1、1第二章 连续时间系统的时域分析学习目标1.理解 0_和 0+时刻系统状态的含义，并掌握冲激函数匹配法2.理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法3.掌握系统全响应的两种求解方法：自由响应和强迫响应4.熟练掌握零输入响应和零状态响应的定义和求法；5.会分辨全响应中的瞬态响应分量和稳态响应分量；教学重点难点重点掌握卷积积分的定义、代数运算规律和主要性质，并会用卷积积分法求解线性时不变系统的零状态响应。教学内容2.1 引言线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。一、建立数学模型建立数学模型就是根据力学、电学等物理学规律，得到输入和输出之间满足的数学表达式。数学模型的建
2、立过程与应用系统的特性有关。例如，对于经典力学理论，主要是依赖于牛顿定律；对于微波和电磁场而言，组要依赖于麦克斯韦方程；本课程主要研究的是由电阻、电容、电感等器件构成的集总参数电系统，它的数学模型的建立主要有依赖于 KCL 和 KVL 方程。在物理课程和电路分析课程中已经提供了相应的理论和方法。连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分方程描述，若输入输出只用一个高阶的微分方程相连系，而且不研究系统内部其他信号的变化，这种描述系统的方法称为输入输出或端口描述法。teS tr系统分析的任务就是对给定系统模型求系统的输出。系统时域分析包含两方面内容，一方面是微分方程的求解，另一方面是已知系统单位冲激
3、响应，将冲激响应与激励信号进行卷积，求出系统的响应；同时引入近代系统时域分析方法，将建立零输入响应和零状态响应两个重要的基本概念。本章还将说明微分方程的算子符号表示法，它使微分方程的表示及运算简化。最后，简单介绍“分配函数”的概念。本章共 8 学时，其中，讲授 6学时，习题课1 学时，讨论课 1 学时。22.2 微分方程的建立与求解为建立线性系统的数学模型，需列出描述系统特性的微分方程表达式，现举例说明微分方程的建立方法。一、复习 R,L, ,的电压电流关系。C+ Rui RiuR+ Ctitucctcdiui+ LtiLtutLLdutii1例 2-1 ：如下图所示为 RLC 并联电路，求并
4、联电路的端电压 与激励tu源 间的关系。tis tu+ciLiRitis上课前应复习“电路分析”知识。3dtuCtiduLtiRuti ct ,1,由 KCL 得：（1）titiscL将以上三式代入上方程（1）得： tidtudtRtuCs2若组成系统的文件都是参数恒定的线性元件（且无储能） ，则构成的系统是线性时不变系统。对于复杂系统，设激励信号为 ，响应为 ，则可用一高阶的微分tetr方程表示（2）teEdteEterCtdtCmmmnnrnr 101若方程（2）的 及其各阶导数都为零，则方程称为齐次方程（3）0110 trCdtdtCt nnnrnr由经典法可知，方程（2）的解由齐次方程
5、和特解两部分组成。齐次解是齐次方程的解。齐次方程解的形式为 函数的线性组合，将 代入方程（3）tAetAetr得（4）0110 nnnCC方程（4）称为方程（2）的特征方程，对应的 n 个根 n,21称为微分方程的特征根。若特征根无重根，则 nihAtr1tie若 是 K 阶重根，则1 tknjjtniiKn jeBtt 11例 1 求 的齐次解023trtr例 3 求 的齐次解te167 复习“高等数学”微分方程的解法相关知识。4解其特征方程为 00321267313t eAtrttn特解 的函数形式与激励函数形式有关p求解方法是将激励 代入方程（2）右端，化简右端函数式称为te“自由项”
6、，根据自由项选特解函数式，代入方程后，求得特解的待定系数，即可求出特解 trp激励函数 与特解的对应关系，见 P46 表 2-2。e例：2-4 给定方程 tetrtr32若（1） ， （2） 分别求两种情况下此方程的特解tete解：（1）将 代入方程得：自由项为t t2故设特解 代入方程得321ByptBt343 221 对比系数得： 03241B2710931327932ttrp（2）当 ，可选 ，代入方程后得tetpBerttttBe31于是特解 tper于是完全解 trAtpniti15若给定微分方程和激励信号 ，在给出一组求解区间内的边界条件，te便可确定待定系数 。iA若 是在 t=
