1、 实 验 报 告连续时间系统的频域分析班级： 电 子 学号： 姓名： 指导教师： 完成时间 实验三 连续时间系统的时域分析一、实验目的1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象” ，了解其特点以及产生的原因；3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义；4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质；5、学习掌握利用 MATLAB 语言编写计算 CTFS、CTFT 和 DTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证 CTFT、DTFT 的若干重要性质。基本要求：掌握并深刻理傅里叶
2、变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用 MATLAB 编程完成相关的傅里叶变换的计算。二、实验原理及方法1、连续时间周期信号的傅里叶级数 CTFS 分析任何一个周期为 T1 的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。其中三角傅里叶级数为：2.11 000 )sin()cos()(kktbtatx 或： 2.2kktt 其中 ，称为信号的基本频率 （Fundamental frequency） ， 分别是102T kkba， 和，0信号 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度， 为合并同频率项之后各正)(tx kc、弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率 的
3、函数，绘制出它们与 之间的图像，0k0称为信号的频谱图（简称“频谱” ） ， 图像为幅度谱， 图像为相位谱。kck三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号 x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude）为 。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以kc合成一个任意的非正弦周期信号。指数形式的傅里叶级数为：2.3ktjkeatx0)(其中， 为指数形式的傅里叶级数的系数，
4、按如下公式计算：ka2.42/10)(Ttjkkdexa指数形式的傅里叶级数告诉我们，如果一个周期信号 x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related）的周期复指数信号所组成，其中每一个不同频率的周期复指数信号称为基本频率分量，其复幅度（complex amplitude）为 。这里“复幅度（complex amplitude） ”指的是 通常是复ka ka数。上面的傅里叶级数的合成式说明，我们可以用无穷多个不同频率的周期复指数信号来合成任意一个周期信号。然而，用计算机（或任何其它设备）合成一个周期信号，显然不可能做到用
5、无限多个谐波来合成，只能取这些有限个谐波分量来近似合成。假设谐波项数为 N，则上面的和成式为：2.5Nktjkeatx0)(显然，N 越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号 x(t)。本实验可以比较直观地了解傅里叶级数的物理意义，并观察到级数中各频率分量对波形的影响包括“Gibbs”现象：即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为 9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。这一现象在观察周期矩形波信号和周期锯齿波信号时可以看得很清楚。三、实验内容和要求Q3-1 编写程序 Q3_1，绘制下面的信号的波形图： )5cos(1)3cos(1)cs() 000 ttttx 10
6、)cos()2sint其中， 0 = 0.5，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制 cos(0t)、cos(3 0t)、cos(50t) 和 x(t) 的波形图，给图形加 title，网格线和 x 坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。代码如下：clear,%Clear all variablesclose all,%Close all figure windowsdt = 0.00001; %Specify the step of time variablet = -2:dt:4; %Specify the interval of timew0=0.5*pi;x1=cos
7、(w0.*t);x2=cos(3*w0.*t);x3=cos(5*w0.*t);N=input(Type in the number of the harmonic components N=);x=0;for q=1:N;x=x+(sin(q*(pi/2).*cos(q*w0*t)/q;endsubplot(221)plot(t,x1)%Plot x1axis(-2 4 -2 2);grid on,title(signal cos(w0.*t)subplot(222)plot(t,x2)%Plot x2axis(-2 4 -2 2);grid on,title(signal cos(3*w0
8、.*t)subplot(223)plot(t,x3)%Plot x3axis(-2 4 -2 2)grid on,title(signal cos(5*w0.*t)仿真结果如下：Q3-2 给程序 Program3_1 增加适当的语句，并以 Q3_2 存盘，使之能够计算例题 3-1 中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。代码如下：% Program3_1clear, close allT = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2;x1 = u(t) - u(t-1-dt); x = 0;for m = -1:1 % Periodically
9、 extend x1(t) to form a periodic signalx = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt);endw0 = 2*pi/T;N = 10; % The number of the harmonic componentsL = 2*N+1;for k = -N: N; % Evaluate the Fourier series coefficients akak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t)*dt;endphi = angle(ak); % Evaluate the phase of aksubplot(211
