1、4.2 渐 开 线 齿 轮一、渐开线的形成及其特性1、 渐开线齿廓的形成直线 BK 沿 半径为 rb 的圆作纯滚动时，直线上任一点 K 的轨迹称为该圆的渐开线。该圆称为渐开线的基圆。 rb - 基圆半径； BK - 渐开线发生线； - 渐开线上 K 点的展角。 A 为渐开线的起始点，K 为渐开线上任一点，其向径用 rk 表示。 渐开线齿轮的齿廓曲线是渐开线。2、渐开线的特性1）发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的圆弧长度。由于发生线 BK 在基圆上作纯滚动，故2）渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。发生线 BK 沿 基圆作纯滚动，它与基圆的切点 B 即为其速度瞬心，所以发生线 BK 即 为
2、渐开线在 K 点的法线。又由于发生线恒切于基圆，故渐开线上任一点的法线恒与基圆相切。3）渐开线上离基圆愈远的部分，其曲率半径愈大，渐开线愈平直。 发生线 BK 与基圆的切点 B 是渐开线在点 K 的曲率中心，而线段 KB 是相应的曲率半径，故渐开线上离基圆愈远的部分，其曲率半径愈大，渐开线愈平直；渐开线初始点 A 处 的曲率半径为零。 4）基圆内无渐开线。5）渐开线的形状取决于基圆的大小 。 基圆愈小，渐开线愈弯曲；基圆愈大，渐开线愈平直。当基圆半径为无穷大时，其渐开线将成为一条直线。二、渐开线齿廓的啮合特点一对齿轮传动，是依靠主动轮的齿廓依次推动从动轮的齿廓来实现的。因此，要能实现预定的传动
3、比，一个齿轮最关键的部位是轮齿的齿廓曲线。 图示为一对分别属于齿轮 1 和齿轮 2 的两条齿廓曲线 G1、G 2 在点 K 啮合接触的情况。齿廓曲线G1 绕 O1 点转动,G 2 绕 O2 转动。过 K 点所作的两齿廓的公法线 nn 与连心线 O1O2 相交于点 C。由三心定理知，点 C 是两齿廓的相对速度瞬心,齿廓曲线 G1 和齿廓曲线 G2 在该点有相同的速度： 由此可得 我们称点 C 为两齿廓的啮合节点，简称节点。 齿廓啮合基本定律： 两齿廓在任一位置啮合接触时，过接触点所作的两齿廓的公法线必通过节点 C，它们的传动比等于连心线 O1O2 被节点 C 所分成的两条线段的反比。 如果要求两
4、齿廓作定传动比传动，即要求 为常数，则由式（5.1）可知，其齿廓曲线需满足的条件是：节点 C 为连心线上的一个定点。当两齿轮作定传动比传动时，节点 C 在齿轮 1 运动平面上的轨迹是以 O1 为圆心、以 O1C （ ）为半径的圆；节点 C 在齿轮2 运动平面上的运动轨迹是以 O2 为圆心、以 O2C ( )为半径的圆。由于啮合传动的两齿廓在节点 C 有相同的速度 ，所以两个圆在传动过程中作无滑动的纯滚动，我们把这两个圆称为节圆。 即一对齿轮啮合传动的传动比，等于两齿轮节圆半径的反比。如果要求两齿廓作变传动比传动，则节点 C 不是一个定点，而是按相应的规律在连心线上移动。因而，节点 C 在轮 1
5、 和轮 2 上的轨迹就不是圆，而是非圆曲线。这样的齿轮就是非圆齿轮。 凡是满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓叫共轭齿廓。共轭齿廓的曲线叫共轭曲线。在给定工作要求的传动比的情况下，只要给出一条齿廓曲线，就可以根据齿廓啮合基本定律求出与其共轭的另一条齿廓曲线。因此，理论上满足一定传动比规律的共轭曲线有很多。但在生产实践中，选择齿廓曲线时，还必须综合考虑设计、制造、安装、使用等方面的因素。目前常用的齿廓曲线有渐开线、摆线、变态摆线、圆弧曲线、抛物线等。其中以渐开线作为齿廓曲线的齿轮（称为渐开线齿轮）应用最为广泛。三、渐开线标准直齿圆柱齿轮 、外齿轮 1、齿轮各部分的名称图中所示为外齿轮的一部分，齿轮上每
6、个凸起部分称为齿，齿轮的齿数用 z 表示。 分度圆：人为选定的设计齿轮的基准圆。半径用 r、直径用 d 表示 。齿顶圆：过所有轮齿顶端的圆。半径 用 ra、直径用 da 表示。 齿顶高：分度圆与齿顶圆之间的径向距离。用 ha 表示。 齿根圆：过所有齿槽底部的圆。半径 用 rf 、直径用 df 表示。齿根高：分度圆与齿根圆之间的径向距离。用 hf 表示。 全齿高：齿顶圆与齿根圆之间的径向距离。用 h 表示。 基圆：产生渐开线的圆。半径用 rb、直径用 db 表示。齿厚：每个轮齿上的圆周弧长。 在半径为 rk 的圆上度量的弧长称为该半径上的齿厚，用 sk 表示；在分度圆上度量的弧长称为分度圆齿厚，