7、0 时刻加入，则把求解区间定为 ，通常取 这te t00t样对应的一组条件称为初始条件。微分方程的齐次解称为系统的自由响应，特征方程 称ni,321为系统的“固有频率” （自由频率，自然频率） ；特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与激励函数的形式有关，完全响应由系统的自身特性决定的自由响应 和与外加激励信号 有关的强迫响应 组成的。trhtetrp2.3 起始点的跳变从 到 的转换0在系统分析中，把响应区间确定为激励信号 加入后，系统变化区间，te一般 在 t=0 时刻加入，这样系统的响应时间为 ，若系统在激te 励信号加入之前瞬间有一组状态，这组状态称为系统的起始状 0,0,01rdtrdt
8、r nk 态（ 状态）,它包含了为计算未来响应的全部“过去”信息。在 加入te之后，这组状态从 到 时刻可能发生变化。完全响应表达式0t中常数treAtrpniti1niA,21是由响应区间内 时刻的一组状态确定的。0t 0,01rdtrdtr nk 这组状态称为初始条件（简称 状态） 。由此可见，用时域经典法求解系统的响应时，为确定自由响应部分常数 ，还必须根据系统的 状态和激励情况求出 状态。niA,2100对于具体电路， 状态就是系统中储能元件的储能情况，一般情况0下，先求出电容上的起始电压和电感中的起始电流， ， 。cVLi讲解本部分知识不应快，应先易后难，循序渐进。6当电路中没有冲激
9、电流（或阶跃电压）强迫作用于电容及没有冲激电压（或阶跃电流）作用于电感，则换路期间电容两端电压和流过电感中的电流不会发生突变，即 ， ，然后根据元0ccV0Lii件特性约束和网络拓扑约束求得 时刻的其他电流或电压值，下面以具体例子，说明这种情况下电路响应的求解方法。例：如图所示+1Ri tic+ 1CFtuc+tus+ 2v4v1tuRitcs而 ()2cdCt 将(2)式代入(1)式子得tuRdttuccstCtscc 1tuuscctnAet令 则代入方程得Bcp4tu4tuAec而 V20的电压不能突变，故tcu将 代入Vc207，得4tuAetcA=-22tct02-5 例如图所示电路
10、， 开关 S 处 1 位置且已达到稳定，当 t=0t时，由 1 转向 2，建立电流 的微分方程并求解 在 时的变化。iti0解： （1）tiRtec12（2）2tidtLtLc（3）titctiti LLc 消去 ， 得tci（4）tedttedtitidti 222 6107.求齐次方程titii特征方程： 01725,21ttheAti a) 求特解:当 时， 代入（4）式得0tvt2故方程 （5）1607iii8令 代入（5）式得Btip58160故系统的完全解为（6）5821tteAti 0tc确定待定系数 ,由于无冲激电压，故电容电压不能突变，0ccv而 VRc 56221AVi40
11、21AveRic5146)0(21 01cdttdtisAiCetRL2 541001 d.求 在 时的完全响应ti将 代入（6）式得20,514i 15234220514811AAi0,85342tetitt当系统已经用微分方程表示时，系统的 0-状态到 0+状态有无跳变，取决定于微分方程在右端自由项中是否包含 (t)及其各阶导数 .若包含有9(t)及其各阶导数,说明相应的变量从 0-到 0+状态发生了跳变,即此时为确定 等，可以用.或)(0)(0rr 0,r冲激函数匹配法。其原理根据 t=0 时刻微分方程左右两端的 (t)及其各阶导数应该平衡相等。下面举一例子说明：已知 一一0一- 0,2
12、3rVttr解：由分析可知：方程右边含 ，由此可推断tt3,，而方程右端无 项，故 由于ttr3一 t 一一tr9得出 r(t)在 t=0 时刻有 存在，若 表示一9 tu9u到 相对单位跳变函数，即070r上述方程可用数学方法描述设 tuctbtatr积分一次有： r将 代入原方程 得tr, ttr3tubatucba解得： 27903cbc表示从 0-到 0+相对单位发生跳变函数tubuar即729r例 2-6 用冲激函数匹配法求解例 2-5 的完全响应 r(t)tutttitii 812107已知： SAdt0,54用冲激函数匹配法求 ?,ii1042tet解：考虑方程右端冲激函数项最高
13、次是 因而设ttuatitbtuctti 0t将其代入原方程得 ttt tuatbtac 81217解得 200817222cidtitbaiabcSAdtiidt 2020514至此可将求解微分方程流程图见 p52 图 2-52.4 零输入响应和零状态响应由于时域经典法求解系统完全响应是把响应分成自由响应和强迫响应，为确定完全响应中的常数，往往利用冲激函数匹配法，把给定的 状0态转换成 状态以便求解。另一种分解方法是将总响应分为零输入响应和0零状态响应。我们先考察一个实例例 2-7，如图 2-6 所示 RC 电路，电容两端起始电压 ，激励源为 e(t),0cv要对比“电路分析”的相关讲解，可