10、)k = -10:10;stem (k,abs(ak),k);axis(-10,10,0,0.6);grid on;title(fudupu);subplot(212);k = -10:10stem(k,angle(ak),k);axis(-10,10,-2,2);grid on;titie(xiangweipu);xlabel(Frequency index x);仿真结果如下：Q3-3 反复执行程序 Program3_2，每次执行该程序时，输入不同的 N 值，并观察所得到的周期方波信号。吉伯斯现象的特点是：% Program3_3% This program is used to comp
11、ute the Fourier series coefficients ak of a periodic square waveclear,close allT = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2;x1 = u(t)-u(t-1-dt); x = 0;for m = -1:1x = x + u(t-m*T) - u(t-1-m*T-dt); % Periodically extend x1(t) to form a periodic signalendw0 = 2*pi/T;N = input(Type in the number of the harmonic co
12、mponents N = :);L = 2*N+1;for k = -N:1:N;ak(N+1+k) = (1/T)*x1*exp(-j*k*w0*t)*dt;endphi = angle(ak);y=0;for q = 1:L; % Synthesiz the periodic signal y(t) from the finite Fourier seriesy = y+ak(q)*exp(j*(-(L-1)/2+q-1)*2*pi*t/T);end;subplot(221),plot(t,x), title(The original signal x(t), axis(-2,2,-0.2
13、,1.2),subplot(223), plot(t,y), title(The synthesis signal y(t), axis(-2,2,-0.2,1.2), xlabel(Time t),subplot(222)k=-N:N; stem(k,abs(ak),k.), title(The amplitude |ak| of x(t), axis(-N,N,-0.1,0.6)subplot(224)stem(k,phi,r.), title(The phase phi(k) of x(t), axis(-N,N,-2,2), xlabel(Index k)N=1N=2通过观察我们了解到
14、：如果一个周期信号在一个周期有内断点存在，那么，引入的误差将除了产生纹波之外，还将在断点处产生幅度大约为 9%的过冲（Overshot） ，这种现象被称为吉伯斯现象（Gibbs phenomenon） 。即信号在不连续点附近存在一个幅度大约为 9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。1、周期信号的傅里叶级数与 GIBBS 现象给定如下两个周期信号： t122)(1txQ3-4 分别手工计算 x1(t) 和 x2(t) 的傅里叶级数的系数。信号 x1(t) 在其主周期内的数学表达式为：x1(t)=t*(u(t+1)-u(t)-t*(u(t)-u(t-1);计算 x1(t) 的傅里
15、叶级数的系数的计算过程如下： 2)(10att dttxTttn dtnwtx)cos()(/2 11Tttn tb )i()(/ 11064a594/a12223220nb)(2txt221.0.通过计算得到的 x1(t)的傅里叶级数的系数的数学表达式是： )cos(251)cs(9)os(421 tttx 信号 x2(t) 在其主周期内的数学表达式为： tjeSax)2n2（计算 x2(t) 的傅里叶级数的系数的计算过程如下：2)(0att dttxTttn dtnw)cos()(/ 22Tttn txbi/222通过计算得到的 x1(t)的傅里叶级数的系数的数学表达式是： tjeSax)
16、2n2（Q3-5 仿照程序 Program3_1，编写程序，以计算 x1(t)的傅里叶级数的系数。代码如下：clc,clear,close allT=2;dt=0.00001;t=-3:dt:3;x=(t+1).*(u(t+1)-u(t)-(t-1).*(u(t)-u(t-1);x1=0;for m=-2:2x1=x1+(t+1-m*T).*(u(t+1-m*T)-u(t-m*T)-(t-1-m*T).*(u(t-m*T)-u(t-1-m*T);endw0=2*pi/T;N=10;L=2*N+1;for k=-N:N;ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t)*dt;en
17、dphi=angle(ak);plot(t,x1);axis(-4 4 0 1.2);grid on;title(The signal x1(t);xlabel(Time t (sec);ylabel(signal x1(t);执行程序 Q3_5 所得到的 x1(t)的傅里叶级数的 ak 从-10 到 10 共 21 个系数如下：仿真结果如下：Q3-6 仿照程序 Program3_1，编写程序 Q3_6，以计算 x2(t) 的傅里叶级数的系数（不绘图）。代码如下：clc,clear,close allT=2;dt=0.00001;t=-3:dt:3;x=u(t+0.2)-u(t-0.2-dt)
18、;x2=0;for m=-1:1x2=x2+u(t+0.2-m*T)-u(t-0.2-m*T)-u(t-0.2-m*t-dt);endw0=2*pi/T;N=10;L=2*N+1;for k=-N:N;ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t)*dt;endphi=angle(ak);plot(t,x2);axis(-2.5 2.5 0 1.2);grid on;title(The signal x2(t);xlabel(Time t (sec);ylabel(signal x2(t);执行程序 Q3_6 所得到的 x2(t)的傅里叶级数的 ak 从-10 到 10 共