7、用 s 表示。 齿槽宽：两个轮齿间齿槽上的圆周弧长。在半径为 rk 的圆周上度量的弧长称为该半径上的齿槽宽，用 ek 表示。在分度圆上度量的弧长称为分度圆 齿槽宽，用 e 表示。 齿距：相邻两个轮齿同侧齿廊之间的圆周弧长。在半径为 r k 的圆周上度量的弧长称为该半径的齿距，用 pk 表示；显然 。 在分度圆上度量的弧长称为分度圆齿距，用 p 表示， 。 在基圆上度量的弧长称为基圆齿距，用 pb 表示， 。 法向齿距：相邻两个轮齿同侧齿廊之间在法线方向上的距离。用 pn 表示。由渐开线性质可知： 2、基本参数 1） 齿数 Z 2）分度圆模数 ： 分度圆周长 ，因而分度圆直径 d 为:从这个式子
8、可见，由于 是无理数，所以不论 p 取任何有理数，都会使计算出的分度圆和以它为基准的其它圆的直径为无理数，这会给齿轮的设计、制造和测量带来诸多不便，为此，人为地将 的比值取为有理数，用 m 表示， 我们将 m 称为分度圆模数，简称为模数，单位是 mm。3）分度圆压力角 分度圆确定后，就要确定用作齿廓曲线的渐开线的形状。渐开线的形状是由基圆决定的，由 可知，已知分度圆半径后,只要选定一个分度圆压力角 ，就可以求出基圆半径: 4）齿顶高系数：齿顶高 ha 用齿顶高系数 ha*与模数的乘积表示： 5）顶隙系数：齿根高 hf 用齿顶高系数 ha*与顶隙系数 c*之和乘以模数表示：在这五个参数中，模数
9、m、压力角 、h a*、c *都已标准化，设计齿轮时，一般按国家标准选取。 1）模数 m 的标准值 标准模数（GB1357-87) 0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 11.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 12第一系列16 20 25 32 40 50 0.35 0.7 0.9 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5 (3.75) 4.5 5.5第二系列(6.5) 7 9 (11) 14 18 22 28 (30) 36 45说明：1.本表适用于渐开线圆柱齿轮。对斜齿轮是指法面模数。2.选用模数时，应优先选用第一
10、系列，其次是第二系列，括号内的模数尽可能不用。 2）压力角 标准值: 我国规定标准值一般为 20。某些行业也采用 14.5，15，22.5，25 。 从理论上讲，压力角越小对传动越有利，如果压力角太小，会造成齿根变瘦，轮齿的承载能力小；如果压力角太大，齿根变厚、齿顶变尖，传动费力。因而，我国标准规定分度圆压力角的取值为 20，在强度和传动效果方面都能够兼顾。为减少标准刀具的数量，降低加工成本。一个齿轮不同圆上的齿距不相同，因而模数也不相同；不同圆上压力角也不相同，只有分度圆上的模数和压力角为标准值。通常所说的齿轮的模数和压力角，是特指分度圆上的模数和压力角。 3） 齿顶高系数与顶隙系数的标准值
11、 正常齿制 当 m1mm 时,h a*1, c *0.25 当 m1mm 时 ,ha*1, c *0.35 短齿制 h a* 0.8, c*0.3 分度圆齿轮中具有标准模数和标准压力角的圆； 标准齿轮除 m、 、h a*、c * 四个基本参数为标准值外，还有两个特征： 1、分度圆齿厚与槽宽相等，即 2、具有标准齿顶高和齿根高，即 , 不具备上述特征的齿轮是非标准齿轮。 3、渐开线标准直齿轮几何尺寸计算公式 4、任意圆上的齿厚 一个齿轮不同圆上的齿厚是不一样的，下面推导任意圆齿厚的公式，由图可知： 据上式可得齿顶圆齿厚: 式中 为齿顶圆压力角 节圆齿厚: ， 其中 为节圆半径, 为节圆压力角 基
12、圆齿厚: 、内齿轮内齿轮与外齿轮的不同点： 1）齿顶圆小于分度圆,齿根圆大于分度圆。 2）齿廓是内凹的,其齿厚和槽宽分别对应于外齿轮的槽宽和齿厚。 3）齿顶圆必须大于基圆，以使内齿轮齿顶的 齿廓曲线全部为渐开线。 、齿条当外齿轮的齿数增加到无穷多时,齿轮上的基圆和其它圆都变成了互相平行的直线，同侧渐开线齿廓变成了互相平行的斜直线齿廓，于是，齿轮变为齿条。标准齿条具有以下特点： 1）齿廓不同高度上的压力角均相等，且等于齿廓的倾斜角，此角称为齿形角，标准值为 20。 2）齿廓在不同高度上的齿距均相等，即 。3）齿廓不同高度线上的齿厚和槽宽各不相同，其中只有一条高度线上的齿厚等于槽宽，即： 这条线称为齿条中线（它相当于标准齿轮的分度圆）。