14、采用对比的方法。11求 t0 时电容两端电压 。tvcRtitecdtCtvc将上式两端同乘以 得RCtetetdteRCctcRCt 11ttettcRCt 两边求积分 dededRCtcRCt 00 1ttRccRt 0得： dteCet ttRRtcc 01的第一项只和电容两端的起始储能 有关，与输入无关。tvc 0cv被称为零输入响应。第二项与起始储能无关，只与输入有关，称为零状态响应。一般情况下，设系统是线性时不变的，把输出响应分成由激励信号e(t)引起的响应 He(t)，和由系统起始状态 引起的响应0x两者叠加，由此可分别定义零输入响应和零状态响应。0xHH e(t)(0-)r(t
15、)=He(t)+H(0-)零输入响应:没有激励作用,只有起始状态所产生的响应。记为 ，它满trzi足方程120)()()()( 110 trCtdtrdCtrd zinzinzinzin及起始状态 的解。可见它是齐次解的一部分。,.0)(knktzizi keAtr1)(由于没有外界激励作用，因而 即 Azik 可以由)0()(kkr确定。)0(kr零状态响应:起始状态等于零时,由系统的外加激励信号所 产生的响应，记为 。它满足方程)(tzs )()()(1101 teEtdtedEte rCrCr mmmm zsnzsnzsnzsn 及起始状态 其形式为),.0)(nkrk)()(1tBeA
16、trnktzszsk一一 )()()(11 tBeAettnktzsnktziktkk下题讲授时为便于学生接受，可先将 去掉使问题简化t例 给定方程 )(3)(23)( terttr当 ， 求 =？)(tue0,1rtzsi,解: 1.先求 rzi(t)因为零输入响应，故 e(t)=0,原方程兑变为0)(23)(tttzizizi其特征方程为 ， 1=-1 ,2=-213，ttzi eAtr21)( )(0 r)( r,0 )(r -zizi-zizi 代入起始状态得 3420211AArzii )0t(34)( 或tetttzi2再求 ?rs将 代入原方程得)(tue)(3)(23tutrr
17、zszszs 设 )(batzsurzs 0t)()(ttzs代入上方程得： )(3)(2)(300tuttuattubtat 一得: 13ab1b1030 zszs zsrrr当 时， 满足方程0ttzs)(32)(3turrzszszs 设特解 代入上方程得 Btpzs 23B0)(21terttZS代入 得0,zszs 2532111 BB1402352)( tetrttzs注意：为使计算思路清晰，可将求解 与求初始条件 的)(trzs )0(,zszsr顺序对调一下。 一一 一一 231623534)()()(2tt ttttzszieertr对响应的另一种区分是瞬间响应和稳态响应。零
18、状态响应的另一种求法：求 1)(62)(3)( tuttrttrzszszs 的零状态响应。解：由于零状态，故 0)(0又由于解的区间为 ，故当 时，上方程蜕变为tt2)(62)(3urttrzszszs ttheA1)(设 代入方程（2）得Btrp 3)(trp)()( 21ptthetr求 0,r分析： 含有 ， 含有 ， 含有ttrturtu对方程（1）从 积分得一dtdtrrr 0062)0(3)0(一2)(将初始条件代入（3）式： 0342tetrtt15注：直接用 代入方程此方法是不正确的。tButeAtrt 21)(瞬态响应：当 时,响应趋于零的那部分响应分量，稳态响应：保留下来
19、的那部分响应分量。在建立了零输入响应和零状态响应的概念后，进一步说明系统的线性和时不变问题。由下图可知，对外加激励信号 e(t)和它对应的响应的关系而言，若 ,则用常系数线性微分方程描述teHtrzs0ix的系统是线性和时不变的，若起始状态 ，由于响应中零输入分i量的存在，导致系统响应对外激励 e(t)不满足叠加性和均匀性，也不满足时不变性，因而是非线性时变系统，同时由于零输入分量的存在，使响应的变化不可能发生在激励之后，因而系统又是非因果的。H e(t)x(0-)r(t)=He(t)+Hx(0-)然而，若把起始状态等效成系统的激励， 则对零输入响应 而言，tzir也满足叠加性和均匀性。（1）