19、21 个系数如下：仿真结果如下：Q3-7 仿照程序 Program3_2，编写程序 Q3_7，计算并绘制出原始信号 x1(t) 的波形图，用有限项级数合成的 y1(t) 的波形图，以及 x1(t) 的幅度频谱和相位频谱的谱线图。代码如下：%Program Q3_7%This program is used to evaluate the Fourier serier coefficients ak of a periodic squareclc,clear,close allT=2;dt=0.00001;t=-3:dt:3;x=(t+1).*(u(t+1)-u(t)-(t-1).*(u(t)-
20、u(t-1);x1=0;for m=-2:2 %Periodically extend x1(t) to form q periodic signalx1=x1+(t+1-m*T).*(u(t+1-m*T)-u(t-m*T)-(t-1-m*T).*(u(t-m*t)-u(t-1-m*t);endw0=2*pi/T;N=10; %the number of the harmonic componentsL=2*N+1;for k=-N:N;ak(N+1+k)=(1/T)*x*exp(-j*k*w0*t)*dt;endphi=angle(ak); %Evaluate the phase of sk
21、y=0;for q=1:L; %Synthesiz the periodic signal y(t) from the finite Fourier seriesy=y+ak(q)*exp(j*(q-1-N)*w0*t);end;subplot(221)plot(t,x)%plot xaxis(-3 3 -0.2 1.2);grid on;title(The original signal x(t);subplot(223)plot(t,y)%Plot yaxis(-3 3 -0.2 1.2);grid on;title(The synthesis signal y(t);subplot(22
22、2);xlabel(Time i (sec);subplot(222);k=-N:N;stem(k,abs(ak),k);axis(-N N -0.1 0.6);grid on;title(The amplitude spectrum of x(t);subplot(224);k=-N:N;stem(k,phi,k);axis(-N N -2 2);grid on;title(The phase spectrum of x(t);xlabel(Frequency index k);仿真结果如下：反复执行程序 Q3_7，输入不同的 N 值，观察合成的信号波形中，是否会产生 Gibbs 现象？为什
23、么？；假定输入 N=10，得到图形如下：所以不会产生 Gibbs 现象，即与 N 值无关。给定两个时限信号:21,2)(1ttttx )1()(2cos)(2 tuttxQ3-8 利用单位阶跃信号 u(t)，将 x1(t) 表示成一个数学闭式表达式，并手工绘制 x1(t) 和 x2(t) 的时域波形图。计算 x1(t) 的傅里叶变换的过程： )()(wFtf)()(1Ftf)()(2wtfAbbbbaa解 ： 如 图 示 ， 对 f(t)两 次 求 导 ， 有 ：)()()( tabtaAtf 1)(,1jwtet用 延 时 特 性 有 ：由 于 )()cos(s2 ),(tfabaAeeFj
24、f jbwjajawjb 则 有 ：若 令 ();)1FTtfTw0;012 cos2( 2wabAtfF计算得到的 x1(t) 的傅里叶变换的数学表达式为：计算 x2(t) 的傅里叶变换的过程：计算得到的 x2(t) 的傅里叶变换的数学表达式为：手工绘制的 x1(t)的幅度频谱图 手工绘制的 x2(t)的幅度频谱图Q3-9 编写 MATLAB 程序 Q3_9，能够接受从键盘输入的时域信号表达式，计算并绘制出信号的时域波形、幅度谱。代码如下clear,close allT=0.01; dw=0.1;t=-10:T:10;w=-4*pi:dw:4*pi;x=input(peleas x=);X=
25、x*exp(-j*t*w)*T; X1=abs(X);phai=angle(X);subplot(211)t=-10:T:10;plot(t,x)%Plot Xaxis(-3 3 -0.2 1.2);grid on,title(The signal X(t);xlabel(Time t(sec);w=-4*pi:dw:4*pi;subplot(212);plot(w,X1)%Plot X;axis(-4*pi 4*pi -0.1 3);grid on;2cos2)()(wtfFTw)()(costtitle(The amplitude spectrum of X(t);xlabel(Frequ
26、ency index w);% x1(t)=(t+2).*(u(t+2)-u(t+1)+u(t+1)-u(t-1)+(2-t).*(u(t-1)-u(t-2)% x2(t)=cos(pi*t/2).*(u(t+1)-u(t-1)仿真结果如下：Q2-10 编写 MATLAB 程序 Q2_10，能够接受从键盘输入的时域信号表达式，计算并绘制出信号的时域波形、幅度谱。代码如下clear,close allT=0.01; dw=0.1;t=-10:T:10;w=-4*pi:dw:4*pi;x=input(peleas input a signal,I will draw its plot for yo
27、u.Signal x=); X=x*exp(-j*t*w)*T;X1=abs(X);phai=angle(X);subplot(211)t=-10:T:10;plot(t,x)%Plot Xaxis(-3 3 -0.2 1.2);grid on,title(The signal X(t);xlabel(Time t(sec);w=-4*pi:dw:4*pi;subplot(212);plot(w,X1)%Plot X;axis(-4*pi4*pi-0.1 3);grid on;title(The amplitude spectrum of X(t);xlabel(Frequency index
28、 w);% x1(t)=(t+2).*(u(t+2)-u(t+1)+u(t+1)-u(t-1)+(2-t).*(u(t-1)-u(t-2)% x2(t)=cos(pi*t/2).*(u(t+1)-u(t-1)仿真结果如下：-3 -2 -1 0 1 2 300.51The signal X(t)Time t(sec)-10 -5 0 5 100123 The amplitude spectrum of X(t)Frequency index w实验心得：这次利用 Matlab 进行傅里叶变换的的相频特性的幅频特性的表示，观察到信号在不连续点附近存在一个幅度大约为 9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。信号与系统这门课程太神奇了，难度对于我来说也挺大的，很多的不会，经过与同学的交流只是完成了部分的，还有一些就是不会做了。期待老师的指导。
