1、正弦定理和余弦定理典型例题透析类型一：正弦定理的应用：例 1已知在 中， ， ， ，解三角形.ABC10c45A30C思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图） ，可以确定先用正弦定理求出边 ，然后用三角形a内角和求出角 ，最后用正弦定理求出边 .b解析： ， sinia ，10sin45102i3cAC ，8()B又 ，sinibc 10sin56220si752i34C总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式 1】在 中，已知 ， ， ，解
2、三角形。ABC032.081.B42.9acm【答案】根据三角形内角和定理， ；()A00(381.)06.2根据正弦定理， ；0sin4.9si32abc根据正弦定理， 0.6.74.1()isiCcmA【变式 2】在 中，已知 ， ， ，求 、 .B505caA【答案】 ，0018()8(6)根据正弦定理 ， .sin45i6ooa3a【变式 3】在 中，已知 ，求ABCsn:is1:2ABC:abc【答案】根据正弦定理 ，得 .ibcsin:si1:23ABC例 2在 ，求： 和 ， 3,60,中 ，思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图） ，可以确定先用正弦定理求出角 ，然后用
3、三角形内角和求出角 ，最后用正弦定理求出边 .Aa解析：由正弦定理得： ，sinibcBC ，si160in23cC（方法一） ， 或 ，083150当 时， ， （舍去） ；1510B当 时， ， 3C9A2abc（方法二） ， ， ， bc6CB 即 为锐角， ，60 309A 2ac总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2. 在利用正弦定理求角 时，因为 ，所以要依据题意准确确定角 的范围，C0sini(18)CC再求出角 .C3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.举一反三：【变式 1】在 中， ， ， ，求 和 AB6c2a45Ab,
4、B【答案】 ， ，siniaCsin6si3i2c ， 或0186012当 时， ， ；6C75Bsin6si75310cBb当 时， ， ；1201iisC所以， 或 3,75,60bB31,5,120bBC【变式 2】在 中 , , , 求 和 ；AC2a24Ac【答案】 ， 1sin45ioBsin ， 或018B3015B当 时， ， ；35C)(c当 时， （舍去） 。598A【变式 3】在 中， ， , , 求 .B6014a76bA【答案】由正弦定理，得 .20sinsiinB , ，即 abA06 45类型二：余弦定理的应用：例 3已知 中， 、 、 ，求 中的最大角。BC37
5、BC4ABC思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：三边中 最大， 其所对角 最大，7根据余弦定理： ，222234(7)1cosABC ， 01810故 中的最大角是 .ABC2总结升华： 1. 中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式 1】已知 中 , , , 求角 .ABC3a5b7cC【答案】根据余弦定理： ，22231cos5 ， 01810【变式 2】在 中，角 所对的三边长分别为 ，若 ，求ABC, ,abc:6:231（ ）的各角的大小AB【答案】设 ， ， ，6
6、ak2b31ck0根据余弦定理得： ，26314cosB ， ；01845同理可得 ；6A 7CB【变式 3】在 中，若 ，求角 .22abcA【答案】 ， 22bc21osabc ， 018A10A类型三：正、余弦定理的综合应用例 4在 中，已知 ， ， ，求 及 .BC23a62c045BbA思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边 ，然后继续用余弦定理或正弦定理求角 .A解析：由余弦定理得： 22cosbaB= 2 0(3)6)3(62)cos45=1241)=8 .b求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：A（法一：余弦定理） ，22222()6)(31cos
7、bac 06.A（法二：正弦定理） 023sinisin452aBb又 ，6.1.81.836 ，即 ac0A09, 6.A总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：【变式 1】在 中，已知 , , .求 和 .BC3b4c0135ABC【答案】由余弦定理得： ，21os22 a 8.615a由正弦定理得： ，sin3i15i 0.327obABa因为 为钝角，则 为锐角， .0135A/9B .0/8()253C【变式 2】在 中，已知角 所对的三边长分别为 ，若 ， ，B,AC,abc2b，求角 和62csin【答案】根据余弦定理可得： 22843cos 26bcaA ， ；010A由正弦定理得： .2sin3062sini 4cCa
