1、1第六章概率论基础本章“概率论基础” 和下一章“常用概率分布” 是推断统计学的基础。在经济与管理中，需要分析总体数据的变化规律（数字特征、分布规律等） ，通常从总体中抽取一个样本，根据样本所具有的信息来推断总体。如：从一批产品中抽取 100 件产品，发现有 2 件次品，此时样本的次品率为 2。那么，一方面，估计这批产品的次品率大约为 2；另一方面，由于抽样的随机性，又不能断定这批产品的次品率一定为 2。实际中，经常会遇到各种随机现象，即人们不可能预先确定其结果的现象，但随机现象却隐含着一定的规律性。如：掷一枚硬币，不可能预知“正面”向上还是“反面”向上，但当掷很多次时，我们可以预知， “正面”
2、 向上的次数占总次数的大约 1/2。这便是随机现象的规律性，即概率。只有把握住随机现象的规律性，才能很好地由样本来推断总体，为管理决策提供科学依据。概率论即是从数量上研究随机现象规律性的一门科学。一、随机事件简单地讲，随机事件是在一次观察中可能出现也可能不出现的事件。如：从一批产品抽取一件产品，可能是正品，也可能是次品。1、随机试验2对随机现象的考察称为随机试验，须满足如下条件：1) 试验可以在相同的条件下重复进行；2) 试验的所有可能结果不止一个，每次试验只出现一种结果（如：掷硬币，产品检验，掷骰子等） ；3) 在每一次试验之前，不能肯定会出现什么结果。随机试验与物理实验的区别是，随机试验“
3、在同样条件下可能得到不同的结果”，这是社会经济现象的突出特点。2、随机事件基本事件（样本点）：随机试验每一个可能的结果，用 表示；基本事件集（样本空间）：基本事件的全体所构成的集合，用 表示；随机事件： 中的任何一个子集，用 表示；CBA,必然事件： ；不可能事件： （ 为 的特殊子集） 。例：随机试验：10 件产品中有 2 件次品，现从中任取 4 件。10件 次 品：件 次 品 ；： 全 为 正 品 ； 20事件： 品 ；件 产 品 至 少 含 有 一 件 次表 示 所 取 421A件 产 品 不 含 次 品 。表 示0B假定试验结果为 ，不 发 生 。， 则 称发 生 ； 若， 则 称若
4、AA3、随机事件的关系与运算3符号 集合论 概率论 图示空间 必然事件空集 不可能事件元素 基本事件AA的 子 集事件 AB包 含事件 发生必然导致事件发生BA集合 与 相等AB事件 与 等价AB 的 并 集与 至 少 其 一 发 生与事 件A的 交 集与 同 时 发 生与事 件 B集合 的余集A不 发 生的 对 立 事 件事 件 ABA集合 与 之差B不 发 生发 生 而 事 件事 件 B没 有 公 共 元 素与 互 不 相 容与事 件 A不 同 时 发 生， B在上述基本关系的基础上，可以导出一些更加复杂的关系和运算。注：集合论中有关集合的运算性质（如：交换律、结合律、分配律、对偶原则等）
5、 ，全部适用于事件运算。二、概率及其性质研究随机现象的变化规律性，即要研究某些事件发生可能性的大小，这便A BA BA BAA BA B4是概率。概率：随机事件发生可能性大小的度量，用 表示。AP1、公理化性质 （非负性）10AP （规范性） 若 是互不相容的随机事件，则： nA,21（可加性）nAPPP 212、概率性质 即 可 得由 0P 若 构成完备事件组（即： 互不相容；且nA,21 nA,21） ， 则有：A121 nPP（由 即可得）1A （由 即可得）A 若 ，则： （由 即可得）BPBPAB 若 ，则： A （由 即可得）AP当 BPPB时 ， 则三、几种常见的概率模型51、古
6、典概率模型 若 中的基本事件的个数为有限个 ，且每一个基本事件发生的可能性相N等。则： NKAAP 基 本 事 件 总 数的 有 利 事 件 数中 基 本 事 件 个 数中 包 含 的 基 本 事 件 个 数例 1. 从 54 张纸牌中抽取 1 张，问是红桃的概率？解： 24.05314C例 2. 有一批产品共 100 件，其中 5 件次品，从中任取 50 件，求其中包含一件以上次品的概率？解： 5432154321 APAPAPAP 50149501695017950148950149 CCC 21509AP2、统计概率模型（经验概率，Objective）设 为一事件，在 次重复试验中，若事
7、件 发生了 次，则事件 发生AnAmA的频率为：（随试验次数而变化）nmf事件 发生的概率为：AnAfPnlili例：历史上曾有几位学者作掷硬币的试验，发现当试验次数很大时，正面6出现的频率接近于 。21次数 正面 频率Morgan 2048 1061 0.518Buffon 4000 2048 0.5069Pearson 12000 6019 0.5016Pearson 24000 12012 0.5005因此， 。21AP3、主观概率（Subjective）个人根据自己的经验判断，对某一事件指定一概率。如，一个球队胜负的概率，每个人给出的概率不一样。四、条件概率及事件的独立性1、条件概率如
8、果一个事件 发生的概率与另一个事件 是否发生有联系，则称 和ABA是相关联的。在事件 与 相关联的情况下，讨论在已知事件 已经发生的BBB条件下 发生的概率，称为条件概率，用 表示。AP条件概率： BAP即：事件 已经发生的情况下，事件 同时发生的概率。B乘法公式： APAP例：有 100 件产品，其中 10 件次品，从中任取一件不放回，问：已知第一次取到次品，第二次取到正品的概率？第一次取到次品而第二次取到正品7的概率？解： 109ABP 09.19P2、事件的独立性两个事件 和 ，其中一个事件发生与否对另一事件发生的概率不产生任AB何影响，则 与 相互独立。此时： BPAP,AB注 1.