20、 响应的可分解性：系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。（2） 零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应 对于tszr外加激励信号 呈线性，称为零状态线性。te例 1某 LTI 系统，其初始状态一定，当激励为 时，其全响应为()et；若初始状态不变，激励为 ，0costtetrt 2()et其全响应 ，求初始化状态不变，激励为2时系统的全响应。te3LTIe(t)x(0-)trzszi解： ttrtezszitco2s 要强调系统的线性。16tzi tser2co根据线性不变的性质 trtzszi3r例 2某 LTI 系统，初始状态为 ， 。已知当 ，0x1210x时，其零输入响应为
21、0x t,etr-ttzi 当 ， 时，其零输入响应为1x20t,etr-ttzi 当 ， 时，而输入为 e(t)时，其全响应0112t,etr-t求当 ， 时，输入为 2e(t)时的全响应3x102解：LTI e(t)X1(0-)，X2(0-)trtrtzsxx212当 ， 时，而输入为 e(t)时，其全响应0x10t,etr-ttzsxe221 rtt tttttxxtzseetr2221根据线性时不变系统的性质17trttrt trexzs2132,0,21时 全 响 应输 入 为当（3） 零输入线性：当外加激励为零时，系统的零输入响应 ，对trzi于各起始状态呈线性关系，称为零输入线性
22、。2.5 冲激响应与阶跃响应对于线性时不变系统，冲激响应 h(t)的性质，可以表征系统的因果性和稳定性，h(t) 的变换域表示更是分析时不变系统的重要手段，因而冲激响应 h(t)的分析是系统分析中极为重要的问题。1. 冲激响应 h(t)定义：系统在单位冲激信号 的作用下，产生的零状态t响应。阶跃响应 g(t)定义：系统在单位阶跃信号 u（t）作用下，产生的零状态响应。，若将 e(t)作用下冲激响应为 h(t)的线性时dtet不变系统，则系统的响应。 thetrdthe dtHtr 卷 积 积 分即：零状态响应是激励 e(t)与冲激响应 h(t)的卷积积分一 一一一 tgtuLTIttdhg对于
23、 LTI 系统，它的 h(t)满足下微分方程1tEtEt thCChm1-m0 n1-nnn 及起始状态 ，由于 及其各阶跃导数,0kk )(t在 时都等于零，因而在 时方程（1）的自由项恒等于零，因此t t冲激响应 h(t)与齐次解的形式相同，且在 nm 时，h(t)可以表示为tueAthnkk1作业2-4、2-5、2-6LTI18若 ，则表达式还将含有 及其相应阶的导数mnt等，其中，常数 ，可以通过冲激函tt n2,1KA数匹配法，求出 值，从而求得 各值。0hk例：由例 2-5 求得微分方程表示为，求 h(t)=?tettetititi 4617当 h,e时故 tttettit 0h当
24、 时，方程自由项为 0，上方程蜕化为齐次方程0teAt5t2t1利用冲激函数匹配法求 ，和 ，由于方程右端自由项hdt最高阶导数为 ，所以设tt tubtathtctut代入方程后得： 1cba4107c6ahb01c代入 h(t)得 31A452-A221由分析可知，h(t)含有 a,ttue314th52t19方法 2：根据方程t4t6tt10ht7th可设 ueAB5t2t代入上方程可得 31,41,2具体解法 tue5AtAtBth 2t121 tue5422e1 5tt t4t6tt0ht7th, 一一 t4t6t t10B2A5t7BAB4t6ue3514 t7t2ee121-t-
25、 5t2t11 tue3th52t用此方法必须注意，齐次解后必须带 u(t),否则结果不正确。方法 3：利用 LTI 系统的线性微分性，先求的解 h1(t)t10ht7th1再利用 求出 h(t)46解：由 2ttt111 当 t0 时，上方程为 0h7h1tueAth52t11将 h1(t)代入方程（2）得 tue5A2tt 2t152t tet11当然为易于学生接受，可让上方程自由项为 e(t)te10iti7i=e(t)20tue25A4t5A2tht121 一一一t,ttue10Atue354t7t25e4t-2t- -22-1t11 由对比系数法得： 31-Ay50221tue3th
26、52t1t4ht6t111tue314t t25t tue35ue3452tt 2tt2t 方法 4： 0ht7h111分析：由于方程等号右端含 ,故tu()t,t1含 有含 有 对上方程两端同时由 进行积分得0一0 01 1_0_0_h()7h()h()()tdtdtdt 1 111由于 ，0h0h由于 ， 将初始化条件代入111把我发表的相关学术论文介绍给学生，开阔学生的视野。21中tueAth52t11得： 31A150022115t2t1e3th系统的阶跃响应 g(t)微分方程tyEtyEt tgCgCm1-m0 n1-nnn 及起始状态 ，可以看出方程右端的自由,0kk项含有 及其各
