零输入响应。解:,110
26、,111,讨论：这种情况特征根为二阶重根，在电路理论中属于临界阻尼的情况，电路工作过程与例1一样。而例1在电路理论中属于过阻尼的情况，临界阻尼和过阻尼的零输入响应电流都不出现振荡。如果继续减小电阻则零输入响应电流将出现衰减的振荡，在电路理论中称欠阻尼。,111,112,(1)单位冲激响应h(t)的求法 h(t)是系统在单位冲激函数(t)激励下的零状态响应。所以当系统的激励为(t)时，输入输出算子方程写为：,2.系统的零状态响应,112,113,例3：已知系统的微分方程为 :,求单位冲激响应h(t)。 解： 1、求转移算子H(p),113,114,2、将H(p)分解,例4：已知系统的微分方程为:,求单位冲激响应h(t)。,114,115,解：,115,116,一、时域分析小结,3.线性系统响应的时域求解,116,117,例6 已知某连续系统的微分方程为,若系统的初始条件y(0-)=y(0-)=1，输入f(t)=e-t(t)，求系统的零输入响应yx(t)，零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。,解,117,118,(2) 求零状态响应,(3) 完全响应,118,1、求零输入响应,所以零输入响应的一般形式为：,代入初始条件：,119,2、求零状态响应,所以零状态响应,3、全响应,120,1、求系统的冲激响应 h(t),121,2、求零状态响应,3、零输入响应,122,