9、如果 与 独立，则 与 ， 与 ， 与 亦相互独立。A注 2. 事件 相互独立的充分必要条件是：n,21( )iAP iPP21 ni,2,1如：前例中，若第一次抽取产品后放回，求第一次抽取次品第二次抽取正品的概率。 109BPA注 3互不相容（Mutually Exclusive）与独立性（Independent ）是有区别的，两个非零概率的事件不可能同时互不相容又相互独立。由 知，两个互不相容的事件一定相关联。BPA五、全概率公式与 Bayes 公式全概率公式与 Bayes 公式是利用 “先验概率” 与“已知信息”来求“事后概率”。设 构成完备事件组，则：nA,218（全概率公式） ni
10、ni iiiin APBAPBBP111（Bayes 公式）ni iijjjj APBA1例：一批计算机元件需要检验，以往的经验知：产品的合格率为 90，且检验时将合格品鉴定为合格品的概率为 0.999，将不合格品鉴定为合格品的概率为 0.005。求： （1） 元件合格而被鉴定为不合格的概率？（2） 任取一元件被鉴定为合格的概率？（3） 若一元件被鉴定为合格，它真是合格品的概率？（4） 若一元件被鉴定为不合格，它真是不合格品的概率？事实上它是合格品的概率？解：设： 表示一件产品合格，D表示一件产品不合格，表示一元件经检验合格，A表示一元件经检验不合格。则： （完备事件组，先验概率）1.0,9.
11、0DP（已知信息）5AA(1) 1DP(2) 896.015.90DP(3) 4.96.0A9(4) 91.086.150APD9.1注：实际中，对某种疾病的检查、对血液的抽样检验等，都需要利用“先验概率” 与 “已知信息 ”来求“事后概率 ”。案例 61 美国汉密尔顿县的法官们每年审判成千上万的案件。绝大多数被处理的案件，其判决都不会再改动。但是也有一些上诉的案件，并且这些上诉的案件中，有一些判决确实被推翻。 辛辛那提调查 （The Cincinnati Enquirer）的 Kristen DelGuzzi 对汉密尔顿县的法官们在 19941996 年中处理的案件进行了研究（The Cin
12、cinnati Enquirer, 1998.1.11） 。在下表中显示了由中级诉讼庭、民事庭、地方庭的 38 名法官处理过的 182 908 件案件的结果。有两名法官（Dinkelacker 和 Hogan）在 3 年之中从未在同一法庭共事。该报的研究目的在于评估法官们的表现。上诉主要是由法官的错误引起的，而该报纸从中可以知道哪些法官工作表现更好，或者哪些法官常犯错误。要求你帮助分析数据，利用你有关概率和条件概率的知识来对法官们进行评定。同时你还要分析在不同的法庭处理的案件被上诉和推翻原判的可能性。下表是汉密尔顿县的法庭 19941996 年间处理的所有案件以及上诉和被推翻原判的情况。中 级
13、 诉 讼 庭法 官 处理案件总数 上诉案件总数 推翻原判案件数目Fred Cartolano 3037 137 12Thomas Crush 3372 119 1010Patrick Dinkelacker 1258 44 8Tinothy Hogan 1954 60 7Robert Kraft 3138 127 7William Mathews 2264 91 18William Morrissey 3032 121 22Norbert Nadel 2959 131 20Arthur Ney,Jr. 3219 125 14Richard Niehaus 3353 137 16Thomas N
14、urre 3000 121 6Jonh OConnor 2969 129 12Robert Ruehlman 3205 145 18J.Howard Sundermann955 60 10Ann Marie Tracey 3141 127 13Ralph Winkler 3089 88 6合 计 43 945 1762 199民 事 庭法 官 处理案件总数 上诉案件总数 推翻原判案件数目Penelope Cunningham 2729 7 1Patrick Dinkelacker 6001 19 4Deborah Gaines 8799 48 9Ronald Panioto 12970 32
15、3合 计 30499 106 17地 方 庭法官 处理案件总数 上诉案件总数 推翻原判案件数目Mike Allen 6149 43 4Nadine Allen 7812 34 6Timothy Black 7954 41 6David Davis 7736 43 5Leslie Isaiah Gaines 5282 35 13Karla Grady 5253 6 0Deidra Hair 2532 5 0Dennis Helmick 7900 29 5Timothy Hogan 2308 13 2James Patrick Kenney 2798 6 111Joseph Luebbers 46