27、阶导数，同时还包含阶跃函数 u(t)，因而阶跃响应中，除t含齐次解形式之外，还应增加特解项。例：求系统 的阶跃响应 teteiti 46107g(t)=?解：当 e(t)=u(t)时，则 i(t)=g(t), g(t)满足的方程为it及gt710gt6t4ut,。当 ，上方程蜕化成0其解的形式为4ttt 一0tBeAg5t2t1设特解为 gp(t)=B,对 代入方程t540B利用冲激函数匹配法求常数 A1， A2 tuatgtbtuctt代入原方程得221cba4107bc6ag代入方程得 15A32152A-2121tue3tg5t2t 当然 g(t)也可由 求得。dhtgt2.6 卷 积卷
28、积的定义：任意两个信号 f1(t)和 f2(t)的卷积定义为12()()()ftftdt设系统的激励信号为 e(t)，冲激响应为 h(t)，则系统的零状态响应为tete)(hh)(r卷积的几何解释：卷积的运算有 5 个步骤。(1) 换自变量：将两信号的时间变量 t 换为 (2) 反折：把其中的一信号反折(3) 移位：将反折后的信号做位移，移位量是 t,t0 时，图形右移；t3 时， 0tft2 21 2 3tt建议学生研究本章的“精品题库” 。t22 t242.7 卷积的性质卷积运算具有某些特殊性质，这些性质在信号与系统分析中有重要作用，利用这些性质可以使卷积运算简化。一、卷积代数1、交换律：
29、tftf12eheyzsh(t) t te(t) 2、分配律： tftftftf 3121321 h(t)e(t)thter21+3、结合律： tftftf 321321 结合律用于系统分析，相当于串联系统的总的冲激响应，系统组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。h1(t) h2(t)）thter21 te 4、卷积的微分与积分 tfdttftfdt 212121 即两函数卷积后的导数，等于其中一函数之导数与另一函数之卷积证明： -tftft 21215、与冲激函数或阶跃函数的卷积。函数 与单位冲激函数 卷积结果仍是 本身。fttftte 25ftftdtft00ft注意与 的区别ftt与 信
30、号相卷积的结果，相当于把函数本身延迟0 0t利用卷积的微分，积分特性不难得到下结论 ftft12tudKfttft00K式中 表示求导或取重积分的次数， 取正整数时表示导数阶次， 取负K整数时为重积分的次数。2.8 用算子符号表示微分方程在连续系统时域分析法中，求解的是一个高阶微分方程或一组联系微分方程，如果把经常出现的微分，积分用下述算子符号表示， dPt1td则 1010nnmn mCrtCrtEettEet （1）可表示为： 1 10 0nn mn mPrtrtrtPetetet 或简化为：1 10 0nn mCCtEEt （2）若令 10nnDpP1mmNE则（2）式可化为： rtNp
31、et26（3）这是高阶微分方程的算子符号表示。二、算子符号的基本规则。算子多项式仅是一种运算符号，代数方程中的运算规则，有,DpN的适用于算子多项式，有的不适用。1.算子多项式可以进行因式分解，但不能进行因子相消。2356PP（左右算子符号不能消去）xy推广到一般情况：算子符号 多项式的等式两端公共因子不能随意消去。2.算子的乘除顺序不可随意颠倒。即 1Px理由是 tdx而 1txtxP三、用算子符号建立微分方程。例：用算子符号法建立右图的微分方程。 et1RF23R14LH解：对电感： LLLditVtPit对电容： 11tCcctiitC其中 ， 是算子符表示的等效电感感抗值和等效电容的容
32、抗值，故上1P电路图用算子符号表示的图为右图，271RCP23R14LPetitLit131042LititeP解得： 227064itPet故微分方程为 “ “1itit t四、传输算子概念。用输入输出法描述系统时，其算子表示式为DprtNet， 为传输算子ttNpHD一些有用的系统特性可以通过对 分析而得出。算子符号表示，提供了简单易行的辅助分析手段，但本质上与经典分析系统相同，形式上又与后面的 Laplace 变换类似。2.9 以“分配函数”的概念认识冲激函数 t1. atbtat2. 0ff3. t4. 1att5. 000fttftt6. 1212287. tt8. ff9. 11ttt10. 中的 是普通函数,若 有 个互不相等的实根ff0ftn则有12,nt 1iiifttf例：化简 2ta有两个实根 ，20t1t2ta21ftat2ftt1taat11. tud12. tt13. 0fftft14. 000ttft15. 1att16. KKtt若 ，则有 1a1Ktt17. ftf29
