1、阶梯型标数法1.加菲和宗峰一起洗 5 个大小互不相同的盘子。加菲洗好的盘子从大到小一个一个往上摞，宗峰再从最上面一个一个的拿走放进橱柜里。加菲一边洗，宗峰一边拿，那么宗峰摞好的盘子一共有多少种不同的摆法？每横着走一步，表示加菲洗完了一个盘子；每竖着走一格，表示宗峰拿走了一个洗好的盘子。无论任何时候，宗峰拿走的盘子都不可能比加菲已经洗好的盘子多，所以整个图是一个斜三角。这种标数法叫阶梯型，也叫斜三角标数法。每一种最终到达右上角的走法都对应着一种盘子的摆放顺序，所以只需要给每一步标上数字即可。注意阶梯型标数法标数要标在节点上。另外要注意的就是每一步只能向右或向上走，所以每个节点的数值都是下面和左边
2、两个节点的数值之和。全部标好数字之后，就容易看出，一共有 42 种摆放方法。阶梯型标数法是一种非常非常非常有用的解决计数问题的方法，可以把很多复杂的题目轻松秒掉。强烈建议大家掌握哦2.把 10、 16 和其他四个不同的自然数填进 6 个空格里，要求这 6 个自然数从左到右按顺序构成一个等差数列，那么一共有多少种不同的填法？解：如果包含 10 和 16 的数字构成了等差数列，那么 10 和 16 的差一定是公差的倍数。由于公差能整除 6，所以公差只能是 1、2、3 、6. 其中公差等于 1 的情况是不可能在只有 6 个数的时候出现的，只要看后三者即可。以公差为 2 举例，此时 10 和 16 之
3、间有 12 和 14，另外还要再填两个数。可以来看 10 在这 6 个数里的位置，能从左边第一格到左边第 3 格，共有 3 种填法。同样的，公差为 3 时有 4 种，不过公差为 6 时 10 只能填在第一或第二个，只有两种。因此，升序的时候共有 9 种填法。每一种左右颠倒就能得到对应的降序的数列，一共共有 18 种填法。3.游乐园的门票 1 元 1 张，每人限购 1 张现在有 10 个小朋友排队购票，其中 5 个小朋友只有 1 元的钞票，另外 5 个小朋友只有 2 元的钞票，售票员没有准备零钱问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？解：与类似题目找对应关系 要保证售票员总能找得开零钱，必须
4、保证每一位拿 2 元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿 1 元的要比拿 2 元的人数多，先将拿 1 元钱的小朋友看成是相同的，将拿 2 元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型在下图中，每条小横线段代表 1 元钱的小朋友，每条小竖线段代表 2 元钱的小朋友，因为从 A 点沿格线走到 B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从 A 到 B 有多少种不同走法使用标数法，可求出从 A 到 B 有 42 种走法。但是由于 10 个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿 2 元的小朋友，5 个人共有 5！ =120 种排法；第二步排拿到 1 元的小朋友，也有 120 种排法，所以共有5！ 5！ =14400 种排队方法。这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有 4214400=604800 种。