16、98 25 8William Mallory 8277 38 9Melba Marsh 8219 34 7Beth Mattingly 2971 13 1Albert Mestemaker 4975 28 9Mark Painter 2239 7 3Jack Rosen 7790 41 13Mark Schweiker 5403 33 6David Stockdate 5371 22 4John A.West 2797 4 2合 计 108464 500 104管理报告:准备对法官们进行评定的报告。并且要包含有关在三个法庭中上诉和推翻原判的可能性分析。你的报告至少应包括以下内容：1. 在三个不
17、同法庭中案件被上诉和推翻原判的概率。2. 各个法官所处理的案件被上诉的概率。3. 各个法官所处理的案件被推翻原判的概率。4. 对于一名法官，给定其处理的案件被上诉的条件下，推翻原判的概率。5. 对每一法庭的法官们进行评定。阐述你用来作为评定依据的标准。管 理 报 告1. 三个不同法庭中案件被上诉和推翻原判的概率 法 庭 中级诉讼庭 民事庭 地方庭被上诉的概率（） 4.0 0.4 0.5推翻原判的概率（）0.5 0.06 0.10122. 各个法官所处理的案件被上诉的概率中 级 诉 讼 庭法 官 处理案件总数 上诉案件总数 被上诉的概率（% ）Fred Cartolano 3037 137 4.
18、51Thomas Crush 3372 119 3.53Patrick Dinkelacker 1258 44 3.50Tinothy Hogan 1954 60 3.07Robert Kraft 3138 127 4.05William Mathews 2264 91 4.02William Morrissey 3032 121 4.00Norbert Nadel 2959 131 4.43Arthur Ney,Jr. 3219 125 3.88Richard Niehaus 3353 137 4.09Thomas Nurre 3000 121 4.03Jonh OConnor 2969 1
19、29 4.34Robert Ruehlman 3205 145 4.52J.Howard Sundermann 955 60 6.28Ann Marie Tracey 3141 127 4.04Ralph Winkler 3089 88 2.85民 事 庭法 官 处理案件总数 上诉案件总数 被上诉的概率（ %）Penelope Cunningham 2729 7 0.26Patrick Dinkelacker 6001 19 0.32Deborah Gaines 8799 48 0.55Ronald Panioto 12970 32 0.25地 方 庭法 官 处理案件总数 上诉案件总数 被上诉
20、的概率13（% ）Mike Allen 6149 43 0.70Nadine Allen 7812 34 0.44Timothy Black 7954 41 0.52David Davis 7736 43 0.56Leslie Isaiah Gaines 5282 35 0.66Karla Grady 5253 6 0.11Deidra Hair 2532 5 0.20Dennis Helmick 7900 29 0.37Timothy Hogan 2308 13 0.56James Patrick Kenney 2798 6 0.21Joseph Luebbers 4698 25 0.53W
21、illiam Mallory 8277 38 0.46Melba Marsh 8219 34 0.41Beth Mattingly 2971 13 0.44Albert Mestemaker 4975 28 0.56Mark Painter 2239 7 0.31Jack Rosen 7790 41 0.53Mark Schweiker 5403 33 0.61David Stockdate 5371 22 0.41John A.West 2797 4 0.143. 各个法官所处理的案件被推翻原判的概率中 级 诉 讼 庭法官 处理案件总数 推翻原判案件数目 推翻原判的概率（）Fred Cart
22、olano 3037 12 0.40Thomas Crush 3372 10 0.30Patrick Dinkelacker 1258 8 0.64Tinothy Hogan 1954 7 0.36Robert Kraft 3138 7 0.22William Mathews 2264 18 0.80William Morrissey 3032 22 0.73Norbert Nadel 2959 20 0.68Arthur Ney,Jr. 3219 14 0.43Richard Niehaus 3353 16 0.48Thomas Nurre 3000 6 0.214Jonh OConnor
23、2969 12 0.40Robert Ruehlman 3205 18 0.56J.Howard Sundermann 955 10 1.05Ann Marie Tracey 3141 13 0.41Ralph Winkler 3089 6 0.19民 事 庭法 官 处理案件总数 推翻原判案件数目 推翻原判的概率（）Penelope Cunningham 2729 1 0.04Patrick Dinkelacker 6001 4 0.07Deborah Gaines 8799 9 0.10Ronald Panioto 12970 3 0.02地 方 庭法 官 处理案件总数 推翻原判案件数目 推
