1、114-3 矩阵分解21.满秩分解2.LU分解3.QR分解4.Schur分解5.奇异值分解31. 满秩分解设矩阵ARmn，且rankA=r(rm,rn)，则存在矩阵分解：A=FG，其中FRmr，且rankF=r(列满秩)，GRrn，且rankG=r(行满秩). 称为满秩分解.4满秩分解反映出关于矩阵A的秩的信息.应用：当r远小于m和n时，利用满秩分解可以去除掉A中的冗余信息，节省存储量和运算量.52. LU分解设矩阵ARnn，如果存在单位上三角矩阵L，下三角矩阵U，使得A=LU，则称之为A的LU分解.如果存在单位上三角矩阵L，单位下三角矩阵U，对角矩阵D，使得A=LDU，则称之为LDU分解.6
2、定理1：矩阵A的LDU分解存在唯一(或LU分解存在)的充要条件是A的顺序主子式Dk0.LU分解的实现过程实际上就是Gauss消去法.应用：求解线性方程组Ax=b.27对称正定矩阵的Cholesky分解A=LLT其中L为下三角矩阵.83. QR分解设矩阵ARnn，且非奇异，则存在正交矩阵Q，非奇异上三角矩阵R，使得A=QR，称之为QR分解(QR decomposition)，且此时分解唯一.设矩阵ARmn(mn)，且列满秩，则存在正交矩阵QRmm，上三角矩阵RRmn，使得A=QR.9而且此时Q=Q1Q2，R=R1;0，其中Q1Rmn满足Q1TQ1=In，R1Rnn是非奇异上三角矩阵.这样分解式为
3、A=Q1R1，称为compact QR decomp.QR分解的实现方式：GS/MGS，Givens变换，Householder变换.10当A不是非奇异或列满秩时，情况会怎样？114. Schur标准型定理2（Schur分解）设A是n阶复矩阵，则存在酉矩阵U使得,UAU T=其中T是上三角矩阵，其对角元就是A的特征值.而且适当选取U，可使T的对角元素按任意指定的顺序排列.复矩阵A称为正规(normal)矩阵，若A*A=AA*.12推论1：(1) A是正规矩阵的充要条件是存在酉矩阵U使得U*AU是对角矩阵.(2) A是Hermite(对称)矩阵的充要条件是存在酉(正交)矩阵U使得U*AU是实对角
4、矩阵.313定理3（实Schur分解）：设A是n阶实矩阵，则存在正交矩阵Q使得T,UAU T=其中T是拟上三角(quasi upper triangular)矩阵，即T是分块上三角矩阵，对角块是11或22的块，其中11的块对应A的实特征值，22的块对应A的共轭成对的复特征值.而且适当选取Q，可使T的对角块按任意指定的顺序排列.(实)Schur分解是数值计算特征值的理论基础.144. 奇异值分解(SVD)定理4：设A是mn的复矩阵，秩为r，则存在两个酉矩阵UCmm，VCnn，使得0,00rUAV =其中r=diag(s1,sr)，s1s2sr.15定理中的分解式称为A的奇异值分解(Singular Value Decomposition).si称为A的奇异值(singular value).V的第i列称为属于si的右单位奇异向量.U的第i列称为属于si的左单位奇异向量.16推论2：设A是mn的复矩阵，秩为r，则(1) A的非零奇异值的个数等于A的秩r；(2) vr+1,vn构成N(A)的标准正交基；(3) u1,ur构成R(A)的标准正交基；17(4) 记U=U1U2，V=V1V2，其中U1Cmr，V1Cnr则有111,rriiiAU V uv=称为A的满秩奇异值分解.SVD有着广泛的应用，如Google.TT() ( ), ( ) ().nmRNARA RNA RA= =