24、翻原判的概率（）Mike Allen 6149 4 0.07Nadine Allen 7812 6 0.08Timothy Black 7954 6 0.08David Davis 7736 5 0.06Leslie Isaiah Gaines 5282 13 0.25Karla Grady 5253 0 0Deidra Hair 2532 0 0Dennis Helmick 7900 5 0.06Timothy Hogan 2308 2 0.09James Patrick Kenney 2798 1 0.04Joseph Luebbers 4698 8 0.17William Mallory
25、 8277 9 0.11Melba Marsh 8219 7 0.09Beth Mattingly 2971 1 0.03Albert Mestemaker 4975 9 0.18Mark Painter 2239 3 0.13Jack Rosen 7790 13 0.17Mark Schweiker 5403 6 0.11David Stockdate 5371 4 0.07John A.West 2797 2 0.07154. 对于一名法官，给定其处理的案件被上诉的条件下，推翻原判的概率。设事件 A案件被推翻原判，事件 B案件被上诉，则 P(A/B)案件被上诉条件下推翻原判的概率。由条件概
26、率公式：P(A/B)P（A B）/P（B ）则对于一名法官，给定其处理的案件被上诉的条件下，推翻原判的概率分别为：中级诉讼庭法官 上诉案件总数 推翻原判案件数目案件被上诉的条件下推翻原判的概率(%)Fred Cartolano 137 12 8.76Thomas Crush 119 10 8.40Patrick Dinkelacker 44 8 18.18Tinothy Hogan 60 7 11.67Robert Kraft 127 7 5.51William Mathews 91 18 19.78William Morrissey 121 22 18.18Norbert Nadel 131
27、 20 15.27Arthur Ney,Jr. 125 14 11.2Richard Niehaus 137 16 11.68Thomas Nurre 121 6 4.96Jonh OConnor 129 12 9.30Robert Ruehlman 145 18 12.41J.Howard Sundermann 60 10 16.67Ann Marie Tracey 127 13 10.24Ralph Winkler 88 6 6.82民 事 庭法官 上诉案件总数 推翻原判案件数目案件被上诉的条件下推翻原判的概率 (%)Penelope Cunningham 7 1 14.29Patrick
28、 Dinkelacker 19 4 21.0516Deborah Gaines 48 9 18.75Ronald Panioto 32 3 9.38地 方 庭法官 上诉案件总数 推翻原判案件数目案件被上诉的条件下推翻原判的概率(%)Mike Allen 43 4 9.30Nadine Allen 34 6 17.65Timothy Black 41 6 14.63David Davis 43 5 11.63Leslie Isaiah Gaines 35 13 37.14Karla Grady 6 0 0Deidra Hair 5 0 0Dennis Helmick 29 5 17.24Timo
29、thy Hogan 13 2 8James Patrick Kenney 6 1 16.67Joseph Luebbers 25 8 32William Mallory 38 9 23.68Melba Marsh 34 7 20.59Beth Mattingly 13 1 7.69Albert Mestemaker 28 9 32.14Mark Painter 7 3 42.86Jack Rosen 41 13 31.71Mark Schweiker 33 6 18.18David Stockdate 22 4 18.18John A.West 4 2 505. 对每一法庭的法官们进行评定，阐
30、述你用来作为评定依据的标准。基本上可以用由每位法官执行的案件在被上诉的条件下被推翻原判的概率来评定一个法官。如果这个值比较高，则说明这个法官的执法相对差一些；如果这个值比较低，则说明这个法官的执法相对公正。在对各个法庭进行评定之前，计算各法庭的几项指标如下：17评定：（1）中级诉讼庭被上诉和被推翻原判的案件比例较高，而地方庭、民事庭的比例则较低；（2）案件被上诉的条件下推翻原判的（平均）概率是：地方庭民事庭中级诉讼庭，这是和被上诉的案件多少直接相关的；（3）总体说来，执法水平：民事庭好于地方庭，地方庭好于中级诉讼庭。法 庭 中级诉讼庭 民事庭 地方庭被上诉的概率（ %） 4.0 0.4 0.5推翻原判的概率（% ） 0.5 0.06 0.1案件被上诉的条件下推翻原判的概率（% ） 11.29 16.04 20.8法官们在案件被上诉的条件下推翻原判的平均概率（ %）11.81 15.87 20.83
